湖北省东风高中、天门中学、仙桃中学2022-2023学年高三12月考试数学试卷含答案.pdf

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1、数学试卷（共 4 页）第页学科网（北京）股份有限公司1东风高中、天门中学、仙桃中学 2023 届高三 12 月考试高三数学试题考试时间：2020 年 12 月 16 日下午 15：00-17：00试卷满分：150 分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是是符符合合题题目目要要求求的的1.已知全集RU，集合1xxA，22xxB，则如图中阴影部分表示的集合为（）A.2x x B.2x x C.12xxD.1x x 2.已知复数(2i)(1 3i)()zaaR的实部与虚部的

2、和为 12，则|5|z（）A.3B.4C.5D.63.已知ABC所在平面内的一点P满足BCPCPBPA，则点P必在（）A.ABC的外面B.ABC的内部C.边AB上D.边AC上4.已知512myxyx的展开式中24x y的系数为 40，则m的值为（）A.-2B.-1C.1D.25.如图，圆内接四边形ABCD中，,45,2,2 2,6DAABDABBCAD现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（）A.30B.40C.1843D.20036.设0.1a，sin0.1b，1.1ln1.1c，则,a b c的大小关系正确的是（）A.bcaB.bacC.abcD.bca7.已知,02，2s

3、in21cos2，则1tan21tan2（）A.52B.25 C.25D.258.定义在R上的偶函数 f x满足20fxf x,当01x时,1exf xx,则（）A.0.313e2023lne10fffB.0.313e2023eln10fff数学试卷（共 4 页）第页学科网（北京）股份有限公司2C.0.313eeln202310fffD.0.313elne202310fff二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分

4、，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.对于变量 x 和变量 y，通过随机抽样获得 10 个样本数据,1,2,3,10iix yi，变量 x 和变量 y 具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为2 yxa，且样本中心点为6,9.3，则下列说法正确的是（）A.变量 x 和变量 y 呈正相关B.变量 x 和变量 y 的相关系数0r C.21.3a D.样本数据5,12比7 5,的残差绝对值大10.已知函数()sin()0,0,2f xAxA的部分图象如图（1）所示，函数1111()cos0,0,|g xAxA的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（）A.函数()y

5、f x的周期为2B.函数()yf x的图象关于直线1912x对称C.函数()1yf x在区间0,2 上有 4 个零点D.将函数()yf x的图像向左平移23可使其图像与()yg x图像重合11.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABC是直角三角形，且1ACBC，13AA，E为1BC的中点，点F是棱11AC上的动点，点P是线段1AB上的动点，则下列结论正确的是（）A.异面直线AB与1BC所成角的余弦值是24B.三棱柱111ABCABC-的外接球的球面积是20C.当点P是线段1AB的中点时，三棱锥1PBCF的体积是312D.PEPF的最小值是75数学试卷（共 4 页）第页学科网（北京）股份有

6、限公司312.设函数0,ln0,2)(2xxxxxxf，则下列命题中正确的是（）A.若方程()f xa有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，则1234xxxx的取值范围是(0,1)B.若方程()f xa有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，则1234xxxx的取值范围是(0,)C.若方程()f xax有四个不同的实根，则a的取值范围是10,eD.方程21()()()10fxaf xa 的不同实根的个数只能是 1，2，3，6三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知,a b 为单位向量，3ab，则,a b 的夹角为_14.某校安

7、排 5 名同学去 A，B，C，D 四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到 A 基地的排法总数为_.15.已知事件 A 和 B 是互斥事件，16P C，118P BC，89PAB C，则P A C _16.已知0,x，11 lnxx exx，则实数的取值范围为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c.已知cos2cos2cosACcaBb（1）求sinsinCA的值（2）若1co

8、s,24Bb，求ABC的面积.18.（12 分）已知函数 2e21xfxxax，其中Ra，若 f x的图象在点 0,0f处的切线方程为210 xby（1）求函数 f x的解析式；（2）求函数 f x在区间3,1上的最值19.（12 分）设等差数列 na的前 n 项和为nS，已知535S，且4a是1a与13a的等比中项，数列 nb的前 n 项和245nTnn（1）求数列 nnab、的通项公式；（2）若14a，对任意*nN总有1122111444nnSbSbSb恒成立，求实数的最小值数学试卷（共 4 页）第页学科网（北京）股份有限公司420.（12 分）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA

9、 平面ABC，D为线段AB的中点，4CB，4 3AB，118AC（1）证明：1CBAD；（2）若三棱锥1AADC的体积为16 33，求平面1DAC与平面1ACB夹角的余弦值21.（12 分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22列联表如下：35 岁以下（含 35 岁）35 岁以上合计使用移动支付402060不使用移动支付103040合计5050100（1）按年龄35岁以下（含 35 岁）是否使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，

10、设使用移动支付的人数为X，求X的分布列及期望.（2）用这100位市民使用移动支付的频率代替全市市民使用移动支付的概率，从全市随机中选出10人，则使用移动支付的人数最有可能为多少？22.（12 分）已知函数21()2ln2f xxxax（a 为常数）（1）若函数()f x在定义域上单调递增，求 a 的取值范围；（2）若()f x存在两个极值点1212,x xxx，且211xx，求 12f xf x的取值范围（1）17.（10 分）13.14.15.16.填空题（每小题 5 分，共 20 分）解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）填空题（每小题 5 分，共 20 分）解答题

11、（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18.（12 分）19.（12 分）数学 数学 东风高中、天门中学、仙桃中学2023届高三12月考试东风高中、天门中学、仙桃中学2023届高三12月考试答题卡数学答题卡（共 2 页）第 1 页?9选择题（共 60 分，18 为单选题，

