湖北省荆州市荆州区2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题（解析版）.docx

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1、 荆州市荆州区2022-2023学年高三年级（上）期末模拟测试数 学一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.下列各题，每小题只有一个选项符合题意.）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出和，再求即可解题.【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以故选：C.【点睛】本题考查求解一元二次不等式，集合的交集运算，是基础题.2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】先把已知化简，整理出复数的实部与虚部，接下来去求即可解决.【详解】，则有，解得，则，故故选：C3. 已知ABC中，点O是ABC

2、的外心，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由ABC为等腰直角三角形，得出，结合数量积公式计算即可.【详解】，即ABC为等腰直角三角形，即点O是ABC的外心，点O是的中点故选：C4. 小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（ ）A. 0.954B. 0.956C. 0.958D. 0.959【答案】B【解析】【分析】分别求出小明上学可以乘坐公共汽车和地铁准时到校的概率，然后求和可得答案.【详解】小明上学可以乘坐公共汽车准

3、时到校的概率为 小明上学可以乘坐地铁准时到校的概率为所以小明准时到校的概率为 故选：B5. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则，则由条件可得，由勾股定理可得，从而得出的最小值，得出答案.【详解】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则 由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则，即 又，所以，解得由，则当，即时，最小值 则圆锥的侧面积为 故选：C6. 已知点，则向量与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解

4、.【详解】设与的夹角为，因为，所以故选：B7. 已知正项等比数列的前项和为，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可设，通过排除这种情况，再然后设，通过等比数列的求和公式即可得出、，最后根据、即可得出结果.【详解】因为等比数列是正项等比数列，所以，若，则，不满足题意；若，则，因为，所以若，则，故数列的公比的取值范围为，故选：B.8. 已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64的球面上，且SA平面ABC，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解

5、析】【分析】根据三棱锥外接球的表面积以及三棱锥的几何特点，求得的长，再根据线面角的定义，求得其正切值的表达式，求其最大值即可.【详解】根据题意，将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，且取底面的外心为，连接，且取其中点为，连接如下所示：因为三棱锥外接球的表面积为，设外接球半径为，则，解得；对直三棱柱，其外接球球心在的中点处，也即，故在中，因为，设外接圆半径为，则，解得；在中，因为，且，故可得，即，再由正弦定理可得，则，又为锐角，故；则，即是以为顶角的等腰三角形；因为平面，故与平面的夹角即为，则，又的最小值即为边上的高线，设其长度为，则.故当最大时，为，即直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值

6、为.故选：B.【点睛】本题综合考查棱锥外接球问题、解三角形问题以及线面角的求解，处理问题的关键是对每种问题都能熟练的掌握，从而可以灵活的转化，属综合困难题.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的图象关于点中心对称C. 在区间上单调递增D. 的值域为【答案】BD【解析】【分析】根据的周期性、对称性、单调性、值域等知识确定正确选项.【详解】，所以A选项错误.，所以的图象关于点中心对称，B选项正确.，所以C选项错

7、误.，所以的值域为，D选项正确.故选：BD10. 三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 （ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用正余弦定理逐一判断即可【详解】A：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断；B：由,得，则为钝角，故B能判断；C：由正弦定理，得，则，故C能判断；D：由正弦定理，条件等价于=，则，即，故，则，故D不能判断. 故选：BC11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线的离心率为2B. 若，且，则C. 以线段，为直径的两个圆外切D

8、. 若点P在第二象限，则【答案】ACD【解析】【分析】通过求得，从而求得双曲线的离心率，由此判断A选项的正确性.结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性.通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性.结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.【详解】对于A，设，则，因，所以，由，得，故A正确.对于B，因为，所以，根据双曲线的定义可得，又因为，所以，整理得.由，可得，即，解得，故B错误，对于C，设的中点为，O为原点.因为为的中位线，所以，则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确.对于D，设，则，.因为，所以，则渐近线方程为，所以，.又，所以，因为，所以，故D正确.故选：

9、ACD【点睛】求解双曲线离心率有关问题，可考虑直接法计算出，从而求得双曲线的离心率；也可以考虑建立或的关系式，通过整体求出或来求得双曲线的离心率.12. 如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（ ）A. 三棱锥的体积恒为定值B. 存在唯一的点，使得截面的周长取得最小值C. 不存在点，使得平面D. 若点满足，则在棱上存在相应的点，使得平面【答案】ABD【解析】【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项；将侧面翻折到与底面同一平面，利用、三点共线可判断B选项；利用线面垂直的判定定理可判断C选项；利用线面平行的判定定理可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，平面，平面，则

10、点到平面的距离为定值，又底面的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，由等体积法可判断三棱锥的体积为定值，则选项A正确；对于B选项，将侧面翻折到与底面同一平面，得矩形，连接，与交于点，即为周长最小时的点，则选项B正确；对于C选项，连接，在底面内过点作，交于点，又由长方体可知平面，平面，因为，平面，平面，连接，因为且，则四边形为菱形，所以，因，则平面，选项C错误；对于D选项，当时，设平面交棱于点，连接、，因为平面平面，平面平面，平面平面，同理可证，所以，四边形为平行四边形，则，又因为，所以，所以，又因为，所以，过点在平面内作，交棱于点，因为，所以，四边形为平行四边形，所以，又过点在平面内作，交于点，连

