湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司2022 年下学期期中考试试卷高三数学2022 年下学期期中考试试卷高三数学本试卷分为问卷和答卷。考试时量为 120 分钟，满分 150 分。请将答案写在答题卡上。一、单选题一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1若集合|(1)0,|22xAx x xBx，则AB A0,1B0,1)C1,12D1,122若“x R，使得sin3cosxxa”为假命题，则实数 a 的取值范围是A2 2,B2,2C,22,UD,22,3欧拉公式icosisine把自然对数的底数 e、虚数单位 i、三角函数联系在一起，充

2、分体现了数学的和谐美若复数 z 满足iei1z，则z的虚部为A12B12C1D14如图，函数 sin0,0,0()()fxAxA图象与 x 轴交于5,06R，与 y 轴交于 P，其最高点为1,3QA若PQPR，则 A 的值等于A33B103C52D25已知32()2(2)3f xxaxx是奇函数，则过点(1,2)P 向曲线()yf x可作的切线条数是A1B2C3D不确定6已知A1B1C1与A2B2C2满足：sinA1=cosA2，sinB1=cosB2，sinC1=cosC2，则AA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形BA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形C两个三角形

3、都是锐角三角形D两个三角形都是钝角三角形7设函数22()223f xxaxaa，若对于任意的xR，不等式()0ff x恒成立，则实数a的取值范围是A32a B2a C322aD32a 8若0.6ea，2eln1.2b，e1.20.21c，则a，b，c的大小关系是AbacBcabCabcDacb二、多选题二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分）湖 南 省 邵 阳 市 武 冈 市学科网（北京）股份有限公司9下面命题正确的是A“1a”是“11a”的充分不必要条件B“0a”是“函数 1sinf

4、xxax为奇函数”的充分不必要条件CABC 中，sinAcosB 是ABC 为锐角三角形的必要不充分条件D已知偶函数 fx在0,上单调递增，则对实数a，b，“ab”是“f af b”的充分不必要条件10已知实数a，b，c满足0abc，则下列说法正确的是A11a cab caBbbcaacC2abcacbcD11()()abab的最小值为 411已知函数 sin coscos sinf xxx，则下列说法正确的是A为函数 fx的一个周期B直线2x是函数 fx图象的一条对称轴C函数 fx在,6 3 上单调递增D函数 2g xf xx有且仅有 2 个零点12已知函数 fx与 g x的定义域均为R，,

5、fxgx分别为 ,f xg x的导函数，5f xgx，225fxgx，若 g x为奇函数，则下列等式一定成立的是A25f B 4g xg x.C 8gxgxD 8fxfx三、填空题三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）133log(1)20(),(3),0 xxf xf xx，则 f(2013)_14 已知函数 3223f xxaxbxa，若1x 时，fx取得极值 0，则ab_.15 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用0.618就是黄金分割比512m的近似值，

6、黄金分割比还可以表示成218sin，则2241 2sin 27mm_16.已知数列 na满足12nnnaaa（3n），设数列 na的前n项和为nS，若42S，52S，则2023S_.四、解答题四、解答题（本大题共6 小题，满分70 分。解答时应写出文字说明及演算步骤）17（10 分）已知等差数列 na满足24a，1514aa（1）求 na的通项公式；（2）若等比数列 nb的前 n 项和为nS，且11ba，236ba，1nnbb，求满足2022nS 的 n的最大值学科网（北京）股份有限公司18（12 分）如图，三棱柱111ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，1AA 平面ABC，12AA，

7、D是AB的中点.（1）证明：1/BC平面1A DC；（2）求异面直线1BC与1AC所成角的余弦值19（12 分）如图，在平面四边形ABCD中，BCD的面积是ABD的面积的2 3倍2DBCABD，1AB，2BC（1）求ABD的大小；（2）若点,E D在直线AC同侧，3AEC，求AEEC的取值范围20（12 分）已知动圆P过点2(2,0)F并且与圆221:(2)4Fxy相外切，动圆圆心P的轨迹为C（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点2(2,0)F的直线1l与轨迹C交于A、B两点，设直线1:2l x，设点(1,0)D，直线AD交l于M,求证：直线BM经过定点.21（12 分）在检测中为减少检测次数，

