北京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷含答案.docx

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1、北京师范大学附属中学2022-2023学年北师大高一上数学期末试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设全集U=R，集合A=x|x2-x-20，B=x|lgx0，则AB=()A. x|-1x2B. x|1x2C. x|1x16的解集为()A. 32,+)B. (-,-52)(32,+)C. (-,-52(32,+)D. -,-525. 九章算术是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是()A. 154

2、B. 415C. 158D. 1206. 设a=33,b=0.90.8,c=log0.90.8，则()A. cabB. acbC. abcD. cba7. 已知函数f(x)=log12(x2-4x-5)，则函数f(x)的减区间是()A. (-,2)B. (2,+)C. (5,+)D. (-,-1)8. 已知实数x0y，且1x+2+11-y=16，则x-y的最小值是()A. 21B. 25C. 29D. 33二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是()A. xR，x0B. 存在xR，使得x2+x+1=0C. 至少有一个无

3、理数x，使得x3是有理数D. 有的有理数没有倒数10. 下列说法正确的是()A. 若sincos0，则为第一象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是-30C. 终边经过点(a,a)(a0)的角的集合是|=4+k,kZD. 在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30的扇形，则该扇形面积为32cm211. 已知函数f(x)=1x-2，则下列结论中正确的是()A. fx是偶函数B. fx在(-,-2)上单调递增C. fx的值域为RD. 当x-2,2时，fx有最大值12. 如图所示，边长为2的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着ABCD的方向运动，设AOP为x，阴影部分的面积为f(x

4、)，则下列说法中正确的是()A. f(x)在(2,)上为减函数B. f(4)=12C. f(x)+f(-x)=4D. f(x)图象的对称轴是x=2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 求值：sin263+cos-174=14. 已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm是R上的增函数，则m的值为15. 若“1x3”的必要不充分条件是“a-2x-2，若方程f(x)=1的实根在区间(k,k+1)(kZ)上，则k的所有可能值是四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)(1)计算2()0(32)-4+2(6427)-23-

5、(8116)0.5；(2)计算13log68+3log34+2log63-32log281log27218. (本小题12.0分)已知集合A=x2-ax2+a，B=x|x1或x4(1)当a=3时，求AB；(2)“xA”是“xRB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围19. (本小题12.0分)已知是第四象限角(1)若cos=55，求cos(-2)-sin(32+)2sin(+)+cos(2-)的值；(2)若5sin2+5sincos+1=0，求tan的值20. (本小题12.0分)已知函数f(x)=3x-13x+1(1)证明函数f(x)为奇函数；(2)解关于t的不等式：f(3t-1)+f(2-

6、t)0,a1)与y=px12+k(p0,k0)可供选择(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份(参考数据：lg20.3010，lg30.4711)22. (本小题12.0分)已知函数f(x)对任意实数m、n都满足等式f(m-n)+f(m+n)=f(2m)，当x0时，f(x)0，且f(2)=-4(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)的单调性，求f(x)在区间-3,5上的最大值；(3)是否存在实数a，对于任意的x-1,1,b-1,1，使得不等式f(x)0，则AB=()A. x|-1x2B. x|1x2C.

7、 x|1x0=x|lgxlg1=x|x1，所以AB=x|116的解集为()A. 32,+)B. (-,-52)(32,+)C. (-,-52(32,+)D. -,-52【答案】B解：不等式22x+116，22x+124，即2x+142x+14，解集是(-,-52)(32,+)故选：B27. 九章算术是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是()A. 154B. 415C. 158D. 120【答案】A解：S=30164=120(平方步)，设扇形的半径为R

8、，圆心角为，S=12R2，即120=1264=154. 28. 设a=33,b=0.90.8,c=log0.90.8，则()A. cabB. acbC. abcD. cba【答案】A解：因为所以1a=332，b=0.90.8log0.90.81=2，所以cab故选：A29. 已知函数f(x)=log12(x2-4x-5)，则函数f(x)的减区间是()A. (-,2)B. (2,+)C. (5,+)D. (-,-1)【答案】C解：由x2-4x-50，得x5或x0y，且1x+2+11-y=16，则x-y的最小值是()A. 21B. 25C. 29D. 33【答案】A解：x0y，等式1x+2+11-

9、y=16恒成立，16(x-y+3)=(x+2+1-y)(1x+2+11-y)(1x+2+11-y)(x+2+1-y)=2+x+21-y+1-yx+22+2x+21-y1-yx+2=4，当且仅当x+2=1-y时取等号16(x-y+3)4，x-y的最小值为：21故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）31. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是()A. xR，x0B. 存在xR，使得x2+x+1=0C. 至少有一个无理数x，使得x3是有理数D. 有的有理数没有倒数【答案】ACD解：A.命题是存在量词命题，所以x=0，使x=0，所以A是真命题，故A正确；B.

