福建省福州市三校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题含答案.pdf

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1、高二数学试卷 第 1 页（共 4 页）2022-2023 学年第一学期期中考试2022-2023 学年第一学期期中考试高二数学高二数学试卷试卷（满分：150 分；考试时间：120 分钟）班级（满分：150 分；考试时间：120 分钟）班级姓名姓名座号座号一、单选题：(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)一、单选题：(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1圆心为1,2，半径3r 的圆的标准方程为（）A22129xyB22129xyC22123xyD22123xy2过两点2,4和41,的直线在 y 轴上的截距为（）A145B145C73D733已知椭圆22143xy的两个焦

2、点为1F，2F，过2F的直线交椭圆于M，N两点，若1FMN的周长为（）A2B4C6D84直线cos40 xy的倾斜角的取值范围（）A0,B0,42C30,44D0,45圆221:(2)4Oxy与圆222:(2)(1)9Oxy的位置关系为（）A内切B相交C外切D外离6已知1,0,0,0,1,0,0,0,1ABC，则下列向量是平面 ABC 法向量的是（）A1,1,1B1,1,1C333(,)333D333(,)3337 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，福建省福州市三校高二数学试卷 第 2 页（共 4 页）侧棱PA的长为 2，且PA与AB，AD的夹角都等于 60若M是

3、PC的中点，则BM （）A62B63C64D658 已知椭圆2222:10 xyCabab的左焦点为F，过F作一条倾斜角为45的直线与椭圆C交于,A B两点，若3,2M 为线段AB的中点，则椭圆C的离心率是（）A33B12C25D55二、多选题二、多选题:（本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，漏选得分，漏选得 2 2 分，共分，共 2020 分）分）9若经过1,1Aaa和3,Ba的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的值可能为（）A-2B0C1D210 已知空间三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)ABC，设,aAB bAC .则下列结论正确的是（）A若3

4、c，且/cBC，则2,1,2cBa和b的夹角的余弦值1010C若kab与2kab互相垂直，则 k 的值为 2；D若abab与 z 轴垂直，则，应满足011已知直线 l 与圆22:240C xyxya相交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为0,1M.下列结论中正确的是（）A实数 a 的取值范围为3a B实数 a 的取值范围为5a C直线 l 的方程为10 xy D直线 l 的方程为10 xy 12设1F，2F为椭圆22:1164xyC的两个焦点，点 M 在椭圆 C 上.若12MFF为直角三角形，则下列说法正确的是（）A符合条件的 M 点有 4 个BM 点的纵坐标可以是2 33C12MFF的面积一

5、定是2 3D12MFF的周长一定是84 3高二数学试卷 第 3 页（共 4 页）三、填空题三、填空题:（本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13向量1,0,1a r，,1,2bx，且3a b，则向量b在a上的投影向量的坐标为_14若直线过点(1,2)A，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程为_15已知1F，2F是椭圆C：22221xyab（0ab）的左，右焦点，A 是椭圆C的左顶点，点P在过 A 且斜率为34的直线上，12PFF为等腰三角形，12120FF P，则椭圆C的离心率为_.16如图，平行六面体1111ABCDABC D

6、中，以顶点A为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为60，则1AC的长为_；异面直线1BD与AC夹角的余弦值为_四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分）17（本小题本小题 10 分）分）已知点1,1A和直线l：34120 xy.(1)求过1,1A且与直线l的平行的直线方程；(2)求点1,1A关于直线l：34120 xy的对称点的坐标.18（本小题本小题 12 分）分）已知(2,1,4),(1,2)abk.(1)若()/()abab，求实数k的值；(2)若(3)()abab，求实数k的值.19（本小题本小题 12 分）分）如图，在四棱锥PABCD中，P

7、A底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，24PAAD，且2 6PC，点 E 在 PC 上(1)求证：BD平面 PAC；(2)若 E 为 PC 的中点，求二面角 B-ED-C 的余弦值高二数学试卷 第 4 页（共 4 页）20（本小题本小题 12 分）分）已知直线:3230l kxykkR(1)判断直线l是否过定点，如果过定点求出此定点，不过说明理由；(2)若直线l交x轴负半轴于点 A，交y轴正半轴于点 B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程21（本小题本小题 12 分）分）已知以点(1,2)A 为圆心的圆与_，过点(2,0)B 的动直线 l 与圆 A相交于 M，

8、N 两点.从直线270 xy相切；圆22(3)20 xy关于直线210 xy 对称；圆22(3)(2)5xy的公切线长是11这 3 个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.(1)求圆 A 的方程;(2)当|2 19MN 时，求直线 l 的方程.22（本小题本小题 12 分）分）已知椭圆C：222210 xyabab，3ab，点2 21,3在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若过点1,0Q且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，3,0T，证明TM，TN斜率之积为定值.2022-2023学年第一学期期中考试高二数学答题卡2022-2023学年第一学期期中考试高二数学答题卡姓

