重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题含答案.pdf

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1、秘密启用前秘密启用前20222023 学年度上期学情调研高三数学试题卷学年度上期学情调研高三数学试题卷注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题；本题共一、选择题；本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的1已知集合22150Ax xx，3,1,1,3,5B ，则AB（）A1,3B3,1,1C1,1D1,1,32已知等差数列 na，246aa，则其前5项的和5S A5B6C15D303设等比数列 na满足123aa，133aa，则4a（）A8B16C24D484设1653a，b=153()5，c=ln23，则 a，b，c 的大小关系是（）AabcBbacCbcaDacb5已知正项等比数列 na的前n项和为nS，1252aa，34458aa，则5S（）A1058B21116C534D2726设等差数列 na的前 n 项和为nS，且满足190S，200S，则11Sa，22Sa，33Sa，19

3、19Sa中最大项为()A88SaB99SaC1100SaD1111Sa7设P是ABC所在平面内一点，且2BPPC ，则AP （）A1322ABACuuu ruuu rB3122ABACuuu ruuu rC1233ABAC D2133ABAC 8设0a，0b，若3是3a与9b的等比中项，则12ab的最小值为（）A92B3C322D4二、选择题；本题共二、选择题；本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选

4、对的得 2 分分9已知1 iz （）A虚部为 1B2z z C2z D2zz 重庆市西南大学附属中学校10已知等比数列 na的前n项和为nS，且214Sa，2a是11a 与312a的等差中项，数列 nb满足1nnnnabSS，数列 nb的前n项和为nT，则下列命题正确的是（）A数列 na的通项公式为13nnaB31nnS CnT的取值范围是1 1,8 6D数列 nb的通项公式112 331 31nnnnb11下列说法正确的是（）A22coscos33 B函数()f x在,0单调递增，在0,单调递增，则()f x在R上是单调递增.C函数(2)yf x与(2)yfx关于0 x 对称.D函数()f

5、x是R上的增函数，若121216()()()()log sin6f xf xfxfx成立，则120 xx12定义在(0,)上的函数 fx的导函数为 fx，且 2(32)()xx fxxf x恒成立，则必有（）A(3)20(1)ffB(2)6(1)ffC13(1)162ffD(3)3(2)ff三、填空题；本题共三、填空题；本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13如果复数2iR1iaa为实数，则a_.14已知数列 na满足1112,2nnnaaa，则6a _15已知是实系数一元二次方程22(21)10 xmxm 的一个虚数根，且|5，若向量(21,3)amm，则向量|

6、a的取值范围为_16若对任意的正实数x，均有112lnaxa exxx恒成立，则是实数a的最小值为_.四、解答题；本题共四、解答题；本题共 6 个小题，共个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知等比数列 na的前 n 项和为nS，且22a，5416SS，等差数列 nb满足：223baa，334baa.（1）求nb；（2）若nnncab，求数列 nc的前n项和nT.18已知函数()sin()cossincos()2f xxxxx，（1）求函数()f x的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，()1f A,2,3BCB,求AC

7、边的长.19某产品按质量分 10 个档次，生产最低档次的利润是 8 元/件；每提高一个档次，利润每件增加 2 元，每提高一个档次，产量减少 3 件，在相同时间内，最低档次的产品可生产 60 件问：在相同时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？（最低档次为第一档次）20已知函数 cos3(0,0,0)f xAxA的最小值为 1，最小正周期为，且 fx的图象关于直线3x 对称.(1)求 fx的解析式；(2)将曲线=y f x向左平移12个单位长度，得到曲线=y g x，求曲线=y g x的对称中心的坐标.21已知数列 na满足111,31nnaaa.(1)证明12na是等比数列，并求 na的通项

8、公式；(2)证明：121113.2naaa.22已知椭圆22122:10 xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，抛物线221:12Cyx 的顶点为B，且经过1F，2F，椭圆1C的上顶点A满足2OBOA .（1）求椭圆1C的方程；（2）设点M满足1112FMFOFB，点N为抛物线2C上一动点，抛物线2C在N处的切线与椭圆交于P，Q两点，求MPQ面积的最大值.参考答案参考答案1D首先化简集合532Axx，然后根据交集运算即可求得结果.解22150 xx可得532x，所以532Axx.所以 533,1,1,3,51,1,32ABxx.故选：D.2C152455()5()5 615.222aaaa

9、S选 C.3A利用等比数列的通项公式即可求解.设等比数列 na的公比为q，则1121133aa qaa q，解得11,2aq所以3418aa q.故选：A本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.4B利用指数函数、对数函数的单调性求解11553553b,a=1653,ba0,c=2ln3ac故选：B.与指数函数与对数函数有关的比较大小问题，可利用指数函数和对数函数的单调性，比较大小.5B设公比为(0)q q，由等比数列的定义可得12342()qaaaa，由此可以算出公比q的值把q的值代入1252aa中，从而求出首项1a的值，然后利用等比数列的求和公式求出5S的值设公比为(0)q q