10、对应方程x2+x+1=0，=-30，则为第一象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是-30C. 终边经过点(a,a)(a0)的角的集合是|=4+k,kZD. 在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30的扇形，则该扇形面积为32cm2【答案】BC解：A.若sincos0，则为第一象限角或第三象限角，故错误；B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是-30，故正确；C.终边经过点(a,a)(a0)的角的终边在直线y=x上，故角的集合是|=4+k,kZD.弧长l=63=2，扇形面积为1223=34，故错误故选BC33. 已知函数f(x)=1x-2，则下列结论中正确的是()A. fx是偶

11、函数B. fx在(-,-2)上单调递增C. fx的值域为RD. 当x-2,2时，fx有最大值【答案】ABD【解答】解：对于A，由|x|-20得函数f(x)定义域为x|x2，所以f(x)=1x-2x2由f(-x)=1-x-2=1x-2=f(x)，可得函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；对于B，当x0且x2时，函数f(x)=1x-2，该函数图象可由函数y=1x图象向右平移2个单位得到，所以函数f(x)=1x-2在0,2和(2,+)上均单调递减，由偶函数性质，可知f(x)在(-,-2)上单调递增，故B正确；对于C，由B可得，当x0且x2时，函数f(x)=1x-2在0,2和(2,+)上

12、均单调递减，所以该函数在(0,2)(2,+)的值域为(-,-12)(0,+)；又因为函数f(x)为偶函数，且f(0)=-12，所以f(x)在其定义域上的值域为(-,-12(0,+)，故C错误；对于D，当x(-2,2)时，函数f(x)在-2,0上单调递增，在0,2上单调递减，所以f(x)有最大值为f(0)=-12，故D正确故答案为ABD34. 如图所示，边长为2的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着ABCD的方向运动，设AOP为x，阴影部分的面积为f(x)，则下列说法中正确的是()A. f(x)在(2,)上为减函数B. f(4)=12C. f(x)+f(-x)=4D. f(x)图象的对称轴

13、是x=2【答案】CB解：对于A选项，当x(2,)时，阴影部分的面积显然逐渐增加，即函数fx在2,上单调递增，A选项错误；对于B选项，当0tanx2时，tanx=tanAOP=|AP|OA|=|AP|，所以，f(x)=12|OA|AP|=12tanx，0tan42，f(4)=12tan4=12，B选项正确；对于C选项，取BC的中点G，连接OG，作点P关于直线OG的对称点F，则FOD=x，所以，AOF=-x，OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S=fx，因为S+f(-x)=4，即f(x)+f(-x)=4，C选项正确；对于D选项，由C选项可知，f(x)+f(-x)=4

14、，则f(4)+f(34)=4，所以，f(34)=4-f(4)=72f(4)，所以，函数fx的图象不关于直线x=2对称，D选项错误故选：BC三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35. 求值：sin263+cos-174=【答案】3+22解：因为sin263+cos(-174)=sin(8+23)+cos(-4-4)=sin23+cos(-4)=sin23+cos4=32+22=3+22,故答案为3+22.36. 已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm是R上的增函数，则m的值为【答案】3【解答】解：函数f(x)=(m2-5m+7)xm是幂函数，则m2-5m+7=1，即m2-5m+6=0，

15、解得m=2或m=3；当m=2时，f(x)=x2不是R上的增函数，不满足题意；当m=3时，f(x)=x3是R上的增函数，满足题意则m的值为3故答案为：337. 若“1x3”的必要不充分条件是“a-2xa+2”，则实数a的取值范围是【答案】1,3解：若“1x3”的必要不充分条件是“a-2x-2，若方程f(x)=1的实根在区间(k,k+1)(kZ)上，则k的所有可能值是【答案】-3,-2或1【解答】解：由方程x2-5=1(x-2)，解得x=-6，故k=-3由于方程xlg(x+2)=1(x -2)即方程lg(x+2)=1x(x -2)，分别作出左右两边函数的图象，从图象上可得出：方程xlg(x+2)=