9、名：姓名：班级：班级：考场/座位号：考场/座位号：注意事项注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对条形码上的姓名和准考证号。2选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。3非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。4在草稿纸、试题卷上答题无效。5请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂缺考标记正确填涂缺考标记客观题(18为单选题;912为多选题)客观题(18为单选题;912为多选题)1A B C D2A B

10、 C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D9A B C D10A B C D11A B C D12A B C D填空题填空题13.14.15.16.（1）（2分），（2）（3分）解答题解答题17.18.19.20.21.请勿在此区域作答或 者做任何标记22.学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第1 页（共 9 页）20202222-2022023 3 学年第学年第一一学期期中考试学期期中考试 高二数学高二数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、单选题：一、单选题：(本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5

11、5 分，共分，共 4040 分分)1-8BCDCBCAA 二、多选题二、多选题:（本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，漏选得分，漏选得 2 2 分，共分，共 2020 分）分）9BCD 10.BD 11AD 12.BD 10【详解】依题意，(1,1,0),(1,0,2)ab=，(2,1,2)BC=，对于 A，因|3BC=，而3c，且/cBC，则()2,1,2cBC=或(2,1,2)cBC=，A 不正确；对于 B，110cos,10|25a ba ba b=，B 正确；对于 C，因kab+与2kab互相垂直，则22222)22)(100(kabkabk aka bb

12、kk=+=+，解得2k=或52k=，C 不正确；对于 D，()()(0,1,2)(2,1,2)(2,22)abab+=+=+，z 轴的一个方向向量(0,0,1)n=，依题意，(0,0,12,22)220)=+=，即0=，D 正确.11【详解】圆22:240C xyxya+=满足222(4)40a+，可得5a ，又由题意弦 AB 的中点为()M 0，1可得点 M 在圆内，将点 M坐标代入圆的方程可得：30a+，即3a，故 A 正确，B 错误；根据圆的性质可得：MCl，学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第2 页（共 9 页）由圆22:240C xyxya+=，得圆心(12)C ，而(0

13、1)M，直线 l的斜率 k 为11111MCk=，由点斜式可得直线 l的方程为：1yx=+，即10 xy+=，故 C 错误，D 正确；故选：AD 12BD【详解】椭圆22:1164xyC+=的长半轴长4a=，焦点1(2 3,0)F，2(2 3,0)F，12MFF为直角三角形，以1F为直角顶点的直角12MFF有 2 个，以2F为直角顶点的直角12MFF有 2 个，显然椭圆 C的半焦距2 3c=，短半轴长2b=，bc，以线段12FF为直径的圆与椭圆 C有 4个公共点，以M为直角顶点的直角12MFF有 4 个，因此，符合条件的 M 点有 8 个，A 不正确；以M为直角顶点时，设00(,)M xy，由

14、2200220012416xyxy+=+=消去0 x得：02 3|3y=，即 M点的纵坐标为2 33，B 正确；由选项 B 知，以M为直角顶点时，12MFF的面积120112 3|4 34223SFFy=，C不正确；由椭圆定义知，12MFF的周长为12122284 3MFMFFFac+=+=+，D 正确.故选：BD 三、填空题三、填空题:（本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）1333,0,22 1430 xy+=或10 xy+=或2yx=1512(或 0.5）学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第3 页（共 9 页）【详解】由

15、题意知()()()12,0,0,0AaFcF c，直线AP的方程为：()34yxa=+，由12PFF为等腰三角形，12120FF P=，得2122PFFFc=，过P作PQ垂直于x轴，如图，则在2Rt PF Q中，218012060PF Q=，故223sin232PQPFPFccQ=，2221cos22F QPFPcQFc=，所以(),3P ccc+，即()2,3Pcc，代入直线()34:AP yxa=+，得()3243acc=+，即2ac=，所以所求的椭圆离心率为12cea=.故答案为：12.16 6 66【详解】（1）设ABa=，ADb=，1AAc=由已知得，12a b=，12b c=，12

16、a c=，1abc=又1ACabc=+，()21|1 1 1 1 1 16ACabc=+=+=（2）1BDbca=+，ACab=+11()()cos,|bcaabBD ACBDAC+=学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第4 页（共 9 页）111111222223+=66=故答案为：6；66 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分）17(1)3470 xy+=(2)11 13,55 【分析】（1）由直线平行时，其一般式仅常数项不同，可设所求直线为340 xyc+=，再代入()1,1A即可得解；（2）不妨设所求点为(),B m n，由对称

17、性可知1ABlkk=及线段AB的中点落在直线l上，得到方程组，解之即可.（1）因为所求直线与直线l平行，所以设所求直线方程为340 xyc+=，代入()1,1A得340c+=，解得7c=，故所求直线方程为3470 xy+=.（2）设()1,1A关于l的对称点为(),B m n，又直线l：34120 xy+=可化为334yx=+，故由1ABlkk=及线段AB的中点落在直线l上可得：学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第5 页（共 9 页）13114113412022nmmn=+=，解得115135mn=，所以对称点坐标为11 13,55.18(1)13,2k=；(2)=2k或23k=.