11、接，再过点在平面内作，交于点，因为，所以，四边形也为平行四边形，所以，且，则且，连接，则四边形平行四边形，所以，.因平面，平面，所以，平面，选项D正确.故选：ABD.三、填空题（共4题，总计16分）13. 等差数列的公差为2，若，成等比数列，则_【答案】4【解析】【分析】由题意可以得到，进而将式子化为基本量解出答案即可.【详解】由题意，.故答案为：4.14. 定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲乙丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；乙同学的5个数据的中位数为

12、127，众数为121；丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125.则数学成绩一定优秀的同学是_.【答案】乙【解析】【分析】根据中位数、均值、众数、极差等概念，找出满足条件的5个数，看最小的能否小于120即可判断【详解】在中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀；在中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；在中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最

13、大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀.综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙.故答案：乙15. 设A1，A2，B1分别是椭圆的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H若H到x轴的距离为，则C的离心率为_【答案】#【解析】【分析】表示出直线A1D和直线A2H的方程，联立表示出，即可求出离心率.【详解】直线A1D的方程为，直线A2H的方程为，联立得，故答案为：.16. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，

14、决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n9，nN*）个圆环所需的最少移动次数，数列an满足a11，且an，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为_.（用含n的式子表示）【答案】（，n为奇数）【解析】【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，则，故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，（，n为奇数），故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.故答案为：（，n为奇数）.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.四、解答题（共6题，总

15、计74分）17. 已知数列an满足，且（1）请你在，中选择一个证明：若，则bn是等比数列；若，则bn是等差数列注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分（2）求数列an的通项公式及其前n项和Sn【答案】（1）详见解析； （2），.【解析】【分析】（1）选择，利用条件可得，即证；选择，利用条件可得，即证；（2）由题可得，利用累加法可求，再利用由分组求和法即求.小问1详解】选择，由，可得，又，数列bn是以2为首项，以为公比的等比数列；选择，又数列bn是等差数列.【小问2详解】由上可知，即，.18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，设，求平

16、面四边形面积的最大值及相应的值【答案】（1） （2）最大值为，此时【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得进而求得.（2）求得平面四边形面积的表达式，结合三角函数最值的求法求得平面四边形面积的最大值及相应的值.【小问1详解】，由正弦定理知，由余弦定理知，.【小问2详解】由（1）以及，得是等边三角形设，则余弦定理可得：，则故四边形面积，当时，S取得最大值为，故平面四边形面积的最大值为，此时19. 长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计，是保护后代子孙生活环境的重大举

17、措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量随时间的增长满足指数模型：，其中表示初始时刻的鱼群数量，表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据整理如下：时间（单位：月）1234567鱼群数量（单位：千克）8101424417693（1）根据上表与参考数据，建立理相状态下鱼群的数量关于时间的回归方程；（2）科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率与某个环境指标满足关系：（其中与每年禁渔的总时间（单位：月）有关，.）（i）在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标的取值范围？（ii）在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个

18、月，请说明我国在2020年起实施全年禁渔令的科学性.参考数据381478其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】（1） （2）（i）；（ii）答案见解析【解析】【分析】（1）由，两边取自然对数得到，得出，结合公式求得的值，即可求解.（2）（i）当实施禁渔令以后，要使得鱼群数量增加，得到，即可求解；（ii）设函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【小问1详解】解：由，两边同时取自然对数得，设，可得，因为，所以，又由，解得，即关于的回归方程为.【小问2详解】解：（i）当实施禁渔令以后，要使得鱼群数量增加，则，解得，（ii）根据题意知，设函数，则，

19、令，可得，当时，；当时，所以当时，取得最大值.此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少，因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.20. 在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD平面PCD，底面ABCD为梯形，ABCD，ADDC，且AB=1，AD=DC=DP=2，PDC=120（1）求证：ADPC；（2）求二面角P-AB-C的余弦值；【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）面面垂直得线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的余弦值.【小问1详解】证明：平面ABCD平面PCD，平面ABCD平面PCD=CD，AD平面ABCD，ADDC，AD平面PCD，PC平

20、面PCD，ADPC；【小问2详解】在平面PCD内过点D作DHDC，交PC于H，由（）知，AD平面PDC，DH平面PDC，ADDH，AD，CD，DH两两垂直，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，DH平面ABCD，平面ABCD的一个法向量为，又，设平面PAB的一个法向量为，由，取，则，由题意可知，二面角PABC为锐角，二面角PABC的余弦值为；21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点、是双曲线的两个实轴顶点，点是双曲线上异于、的任意一点，直线交于，直线交于，证明：直线的倾斜角为定值【答案】（1）； （2）证明见解

21、析.【解析】【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设，求得，可设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，即可证得结论成立.【小问1详解】解：由题意得，解得，所以，椭圆的标准方程为【小问2详解】解：由（1）知，双曲线方程为设，则，则，因、，所以设直线的方程为，联立，消去得，由韦达定理可得，则，直线的方程为，联立，消去可得，由韦达定理可得，则，所以，直线的倾斜角为.22. 已知函数，（1）设函数，求的最大值；（2）证明：【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数分析函数在定义域上的单调性，由此可求得函数的

22、最大值；（2）原不等式等价于，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，结合基本不等式可证得所求不等式成立.【小问1详解】解：因为，所以当时，；当时，所以在上为增函数，在上为减函数，从而【小问2详解】证明：原不等式等价于，则，令，则，所以，在上单调递增令，则，所以，存在唯一使得，即，当时，；当时，此时在上单调递减，在上单调递增，要证，即要证于是原问题转化为证明不等式组，由，得，代入对两边取对数得，代入，得因为，当且仅当，时，等号成立，所以【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.