12、每题 5 分；912 为多选题，每题 5 分，漏选的 2 分，错选的 0 分）选择题（共 60 分，18 为单选题，每题 5 分；912 为多选题，每题 5 分，漏选的 2 分，错选的 0 分）?17.（续）20.（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2

13、2.（12 分）20.（12 分）21.（12 数学答题卡（共 2 页）第 2 页分）数学答案（共 4 页）第页1东风高中、天门中学、仙桃中学 2023 届高三 12 月考试数学试题答案BCCBDBACBCBCDACDAD326095,1e17.（1）由正弦定理得2 sin,2 sin,2 sinaRA bRb cRC，所以coscos22sinsincossinACcaCABbB即sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB即有sin2sinABBC，即sin2sinCA所以sin2sinCA.（5 分）（2）由（1）知sin2sincCaA，即2ca，又因为2b，所

14、以由余弦定理得：2222cosbcaacB，即222124224aaaa，解得1a,所以2c，又因为1cos4B，所以15sin4B，故ABC的面积为11sin1 222acB 154=154.（10 分）18.（1）依题意，(0)1f，切点(0,1)在切线210 xby 上，则1b，()fx22e21e4e241xxxxaxxaxaxa，而 f x的图象在点 0,0f处的切线斜率为2，(0)f 12a ，解得得1a ，所以函数 f x的解析式为 2e21xf xxx.（6 分）（2）由（1）知，()fx2e232e221xxxxxx，由 0fx得2x 或12x，当 3,1x 时，32 x或1

15、12x，有()0fx，122x，有 0fx，因此函数 f x在1 3,2,12上单调递增，在12,2上单调递减，又3203ef，292ef，121e2f，(1)0f，所以 f x在3,1上的最大值为29e，最小值为12e.（12 分）数学答案（共 4 页）第页219.（1）设等差数列 na的公差为 d，由535S 得151035ad，因为4a是1a与13a的等比中项，所以2111312adaad化简得172ad且2123a dd，解方程组得17,0ad或13,2ad故 na的通项公式为7na 或21nan（其中Nn）（3 分）因为245nTnn，所以214(1)5(1)nTnn，(2)n，所以

16、221454(1)5(1)81nnnbTTnnnnn，因为119bT，满足上式，所以81Nnbnn；.（6 分）（2）因为14a，所以21nan，所以(2)nSn n，所以221114488141nnSbnnnn=)121121(21nn所以22211221111114442141(2)1nnSbSbSbn1111 33 5(21)(21)nn111111123352121nn111221n，易见111221n随 n 的增大而增大，从而11112212n恒成立，所以12，故的最小值为12.（12 分）20.（1）证明：因为1AA 平面ABC，CB 平面ABC，所以1AABC，在三棱柱111AB

17、CABC-中，四边形11AAC C为平行四边形，则118ACAC，因为4 3AB，4CB，所以222ABCBAC，所以CBAB，又因为1ABAAA，1AA 平面11ABB A，AB平面11ABB A，所以CB 平面11ABB A，又1AD 平面11ABB A，所以1CBAD.（5 分）（2）解：由（1）得，18 32ABCSAB BC，D为AB的中点，则14 32ACDABCSS，因为1AA 平面ABC，11111116 34 3333A ACDAACDACDVVSAAAA，所以14AA，因为1BB 平面ABC，BCAB，以点B为坐标原点，BA、1BB、BC所在直线分别为x、y、z轴建数学答案

18、（共 4 页）第页3立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,4C、2 3,0,0D、14 3,4,0A、10,4,0B，设平面1DAC的法向量为111,mx y z，12 3,4,0DA ，2 3,0,4DC ，则111112 3402 340m DAxym DCxz ，取12x，可得2,3,3m，设平面1ACB的法向量为222,xny z，14 3,4,0BA，0,0,4BC ，则12224 34040n BAxyn BCz，取21x，可得1,3,0n，所以，510cos,4102m nm nmn ，所以平面1DAC与平面1ACB夹角的余弦值为104（12 分）21（1）根据分层抽样知使用移

19、动支付的人数为8人，不使用移动支付的有2人，则X的可能值为1，2，3，12823101115C CP XC，21823107215C CP XC，30823107315C CP XC，分布列为X123P11571571517712()1231515155E X .（6 分）（2）从全市随机选出10人，设使用移动支付的人数为Y，则310,5YB，且100,5253)(1010kNkCkYPkkk由10111110101019110103232555532325555kkkkkkkkkkkkCCCC ，解得283355k，因为*kN，所以6k 数学答案（共 4 页）第页4故使用移动支付的人数最有可

20、能为 6.（12 分）22.（1）21()2ln(0)2f xxxax x，2()fxxax，()f x是定义域上的单调递增函数，()0fx在定义域上恒成立，即20 xax 在(0)，上恒成立即2axx，令2()0g xx xx，则2()2 2g xxx，当且仅当2x 等号成立实数a的取值范围为(，2 2.（5 分）（2）由（1）知222()0 xaxfxxaxxx，根据题意由()f x有两个极值点，即方程220 xax有两个正根1x，2x所以122xx，12xxa，不妨设1202xx，则()f x在1(x，2)x上是减函数，12()()f xf x，12|()()|f xf x12()()f xf x22111222112ln2ln22xxaxxxax22112121221()()()2ln2xxxxxxxx2212121()2ln2xxxx222222122ln2ln22xxx，令22tx，则2t，又21222|1xxxx，即22220 xx，解得222x，2224tx 设12()2ln2ln2(24)2h ttttt，则22(2)()02th tt，()h t在(2，4上单调递增，(2)0h，3(4)2ln22h，()h t 302ln22，即12|()()|f xf x302ln22，所以12|()()|f xf x的取值范围为302ln22，.（12 分）