8、我们常采取“n合 1 检测法”，即将n个人的样本合学科网（北京）股份有限公司并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测现有*10Nk k 人，已知其中有 2 人感染病毒（1）若5k，并采取“10 合 1 检测法”，求共检测 15 次的概率；（2）设采取“5 合 1 检测法”的总检测次数为X，采取“10 合 1 检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“10 合 1 检测法”更适宜？请说明理由22（12 分）已知函数 21xeaxf xx有三个极值点123,x xx，（1）求实数a的取值范围；（2）求证：1232xxx.

9、学科网（北京）股份有限公司2022 年下学期期中考试试卷高三数学参考答案及评分标准2022 年下学期期中考试试卷高三数学参考答案及评分标准1C【分析】计算一元二次不等式和指数不等式，求出,A B，从而求出交集.【详解】(1)0 x x，解得：01x，所以|01Axx，而22x，解得：12x，所以1|2Bx x所以AB 1,12.故选：C2D【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出 2,2f x ，从而求出实数 a 的取值范围.【详解】因为“x R，使得sin3cosxxa”为假命题，则“x R，使得sin3cosxxa”为真命题，因为 sin3cos2sin2,23f xxxx，所以实

10、数 a 的取值范围是,22,故选：D3B【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得z，由复数虚部定义求得结果【详解】由欧拉公式知：icosisin1e，i(ei)(1i)izz ，ii(1i)1i11i1i(1i)(1i)222z ，z的虚部为12故选：B4B【分析】先求出周期T，再根据5,06R求，最后根据点P和PQPR即可求A.【详解】由图可知：51634T，得2T，所以22，将5,06R代入方程得：5sin()06A，56k，又0，16k，,)sin(6f xAx，02Af，所以(0,)2AP，15(,),(,)3 262AAPQPR ，PQPR，2150,364APQ PR 解得：103A

11、 或103（舍）.故选：B5C学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，求出 a，再求出函数()f x的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数()f x是奇函数，则由()()0fxf x-+=得2220ax恒成立，则2a，即有3()23f xxx，2()63fxx，设过点(1,2)P 向曲线()yf x所作切线与曲线()yf x相切的切点为3000(,23)Q xxx，而点(1,2)P 不在曲线()yf x上，则320000232631xxxx，整理得32004610 xx，即2000(21)(221)0 xxx，解得012x 或0132x，即符合条件的切

12、点有 3 个，所以过点(1,2)P 向曲线()yf x可作的切线条数是 3.故选：C6A7B8D【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，再借助“媒介”数比较大小作答.【详解】依题意，0.60.5eee1.6a，e31.20.211.20.211.518c，即ac，又e21.20.211.20.211.23c，51.22.48832e，则1ln1.25，22eln1.2e1.25b，即cb，所以a，b，c的大小关系是acb.故选：D9ACD10ABC【分析】根据实数a，b，c满足0abc，分别化简选项 A、B、C 中的不等式即可判断；选项 D 的判断要注意基本不等式取等条件的检验.

13、【详解】由题0abc，所以有1111baa cab caab，故 A 正确；bbcb aca bcbcacbaaac，故 B 正确；200abcacbcc cba cbcacb，故 C 正确；11()()2224bab aabababa b，当且仅当abba即ab时取等，又因为0ab，所以11()()4abab，即11()()abab无最小值，故 D 错误.故选：ABC.11AB12ACD【分析】将x去2x代入已知等式可构造方程组得到22gxgx，由此可得 gx关于2,0对称；结合 gx为偶函数可推导得到 gx是周期为8的周期函数，则可得 C 正确；令2x ，代入 5f xgx中即可求得 A

