湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高二上学期12月联考数学试题含答案.pdf

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1、湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 数学试题（共 4 页）第 1 页 湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 数学试题 考试时间：2022年12月15日下午15:00-17:00 试卷满分150分第第卷（共卷（共 60 分）分）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知直线斜率为33，则直线的倾斜角为（）A6B3C23D562设抛物线2:8C xy=的焦点为F，点P在C

2、上，()0,6Q，若PFQF=，则PQ=（）A4 2 B4 C4 3 D6 3如图，正方体1111ABCDABC D中，,M N P分别是所在棱的中点，设经过,M N P的平面与平面11ADD A的交线为l，则l与直线1BC所成的角为（）A30 B45 C60 D90 4如图，在棱长为1的正四面体OABC中，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OMMA=，2CNNB=，则MNuuuu r等于（）A23B53C63D2 395设mR，过定点A的动直线0 xmy+=和过定点B的动直线30mxym+=交于点(,)P x y，则PAPB的最大值是（）A4 B10 C5 D10 6瑞士著名数学家欧拉在

3、1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若ABC满足ACBC=，顶点1,0A，()1,2B，且其“欧拉线”与圆M：()2223xyr+=相切，则下列结论正确的是（）A圆M上的点到原点的最大距离为32+B圆M上不存在三个点到直线10 xy=的距离为2C若圆M与圆()222xya+=有公共点，则3,3a D若点(),x y在圆M上，则1yx+的最小值是27已知点P在圆()()225516xy+=上，点()4,0A，()0,2B，则下列选项错误的是（）湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 数学试题（共 4 页）第 2

4、 页 A点P到直线AB的距离小于 10 B当PBA最大时，3 2PB=C当PBA最小时，3 2PB=D点P到直线AB的距离大于 2 8用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家 Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A B C D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题

5、，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的全部选对的得得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9下列说法错误的是（）A若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为 B过不同两点()()1122,A x yB xy的直线方程为112121yyxxyyxx=C线段AB的两个端点()11,A x y和()22,B xy，则以AB为直径的圆的方程为()()()()12120 xxxxyyyy+=D经过点()2,1且在x轴和y轴上截距都相等

6、的直线方程为30 xy+=10圆O的半径为定长r，P是圆O上任意一点，A是圆O所在平面上与P不重合的一个定点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是（）A一个点 B椭圆 C抛物线 D双曲线 11已知1F、2F是双曲线22221xyab=(0a，0b)的左、右焦点，过2F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且2212AFF B=，则该双曲线的离心率为（）A 2 33 B3 C2 D2 3 12在直四棱柱中1111ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，160,2,BADABADAAP=o为1CC中点，点Q满足()1,0,1,0,

7、1DQDCDD=+uuu ruuu ruuuu r.下列结论正确的是（）湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 数学试题（共 4 页）第 3 页 A若12+=，则四面体1ABPQ的体积为定值 B若AQ平面1ABP，则1AQCQ+的最小值为103 10+C若1ABQ的外心为M，则11AB AMuuur uuuu r为定值 2 D若17AQ=，则点Q的轨迹长度为23 第第卷（共卷（共 9090 分）分）三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13在y轴上的截距为2且倾斜角是直线l：31yx=+的倾斜角的一

8、半的直线的方程为 14如图，二面角AB的大小为60，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.若2PM=，3MN=，4NQ=，则PQ=15已知实数,x y满足2222xyxy+=+，则4yx的最大值为 16已知F是双曲线C：()222210,0 xyabab=的右焦点，直线2 20 xy=与双曲线C相交于,A B两点，若90AFBo，则双曲线C的离心率的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.17.(本小题满分本小题满分 1 12 2 分分

9、)()(注意：注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（）两焦点分别为()12,0F，()22,0F，且经过点61,3P的椭圆标准方程；（）与双曲线22146xy=有相同渐近线，且焦距为2 5的双曲线标准方程.1 18 8.(本小题满分本小题满分 1 12 2 分分)()(注意：注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)已知直线12:10,:40lxylxy+=+=，在1l上任取一点A，在2l上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C做1l的平行线l.（）求直线l的方程；（）已知两点()()1,0,0,1MN，若直线l上存在点P使得P