16、1在区间(-2,-1)和(1,2)内各有一个实根下面证明：方程xlg(x+2)=1在区间(-2,-1)和(1,2)内各有一个实根函数f(x)=xlg(x+2)-1，在区间(-2,-1)和(1,2)内各有一个零点，函数f(x)=xlg(x+2)-1在区间(1,2)是增函数，又f(1)=lg3-10，即f(1)f(2)0，由零点存在性定理知，函数f(x)=xlg(x+2)-1在区间(1,2)内仅有一个零点，即方程xlg(x+2)=1在区间(1,2)内有且仅有一个实根，同理得方程xlg(x+2)=1在区间(-2,-1)内有且仅有一个实根故答案为-3,-2或1四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

17、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）39. (本小题10.0分)(1)计算2()0(32)-4+2(6427)-23-(8116)0.5；(2)计算13log68+3log34+2log63-32log281log272【答案】解：(1)2()0(32)-4+2(6427)-23-(8116)0.5=2(43)2+2(6427)-23-8116=0(2)13log68+3log34+2log63-32log281log272=log62+3log34+log63-412log23log32=log66+4-2=2+1=340. (本小题12.0分)已知集合A=x2-ax2+a，B=x|x1

18、或x4(1)当a=3时，求AB；(2)“xA”是“xRB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】解：(1)当a=3时，A=x|-1x5，所以AB=x|-1x1或4x5，(2)由题可知，CRB=x|1x12+a4，解得a141. (本小题12.0分)已知是第四象限角(1)若cos=55，求cos(-2)-sin(32+)2sin(+)+cos(2-)的值；(2)若5sin2+5sincos+1=0，求tan的值【答案】解：(1)是第四象限角，cos=1-sin2=55，所以sin=-255，tan=sincos=-2，cos(-2)-sin(32+)2sin(+)+cos(2-)=sin+

19、cos-2sin+cos=tan+1-2tan+1=-15(2)sin2+sincos=-15，sin2+sincossin2+cos2=tan2+tantan2+1=-15，tan=-12或tan=-1342. (本小题12.0分)已知函数f(x)=3x-13x+1(1)证明函数f(x)为奇函数；(2)解关于t的不等式：f(3t-1)+f(2-t)0【答案】解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=3-x-13-x+1=13x-113x+1=1-3x1+3x=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数；(2)由f(x)=3x-13x+1=3x+1-23x+1=1-23x+1，易得函数f

20、(x)是定义域为R的增函数，而不等式f(3t-1)+f(2-t)0可化为f(3t-1)-f(2-t)，再由f(-x)=-f(x)可得f(3t-1)f(t-2)，所以3t-1t-2，解得t-12，故不等式的解集为t|t0,a1)与y=px12+k(p0,k0)可供选择(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份(参考数据：lg20.3010，lg30.4711)【答案】解：(1)函数y=kax(k0,a1)与y=px12+k(p0,k0)在(0,+)上都是增函数，随着x的增加，函数y=kax(k0,a1)的值增加的

21、越来越快，而函数y=px12+k的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型y=kax(k0,a1)符合要求根据题意可知x=2时，y=24；x=3时，y=36，ka2=24ka3=36，解得k=323a=32故该函数模型的解析式为y=323(32)x，1x12，xN*；(2)当x=0时，y=323，元旦治愈效果的普姆克系数是323pmk，由323(32)x10323，得(32)x10，xlog3210=lg10lg32=1lg3-lg25.8，xN*，x6，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份44. (本小题12.0分)已知函数f

22、(x)对任意实数m、n都满足等式f(m-n)+f(m+n)=f(2m)，当x0时，f(x)0，且f(2)=-4(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)的单调性，求f(x)在区间-3,5上的最大值；(3)是否存在实数a，对于任意的x-1,1,b-1,1，使得不等式f(x)a2-2ab+2恒成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)取m=n=0，则f(0)=2f(0)，f(0)=0，取m=0,n=x，则f(x)+f(-x)=f(0)=0，f(-x)=-f(x)对任意xR恒成立，f(x)为奇函数；(2)任取x1，x2(-,+)且x2 0，f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)0，f(x1)f(x2).故f(x)为R上的减函数x-3,5，f(x)f(-3)，f(-3)=-f(3)=6，故f(x)在-3,5上的最大值为6；(3)f(x)在-1,1上是减函数，f(x)f(-1)=-f(1)=2，f(x)2，b-1,1恒成立;即a2-2ab0，b-1,1恒成立，令g(b)=-2ab+a2，则g(-1)0g(1)0，即2a+a20-2a+a20,解得：a 2或a -2实数a的取值范围为(-,-2)(2,+)