14、正确；令 h xgx，由 8h xh x可推导得到 D 正确；设 4F xg xg x，由 4gxgx 可知 F xC CR，结合20F 可知 0F x，由此可得 4g xg x，知 B 错误.【详解】由 5225fxgxfxgx得：225225fxgxfxgx，22gxgx，gx关于2,0中心对称，则4gxgx，学科网（北京）股份有限公司 g x为奇函数，gxg x，左右求导得：gxgx，gxgx，gx为偶函数，图象关于y轴对称，844gxgxgxgxgxgx ，gx是周期为8的周期函数，88gxgxgx，C 正确；5fxgx，225fg，又 220gg，25f，A 正确；令 h xgx，则

15、 8h xh x，8h xh x，又 5h xfx，858h xfx，8fxfx，即 8fxfx，D 正确；4gxgx，40gxgx，设 4F xg xg x，则 40Fxgxgx，F xC C R，又 g x为奇函数，2220Fgg，0F x，即 4g xg x，B 错误.故选：ACD.【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：若 fx连续且可导，那么若 fx为奇函数，则 fx为偶函数；若 fx为偶函数，则 fx为奇函数；若 fx连续且可导，那么若 fx关于xa对称，则 fx关于点,a f a对称；若 fx关于,0

16、a对称，则 fx关于xa对称.13114.18【详解】由 3223f xxaxbxa，得 236fxxaxb，因为1x 时，fx取得极值 0，所以1360fab，211 30faba ，解得13ab或29ab，当13ab时，22363310fxxxx，此时函数在 fx在1x 处取不到极值，经检验29ab时，函数 fx在1x 处取得极值，所以29ab，所以18ab.故答案为：18故答案为：179.15216-2【详解】解：因为12nnnaaa，(3)n，所以11nnnaaa，则120nnaa，所以30nnaa，360nnaa，则6nnaa，可知140aa，250aa，360aa+=，所以6126

17、0Saaa，又42S，52S，所以5540aSS，则20a，又321aaa，学科网（北京）股份有限公司所以32a，62a ，所以2132aaa，因为202363371，所以2023202302Sa，故答案为：217（1）32nan（2）10（1）由题意得1114414adaad，解得113ad，1 3132nann（2）111ba，23616ba，又1nnbb，34b，公比2q=，21nnS，令212022n，得22023n，令1011220232，所以 n 的最大值为 1018（1）证明见解析（2）14【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）作出辅助线，找到异面直线1

18、BC与1AC所成角，利用余弦定理求出余弦值.（1）证明：连接1AC，交1AC的于O，连接OD，则O为1AC的中点，因为,O D分别是1AC，AB的中点，1/ODBC，OD 平面1A DC，1BC 平面1A DC，1/BC平面1A DC；（2）由（1）得：1/ODBC，DOC（或其补角）就是异面直线1BC与1AC所成的角，三棱柱111ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，12AA，2OC，3CD，222211222 2BCBCCC，1122ODBC由余弦定理得：2222231cos242 22ODOCCDDOCOD OC，故异面直线1BC与1AC所成角的余弦值为14.19（1）6；（2）5

19、,2 5.【分析】（1）设ABD，利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解.（2）由（1）求出 AC，在AEC中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.（1）设ABD，则2DBC，因2 3BCDABDSS，1sin22BCDSBC BD，1sin2ABDSAB BD，学科网（北京）股份有限公司则11sin22 3sin22BC BDAB BD，而1AB，2BC，则有sin23sin，即2sin cos3sin，又0，sin0，因此3cos2，6，所以6ABD.（2）由（1）知3DBC，2ABC，连 AC，有2225ACABBC，则5AC，而3AEC，AEC中，

20、由正弦定理有5215sinsin3sin3AEECACEEAC，215sin3AEACE，215sin3ECEAC，2215sin15sin33AEECACEEAC，又23ACEEAC，令ACE，则23EAC，203，因此22215sin15sin()333AEEC23315(sincos)3222 5sin()6，因203，则5666，有1sin()126，即52 5sin()2 56，52 5AEEC，所以AEEC的取值范围为5,2 520（1）221(0)3yxx；（2）见解析【分析】(1)利用待定系数法求曲线C的轨迹方程.(2)证明直线BM经过点1,0P，即证明PMPBkk，转化成证明

