湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考数学试卷（四）含答案.pdf

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1、1雅雅礼礼中中学学 2 20 02 23 3 届届高高三三月月考考试试卷卷（四四）一一、单单项项选选择择题题：本本题题共共 8 8 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的1 已知集合 A(x，y)|x，yN*，yx，B(x，y)|xy8，则 AB 中元素的个数为()A2B3C4D62已知等差数列an满足 a3a6a8a1112，则 2a9a11的值为()A3B3C12D123.已知 a0，b0，且 ab2，则2a12b的最小值是()A1B2C.94D.924 在我国古代数学

2、名著 数学九章 中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺 葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长 2 丈 4 尺，圆周长为 5 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1 丈等于 10 尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为()A2 丈 4 尺B2 丈 5 尺C2 丈 6 尺D2 丈 8 尺5.若直线 xaya10 与圆 C：(x2)2y24 交于 A，B 两点，当|AB|最小时，劣弧 AB的长为()A.2BC2D36蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 x(每分钟鸣叫的次数)与气温 y(单位

3、：)存在着较强的线性相关关系某地观测人员根据如表的观测数据，建立了 y 关于 x 的经验回归方程y0.25xk，则下列说法不正确的是()x(次数/分钟)2030405060y()2527.52932.536A.k 的值是 20B变量 x，y 呈正相关关系C若 x 的值增加 1，则 y 的值约增加 0.25D当蟋蟀 52 次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为 33.5 7.某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 5 名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()2A.3

4、8B.310C.311D.358在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ccos Aacos C2，AC 边上的高为 3，则ABC 的最大值为()A.6B.3C.2D.23二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项符合题目要求符合题目要求,全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分9关于函数 f(x)2cos2xcos)22(x1 的描述正确的是()A其图象可由 y 2sin 2x

5、 的图象向左平移8个单位长度得到Bf(x)在），（20上单调递增Cf(x)在0，上有 3 个零点Df(x)在0,2上的最小值为 210.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为等腰直角三角形，ABBC，且 ACAA12，E，F 分别是 AC，A1C1的中点，D，M 分别是 AA1，BB1上的两个动点，则()AFM 与 BD 一定是异面直线B三棱锥 DMEF 的体积为定值13C直线 B1C1与 BD 所成的角为2D若 D 为 AA1的中点，则四棱锥 DBB1FE 的外接球表面积为 511已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，以线段A

6、B 为直径的圆交 y 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 P，O 为坐标原点，则下列说法中正确的是()A.OAOB34p2B若|AF|BF|4p2，则直线 AB 的斜率为 3C若抛物线上存在一点 E(2，t)到焦点 F 的距离等于 3，则抛物线的方程为 y22xD若点 F 到抛物线准线的距离为 2，则 sinPMN 的最小值为1212.已知当 xe 时，不等式 xa1x1exaln x 恒成立，则正实数 a 的值可以为()A1B.1eCeD.1e23三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，多空题，第一空分，多空题，第一空 2 2 分，第二空分

7、，第二空 3 3 分，共分，共 2020 分分13.设复数 z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2 3i，则|z1z2|_.14.在平面四边形 ABCD 中，已知ABDC，P 为 CD 上一点，CP3PD，|AB|4，|AD|3，AB与AD的夹角为，且 cos 23，则APPB_.15.已知 f(x)ex(e 为自然对数的底数)，g(x)ln x2，直线 l 是 f(x)与 g(x)的公切线，则直线l 的方程为_16.设 F1，F2同时为椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)与双曲线 C2：x2a21y2b211(a10，b10)的左、右焦点，设椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限内交于点

8、M，椭圆 C1与双曲线 C2的离心率分别为e1，e2，O 为坐标原点，若|F1F2|4|MF2|，则 e1e2的取值范围是.四四、解答题解答题：本题共本题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说解答时应写出文字说明、证明过程演算步骤明、证明过程演算步骤17.由整数构成的等差数列an满足 a35，a1a22a4.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn的通项公式为 bn2n，将数列an，bn的所有项按照“当 n 为奇数时，bn放在前面；当 n 为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列cn，b1，a1，a

9、2，b2，b3，a3，a4，b4，求数列cn的前(4n3)项和 T4n3.18.记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b2ac，点 D 在边 AC 上，BDsinABCasin C.(1)证明：BDb;(2)若 AD2DC，求 cosABC.419.已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1B1B 为正方形，ABBC2，E，F 分别为 AC和 CC1的中点，D 为棱 A1B1上的点，BFA1B1.(1)证明：BFDE；(2)当 B1D 为何值时，平面 BB1C1C 与平面 DFE 夹角的正弦值最小？20.为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员

10、连续跳水 m 次，每次测试都是独立的若运动员甲每次选择难度系数较小的动作 A 与难度系数较大的动作 B的概率均为12.每次跳水测试时，若选择动作 A，取得成功的概率为23，取得成功记 1 分，否则记 0 分若选择动作 B，取得成功的概率为13，取得成功记2 分，否则记 0 分总得分记为 X分(1)若 m2，求分数 X 的分布列与均值(若结果不为整数，用分数表示若结果不为整数，用分数表示)(2)若测试达到 n 分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为 n 分的概率为G(n)，如 G(1)13.求 G(2)；问是否存在R，使得G(n)G(n1)为等比数列，其中 nN*，n2？若有，求出