10、，有34124538522aaqaa，113522aa，可得11a，所以55312312S21116故选：B6C根据所给条件可分析等差数列递减，且10110aa，据此可得出前 n 项和的变化规律，利用不等式性质得解.因为190S，200S，所以10,0ad，且10110,0aa，所以，128910110aaaaaa12891011SSSSSS所以，8910121289100SSSSSaaaaa当1119n时，0nnSa所以，3191212319,SSSSaaaa中最大项为1100Sa，故选：C7C由平面向量的线性运算法则求解由向量的运算法则可得：APABBP ，ACAPPC ，2BPPC ，2

11、APABACAP （），所以1233APABAC ，故选：C.8A由题得22ab，再利用基本不等式求最值得解.因为3是3a与9b的等比中项，所以223393,22ababab.所以12112112122=()2()(2)(5)222abababababba1229(52)22abba当且仅当23ab时取等.故选：A本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9BCD根据虚部的定义即可判断 A；根据共轭复数及复数的乘法运算即可判断 B；根据复数的模的计算公式即可判断 C；根据复数的加法运算即可判断 D.解：因为1 iz ，所以虚部为1，故 A 错误；2

12、iz，1 i1i2zz，故 B 正确；1 12z ，故 C 正确；1 i 1 i2zz ，故 D 正确.故选：BCD.10BCD根据已知条件求出等比数列 na的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断 AB 选项的正误；求出数列 nb的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断 CD 选项的正误.设等比数列 na的公比为q，则21114Saa qa，可得3q，因为2131212aaa，即1111612aa，解得12a，1112 3nnnaa q，A 错；2 1 3311 3nnnS，B 对；1111131312 3111133 313131 3131 31nnnnnnnnnnb，

13、D 对；22334111111111133 131313131313131nnnT1111663 31n，0nb，所以，数列 nT为单调递增数列，则118nTT，故1186nT，C 对.故选：BCD.11ACD对于 A，运用三角函数的诱导公式可判断；对于 B，由函数的单调性的定义可判断.对于 C，设函数 fx上任意一点ab，得出(2)yf x上的对应点为2ab，再得出(2)2yfxfx的对应点为+2ab，由两点的位置关系可判断.对于 D，设 g xf xfx，则有函数()g x是R上的增函数，再得1122()()()()f xfxfxf x，即有12()()g xgx，由此可判断.解：对于 A

14、，22coscos33，故 A 正确；对于 B，函数()f x在,0单调递增，在0,单调递增，则()f x在R上不一定单调递增，故 B 不正确.对于 C，设函数 fx上任意一点ab，则将函数 fx向左平移 2 个单位得函数(2)yf x，此时对应点为2ab，将函数 fx关于 y 轴对称得函数()yfx，此时对应点为ab，再将函数()yfx的图象向右平移 2个单位得(2)2yfxfx，此时对应点为+2ab，而点2ab，与+2ab，有 2+20aa，所以点2ab，与+2ab，关于0 x 对称，所以函数(2)yf x与(2)yfx关于0 x 对称，故 C 正确.对于 D，设 g xf xfx，因为函

15、数()f x是R上的增函数，所以函数()g x是R上的增函数，因为1116661log sinloglog 1062，所以1212()()()()f xf xfxfx，即1122()()()()f xfxfxf x，所以12()()g xgx，所以12xx，即120 xx，故 D 正确.故选：ACD.12BD首先根据条件构造函数 32f xg xxx，0 x，根据 322232320fxxxf xxxgxxx得到 g x在0,上单调递减，从而得到 11232gggg，再化简即可得到答案.由 232xx fxxfx及0 x，得 32232xxfxxx fx.设函数 32f xg xxx，0 x，

16、则 322232320fxxxf xxxgxxx，所以 g x在0,上单调递减，从而 11232gggg，即 112323212368ffff，所以 3181ff，261ff，131162ff，332ff.故选：BD132利用复数的运算法则有：212221112aiiaaiaiiii，满足题意时，虚部202a，解方程可得：2a.1433由递推关系，结合关系式616554433221=aaaaaaaaaaaa可求6a.由题设知，112nnnaa，所以655443322161aaaaaaaaaaaa432102222231，又12a，所以633a 故答案为：33.155 135,4根据已知条件一元

17、二次方程根的特征可知，也是22(21)10 xmxm 的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出m的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.不妨设iab，iab，因为是实系数一元二次方程22(21)10 xmxm 的一个虚数根，所以也是22(21)10 xmxm 的一个虚数根，从而2222|15abm，又因为22(21)10 xmxm 无实根，所以22(21)4(1)0mm ，由可得，324m，因为(21,3)amm，所以2222|(21)(3)5(1)5ammm，由一元二次函数性质易知，当1m 时，2|a有最小值 5；当34m 时，2325|16a；当2