21、12112233y xyx yy，再转化成证明124x x 12540 xx，利用韦达定理即可证明.【详解】（1）由已知122PFPF，122PFPFP轨迹C为双曲线的右支，22a，1a，1224FFc，2c 曲线C标准方程221(0)3yxx（2）由对称性可知，直线BM必过x轴的定点当直线1l的斜率不存在时，2,3A，2,3B，1 3,2 2M，知直线BM经过点1,0P当直线1l的斜率存在时，不妨设直线1:2lyk x，11,A x y，22,B xy直线AD1111yyxx，当12x 时，11321Myyx，1131,2 21yMx学科网（北京）股份有限公司22233yk xxy 得222

22、234430kxk xk，212243kxxk，2122433kx xk下面证明直线BM经过点1,0P，即证PMPBkk，即1212311yyxx,即12112233y xyx yy,由112ykxk，222ykxk整理得，124x x 12540 xx，即22222243434450333kkkkkk 即证BM经过点1,0P，直线BM过定点1,0【点睛】(1)本题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和双曲线的位置关系问题，考查直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第 2 问的关键有二，其一是转化为证明PMPBkk，其二是转化成证明124x x 12540

23、xx，利用韦达定理即可证明.21（1）949（2）当19k时，采取 10 合 1 检测法更适宜；理由见解析【分析】（1）平均分为 5 组，共检测 15 可知 2 个感染者分在同一组，计算所求概率；（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.（1）现共有 50 人，由题意先平均分为 5 组，检测 5 次，因为共检测 15 次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测 15 次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一 组 已 经 有 一 名 感 染 者 的 情 况 下，选 中 另 一 名 感 染 者，即 两 种 算 法 结 果 为8

24、101010104840302010441010101010504030201055CCCCCACCCCCA和848994CC，结果均为949；所以 k5，并采取“10 合 1 检测法”，求共检测 15 次的概率为949.（2）当感染者在同一组时，25Xk，10Yk，此时31024101C4()C101kkP Xk，81029101C9()C101kkP Yk，当感染者不在同一组时，210Xk，20Yk，此时4()1101P Xk，9()1101P Yk，所以4420()(25)(210)1210101101101E Xkkkkkk，9990()(10)(20)120101101101E Yk

25、kkkkk，由 201010180019kkkYnEkE X 得，又，综上：10k 时，采取 10 合 1 检测法更适宜22（1）1ae 且12a ；（2）证明见解析.【分 析】（1）函 数 fx有 3 个 零 点 等 价 于 fx有 3 个 变 号 零 点，由 于学科网（北京）股份有限公司 221xx ea xfxx，且 00f，所以可得 20 xg xea x有两个不为 0，1的实根，再对 g x求导讨论其单调性可得结果；（2）由（1）可知 fx有一个零点为 0，所以不妨设30 x，12xx，而110gae，所以121xx ，因此要证1232xxx，即证122xx 而11x ，221x ，

26、而 g x在,lna上 递 减，ln1a，所 以 只 需 证 122g xgx，即2222220 xxx exe，然后构造函数 221xxh xxexex ，只需证此函数值恒大于零即可.【详解】解：（1）利用 fx的极值点个数即为 fx的变号零点个数 221xx ea xfxx，00f，设 2xg xea x，由已知，方程 0g x 有两个不为 0，1 的实根，xgxea当0a 时，g x在R上递增，0g x 至多一个实根，故0a 所以 g x在,lna上递减，在ln,a上递增，因为220ge，222242440agaeaaaaa 所以 min1100120lnln20gaegag xgaaa

27、a 时，0g x 有两个实根，解得1ae 且12a （2）由（1）不妨设30 x，12xx，110gae，121xx .要证1232xxx，即证122xx 而11x ，221x 由 g x在,lna上递减，在ln,a上递增，且ln1a 故只要证 122g xgx，又 120g xg x，故只要证202gx 即证2222220 xxx exe 设 221xxh xxexex 2101xxhxxeex 221xxh xxexex 递增，10h xh即2222220 xxx exe 1232xxx【点睛】此题考查函数的极值点问题，极值点偏移问题，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立等，考查了数学转化思想，属于较难题.