11、；若没有，请说明理由21.在平面直角坐标系 Oxy 中，已知抛物线 C：y24x，经过 P(t,0)(t0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点(1)若 t4，求 AP 长度的最小值；(2)设以 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，问是否存在 t，使得OMON4？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由22.已知函数 f(x)x2asin x2(aR)(1)若曲线 yf(x)在点)2(2(f，处的切线经过坐标原点，求实数 a；(2)当 a0 时，判断函数 f(x)在 x(0，)上的零点个数，并说明理由1雅礼雅礼中学中学 2022023 3 届高三月考试卷（四）届高三月考试卷（四）

12、一、单项选择题：一、单项选择题：1答案C 解析AB(x，y)|xy8，x，yN*，yx(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，共 4 个元素2答案B 解析由等差中项的性质可得，a3a6a8a114a712，解得 a73，a7a112a9，2a9a11a73.3.答案C 解析因为 a0，b0，且 ab2，所以ab21，所以2a12b12(ab)2a12b 122baa2b52 12252 94，4.答案C 解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长 24 尺，另一条直角边长 5210(尺)，因此葛藤长的最小值为 24210226(尺)，即为 2 丈 6 尺5.答

13、案B 解析直线 xaya10 可化为(x1)a(y1)0，则当 x10且 y10，即 x1 且 y1 时，等式恒成立，所以直线恒过定点 M(1,1)，设圆的圆心为 C(2,0)，半径 r2，当 MCAB 时，|AB|取得最小值，且最小值为 2 r2|MC|22 422 2，此时弦长 AB 对的圆心角为2，所以劣弧 AB 的长为22.6答案D 解析由题意，得x15(2030405060)40，y15(2527.52932.536)30，则 ky0.25x300.254020，故 A 正确；由经验回归方程可知，b0.250，变量 x，y 呈正相关关系，故 B 正确；若 x 的值增加 1，则 y 的

14、值约增加 0.25，故 C 正确；当 x52 时，y0.25522033，故 D 不正确7.答案A 解析设事件 A 表示“有一名主任医师被选派”，事件 B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P(B|A)nABnAC24C13C35C24C34C23184838.8答案B 解析ccos Aacos C2，由余弦定理可得 cb2c2a22bcaa2b2c22ab2，整理可得 b2，又 AC 边上的高为 3，122 312acsin B，即 ac2 3sin B，cos Ba2c2b22ac2acb22ac12ac，当且仅当 ac 时取等

15、号，cos B133sin B，2即3sin B3cos B3，即 sinB3 32，B(0，)，B33，43，则 B33，23，B0，3，故ABC 的最大值为3.二、多项选择题：多项选择题：9答案AD 解析f(x)2cos2xcos2x2 1sin 2xcos 2x 2sin2x4，对于A，由y 2sin 2x的图象向左平移8个单位长度，得到y 2sin 2x8 2sin2x4，故选项 A 正确；对于 B，令 2k22x42k2，kZ，解得 k38xk8，kZ，所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ，所以 f(x)在0，8 上单调递增，在8，2 上单调递减，故选项 B 不正确；对于

16、 C，令 f(x)0，得 2x4k，kZ，解得 xk28，kZ，因为 x0，所以 k1，x38；k2，x78，所以 f(x)在0，上有 2 个零点，故选项 C 不正确；对于 D，因为 x2，0，所以 2x434，4，所以 sin2x4 1，22，所以 f(x)2，1，所以 f(x)在2，0上的最小值为 2，故选项 D 正确10.答案BCD 解析A 项，当 M，B 重合时，FM(即 BF)与 BD 是相交直线，故 A 错误；B 项，由已知可得 B1FA1C1，又平面 ABC平面 CAA1C1，所以 B1F平面 CAA1C1.在矩形 AEFA1中，DEF 的面积 S12EFA1F12211.又 B

17、1F12A1C11，所以三棱锥 DMEF 的体积 VMDEF13SB1F131113，所以 B 正确；C 项，由 AA1平面 A1B1C1，得 AA1B1C1，又 B1C1A1B1，A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面 A1B1BA，所以 B1C1平面 A1B1BA，因为 BD平面 A1B1BA，所以 B1C1BD，所以 C 正确；D 项，由题意可得四边形 BB1FE 为矩形，连接 BF(图略)，则矩形 BB1FE 外接圆的圆心为 BF 的中点 O1，且 O1FO1B52.过 O1作 O1NEF，垂足为 N，连接 DN，O1D，则 O1N12，DN1，O1NDN，故 O1D52，所以 O1