18、m 时，2|10a，故当324m时，23255|16a，即5 135|4a，故向量|a的取值范围为：5 135,4.故答案为：5 135,4.162e由题意可得0a，对原不等式化简 22ln11 lnaxaxeexx，构造函数 1 lnF xxx，求导，讨论函数的单调区间，可得 F x在0,上单调递增，进而22axaxF eF xex，利用参变分离的方法，求出参数的取值范围.由112lnaxaxxxe，可知当1x 时，100axa ea且222121 ln1 lnaxax exxxx 22ln11 lnaxaxeexx令 1 lnF xxx，1lnxFxxx，22111xFxxxx Fx在(0

19、,1)单调递减，在(1,)单调递增，120FxF，F x在0,上单调递增0 x 时，0ax，20 x，而22axaxF eF xex2lnaxx，2ln xax设2ln()xh xx，222ln()xh xx，当(0,),()0 xe h x，单调递增当(+),()0，xeh x，单调递减max2()()h xh ee，所以2ae故答案为：2e本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于难题.17（1）66nbn；（2）22331nnTnn（1）首先根据已知条件得到12nna，从而得到2223233342262212baabaa，再解方程组即可.（2）首先根据（1）得到1266

20、nncn，再利用分组求和求解nT即可.（1）54516SaS，所以35282aqqa，即212 22nnna.所以2112232313346022621262212bdbbaabddbaa，所以66nbn.（2）1266nnnncabn，01212026212266nnTn0112220666nn2661 223311 22nnnnnn.18（1）T；（2）6AC.（1）化简可得21()=sin 2242f xx，可得()f x的最小正周期；（2）由()1f A，可得sincos4AAA，由正弦定理可得AC的长.解：（1）由题意得()sincossincos()2f xxxxx，可得21+co

21、s2sin221()cossin cossin 222242xxf xxxxx，可得T；（2）由题意：()1f A，可得2()cossincos1f AAAA，22sincos1 cossinAAAA，sincos,(0,),24AAAA，由正弦定理得2sinsinsinsin34ACBCACBA即，可得6AC.199 档次的产品先探求 10 个档次的产品的每件利润关系式26nan，以及 10 个档次的产品相同时间内的产量关系式633nbn，可得利润26633ynn，最后根据二次函数性质求最大值.10 个档次的产品的每件利润构成等差数列：8，10，12，82126nann110n，10 个档次

22、的产品相同时间内的产量构成等差数列：60，57，54，6031633nbnn110n，在相同时间内，生产第 n 个档次的产品获得的利润为26633ynn2696 144n 当9n 时，max6 144864y（元）生产低 9 档次的产品可获得最大利润20(1)2cos 233fxx(2),32kkZ（1）根据函数的最小值及最小正周期，求出2A，再根据函数图象关于3x 对称，结合0，求出3，从而求出函数解析式；（2）先求出平移后的解析式，再用整体法求解对称中心.（1）依题意可得312A解得2A，则 2cos 23f xx，因为 fx的图象关于直线3x 对称，所以23kkZ，又0，所以3.故 2c

23、os 233f xx.（2）依题意可得 2cos 232sin231236g xfxxx，令2xkkZ，得2kxkZ，故曲线=y g x的对称中心的坐标为,32kkZ.21（1）证明见解析，113322nna；（2）证明见解析.试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由131nnaa得1113()22nnaa，所以112312nnaa，所以12na是等比数列，首项为11322a，公比为 3，所以12na 1332n，解得na 3

24、12n.（2）由（1）知：na 312n，所以1231nna，因为当1n 时，1312 3nn，所以111312 3nn，于是11a21a1na 1+13+131=31(1)23n32，所以11a21a1na32.【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当1n 时，1312 3nn，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.公 众号：高 中 试卷 君22

25、（1）2212xy；（2）64.（1）求得抛物线的顶点，求得 F1，可得 c=1，再由向量共线的坐标表示，可得 b=1，进而得到 a，即有椭圆方程；（2）运用向量共线的坐标表示，求得 PQ 的斜率，设出 PQ 的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用二次函数的最值求法，可得最大值（1）由抛物线221:12Cyx，可得10,2B，11,0F，设椭圆的焦距为2c，则有1c，又由2OBOA 可得0,1A，1b，2a，故椭圆1C的方程为2212xy.（2）设点211,22N tt，由2112yx 得，|PQx tkyt.直线21122PQytxt：

26、，联立222121122xyytxt 消去y整理得，4222223212102tttxt tx，由0，得232 3t，设11,P x y，22,Q xy，由根与系数关系可得，21222121t txxt，42122232 21ttxxt，42122212621ttxxt，42221222126=1121ttPQtxxtt.设,x y，由1112FMFOFB得0,1,4xy故10,4M.而点10,4M到直线PQ的距离为：22221112124411ttdtt.22422324121266=2884MPQtttSPQd，232 3t，故当23t 时，max64MPQS.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用二次函数的性质求三角形面积最值的.