18、【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；（1）()()()()()()2,1,41,23,1,6,2,1,41,21,1,2abkkabkk=+=+=，若()()abab+，则()abab=+，即()3,11,62kk=，解得13,2k=；（2）()()()()32,1,431,21,31,2,1,1,2abkkabk+=+=+=，若()()3abab+，则()()30abab+=，即()()()()11311220kk+=，化简可得23440kk=

19、，解得=2k或23k=.19(1)证明见解析(2)105（1）证明：因为 PA底面 ABCD，AC、BC 底面 ABCD，所以 PAAC，PABD，所以222 2ACPCPA=，222CDACADAD=，所以矩形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，因为PAACA=，所以 BD平面 PAC（2）由（1）知 AB、AD、AP两两垂直，建系如图，学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第6 页（共 9 页）()0,0,0A，()0,2,0D，()0,0,4P，()2,2,0C，()1,1,2E，()2,2,0BD=，()1,1,2DE=，()2,0,0DC=，设平面 BED 的法向量为()1

20、11,mx y z=，则0BD m=，0DE m=，即110 xy+=，11120 xyz+=，所以可取()1,1,0m=，设平面 EDC 的法向量为()222,nxy z=，则0DC n=，0DE n=，即220 x=，22220 xyz+=，可取()0,2,1n=210cos,552m nm nm n=因为二面角 B-ED-C为锐二面角，所以二面角 B-ED-C的余弦值为105 20(1)直线恒过定点(2,1)(2)min4S=，直线 l的方程为 x2y+40【分析】（1）将直线l整理成关于k的方程，再构造x和y的方程组，解之即可；（2）易知23(kAk+，0)，23(0,)3kB+，结合

21、1|2SOAOB=和基本不等式，即可得解（1）将直线l整理成(2)330k xy+=，学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第7 页（共 9 页）令20330 xy+=+=，解得2x=，1y=，直线恒过定点(2,1)（2）由题意知，直线l在x轴，y轴上的截距分别为23kk+，233k+，所以23(kAk+，0)，23(0,)3kB+，因为230kk+，2303k+，所以0k，所以11 23 231919|(412)(2 412)422366kkSOAOBkkkkk+=+=，当且仅当94kk=，即32k时，等号成立，所以min4S=，此时直线l的方程为240 xy+=21(1)22(1)

22、(2)20 xy+=；(2)3460 xy+=，或2x=.【分析】（1）选：根据圆的切线性质进行求解即可；选：根据圆与圆的对称性进行求解即可；选：根据两圆公切线的性质进行求解即可.（2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.（1）选：因为圆 A 与直线270 xy+=相切，所以圆 A的半径为221 1 2 272 512 +=+，因此圆 A的方程为22(1)(2)20 xy+=；选：因为圆 A 与圆22(3)20 xy+=关于直线210 xy=对称，所以两个圆的半径相等，因此圆 A 的半径为2 5，所以圆 A的方程为22(1)(2)20 xy+=；选：设圆22(3)(2)5xy+

23、=的圆心为(3,2)P，两圆的一条公切线为m 两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下：学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第8 页（共 9 页）设圆 A 的半径r，因此有：22222(5)(11)(1 3)(22)2 5rr+=+=，所以圆 A的方程为22(1)(2)20 xy+=；（2）三种选择圆 A的方程都是22(1)(2)20 xy+=，当过点(2,0)B 的动直线 l不存在斜率时，直线方程为2x=，把2x=代入22(1)(2)20 xy+=中，得219y=，显然219(219)2 19+=，符合题意，当过点(2,0)B 的动直线 l存在斜率时，设为k，直线方程为(2)20yk

24、 xkxyk=+=，圆心到该直线的距离为：2222211kkkkk +=+，因为|2 19MN=，所以有222213()(2 19)20241kkk+=+，即方程为：3460 xy+=综上所述：直线 l的方程为3460 xy+=，或2x=.22(1)2219xy+=(2)证明见解析【分析】（1）根据3ab=与点2 21,3在C上代入椭圆方程求解即可；（2）设l的方程为1xmy=+，联立与椭圆的方程，设()11,M x y，()22,N xy，表达出TMTNkk，再代入韦达定理化简即可.学科网（北京）股份 有限公司 高一英语参考答案第9 页（共 9 页）（1）由题意得3ab=，故椭圆C为2222

25、19xybb+=，又点2 21,3在C上，所以2218199bb+=，得21b=，29a=，故椭圆C的方程即为2219xy+=；（2）由已知直线l过()1,0Q，设l的方程为1xmy=+，联立两个方程得22191xyxmy+=+，消去x得：()229280mymy+=，()2243290mm=+得Rm，设()11,M x y，()22,N xy，则12229myym+=+，12289y ym=+（*），因为()3,0T，故121212123322TMTNyyyykkxxmymy=()122121224y ym y ym yy=+，将（*）代入上式，可得：22228829823692499mmmmmm+=+，直线TM与TN斜率之积为定值29