18、是四棱锥 DBB1FE 的外接球的球心，外接球的半径为 R52，3则外接球的表面积为 S45225，所以 D 正确11答案AD 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 xmyp2，由xmyp2，y22px，得 y22pmyp20，则 y1y22pm，y1y2p2.对于 A，OAOBx1x2y1y2y212py222py1y2p24p234p2，故 A 正确；对于 B，根据抛物线的定义可知|AF|x1p2，|BF|x2p2，故|AF|BF|x1p2x2p2(my1p)(my2p)m2y1y2pm(y1y2)p2m2p22p2m2p2p2(m21)4p2，所以 m214，解

19、得 m 3，所以直线 l 的斜率 k1m33，故 B 不正确；对于 C，由题意可知 2p23，解得 p2，则抛物线的方程为 y24x，故 C 不正确；对于 D，由题意可知 p2，所以 y1y24m.易得 sinPMNdr，其中 d 是点 P 到 y 轴的距离，r 为以 AB 为直径的圆的半径，且 dx1x22，r|PM|AB|2x1x222.又 x1my11，x2my21，且 y1y24m，所以 d2m21，r2m22，所以 sinPMNdr2m212m22112m21，当 m0 时，sinPMN 取得最小值12，故 D 正确12.答案ABC 解析由题意，原不等式可变形为1ex1xxaaln

20、x，即1ex1ln exxaln xa，设 f(x)xln x，则当 xe 时，1exff(xa)恒成立，因为 f(x)11xx1x，所以函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，因为 xe，a0，所以1ex1，xa1，因为 f(x)在(1，)上单调递增，所以要使1exff(xa)，只需1exxa，两边取对数，得1xaln x，因为 xe，所以 a1xln x.令 h(x)xln x(xe，)，因为 h(x)ln x10，4所以 h(x)在e，)上单调递增，所以 h(x)minh(e)e，所以 01xln x1e，则 a1e，故正实数 a 的最小值为1e.三、填空题：本题共三

21、、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，多空题，第一空分，多空题，第一空 2 2 分，第二空分，第二空 3 3 分，共分，共 2020 分分13答案23解析方法一设 z1z2abi，a，bR，因为 z1z2 3i，所以 2z1(3a)(1b)i，2z2(3a)(1b)i.因为|z1|z2|2，所以|2z1|2z2|4，所以 3a21b24，3a21b24，22，得 a2b212.所以|z1z2|a2b22 3.方法二设复数 z1，z2在复平面内分别对应向量OA，OB，则 z1z2对应向量OAOB.由题意知|OA|OB|OAOB|2，如图所示，以 OA，OB 为邻边作平行

22、四边形 OACB，则 z1z2对应向量BA，且|OA|AC|OC|2，可得|BA|2|OA|sin 602 3.故|z1z2|BA|2 3.14.答案2 解析如图所示，ABDC，四边形 ABCD 为平行四边形，CP3PD，APADDP14ABAD，PBABAP34ABAD，又|AB|4，|AD|3，cos 23，则ABAD43238，APPBAD14AB34ABAD12ABADAD2316AB21289316422.15.答案yex 或 yx1 解析设直线 l 与 f(x)ex的切点为(x1，y1)，则 y11ex，f(x)ex，f(x1)1ex，切点为(x1，1ex)，切线斜率 k1ex，切

23、线方程为 y1ex1ex(xx1)，即 y1exxx11ex1ex，同理设直线 l 与 g(x)ln x2 的切点为(x2，y2)，y2ln x22，g(x)1x，g(x2)1x2，切点为(x2，ln x22)，切线斜率 k1x2，切线方程为 y(ln x22)1x2(xx2)，即 y1x2xln x21，由题意知，与相同，111121221ee,eeln1,xxxxxxxx把代入有111eexxxx11，即(1x1)(1ex1)0，解得 x11 或 x10，当 x11 时，切线方程为 yex；当 x10 时，切线方程为 yx1，综上，直线 l 的方程为 yex 或 yx1.516答案23，2

24、解析如图，设|MF1|m，|MF2|n，焦距为 2c，由椭圆定义可得 mn2a，由双曲线定义可得 mn2a1，解得 maa1，naa1，当|F1F2|4|MF2|时，可得 n12c，即 aa112c，可得1e11e212，由 0e11，可得1e212，即 1e22，则 e1e22e222e2，可设 2e2t(3t0，所以x2asin x20 可转化为 x2a2sin x0，8设 g(x)x2a2sin x，则 g(x)2x2cos x，当 x2，时，g(x)0，所以 g(x)在区间2，上单调递增当 x0，2 时，设 h(x)g(x)2x2cos x，此时 h(x)22sin x0，所以 g(x)在 x0，2 上单调递增，又 g(0)20，所以存在 x00，2 使得 g(x)0 且 x(0，x0)时 g(x)单调递减，xx0，2 时 g(x)单调递增综上，对于连续函数 g(x)，当 x(0，x0)时，g(x)单调递减，当 x(x0，)时，g(x)单调递增又因为 g(0)a0，即 a2时，函数 g(x)在区间(x0，)上有唯一零点，当 g()2a0，即 a2时，函数 g(x)在区间(0，)上无零点，综上可知，当 0a2时，函数 f(x)在(0，)上有 1 个零点；当 a2时，函数 f(x)在(0，)上没有零点