10、MPN+最小，求点P的坐标.湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 数学试题（共 4 页）第 4 页 1 19 9.(本小题满分本小题满分 1 12 2 分分)()(注意：注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)如图 1，在边长为 4 的菱形ABCD中，60BAD=o，点E是AB中点，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1ADDC，如图 2.（）求证：1AE 平面BCDE；（）求二面角1BACD的平面角的正弦值.2020.(本小题满分本小题满分 1 12 2 分分)()(注意：注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)已知圆22:9O xy+=，过点()1,0P

11、的直线l与圆O交于,A B两点.（）若35AB=，求直线l的方程；（）记点A关于x轴的对称点为C（异于点,A B），试问直线BC是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2121.(本小题满分本小题满分 1 12 2 分分)()(注意：注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，2,60,BCABABCPBAC=o.（）求CP与平面ABCD所成角的正弦值；（）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过,B Q两点的截面，且/AC平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，

12、说明理由.2222.(本小题满分本小题满分 1 12 2 分分)()(注意：注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)在12PFF中，已知点12(3,0),(3,0)FF，1PF与2PF边上的中线长之和为6.记12PFF的重心G的轨迹为曲 线C.（）求C的方程；（）若圆22:1O xy+=，(0,1)E，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相交于点,A B，直线,EA EB与曲线C的另一个交点分别是点,P M，求EPM面积的最大值.智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 1 页 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 湖

13、北省重点高中智学联盟湖北省重点高中智学联盟 20222022 年秋季高二年级年秋季高二年级 1212 月联考月联考 参考答案参考答案 一、单选题（每题一、单选题（每题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）1 2 3 4 5 6 7 8 D A D B C C D C 3D【详解】如图，延长MN交CD于E，连接PE交1DD于H，取DC的中点F，连接FM与FP，由三角形相似知H是1DD的中点，连接NH，NH即为所求的 l，由正方体可知11lADBC，又正方形11BCC B中11BCBC，1lBC，l与直线1BC所成的角为90，故选：D.5C【详解】由题意可知，动直线0 xmy+=经过定点(0,

14、0)A，动直线30mxym+=即(1)30m xy+=，经过定点()1,3B，因为110=mm，所以动直线0 xmy+=和动直线30mxym+=始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PAPB，222|10PAPBAB+=，故22|52PAPBPAPB+=（当且仅当|5PAPB=时取“=”)，故选：C 6A【详解】对于 A，圆()222xya+=的圆心为(0,)a，半径为2，因为圆 M：()2238xy+=的圆心为(3,0)M，半径为2 2，所以要使圆 M 与圆()222xya+=有公共点，则只要圆心距的范围为 2,3 2，所以22233 2a+，解得33a，所以 A 正确，故选：A.对于 B，由

15、题意可得ABC的欧拉线即为AB的垂直平分线，因为1,0A，()1,2B，所以AB的中点坐标为(0,1)，2011 1ABk=，所以线段AB的垂直平分线方程为1yx=+，即10 xy+=，智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 2 页 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 因为“欧拉线”与圆 M：()2223xyr+=相切，所以3 12 22r+=，所以圆 M：()2238xy+=，所以圆 M 上的点到原点的最大距离为32 2+，所以 B 错误；对于 C，因为圆心(3,0)M到直线10 xy=的距离为3 122d=，而圆的半径为2

16、 2，所以圆 M 上存在三个点到直线10 xy=的距离为2，所以 C 错误；对于 D，1yx+表示圆上的点(,)x y与定点(1,0)P 连线的斜率，设过(1,0)P 与圆相切的直线方程为(1)yk x=+，即0kxyk+=，则 232 21kkk+=+，解得1k=，所以1yx+的最小值为1，所以 D 错误，7B【详解】圆22(5)(5)16xy+=的圆心为(5,5)C，半径为 4，直线AB的方程为142xy+=，即240 xy+=，圆心C到直线AB的距离为22|5254|1111 545512+=+，则点P到直线AB的距离的最小值为11 5425，最大值为11 54105+，所以点P到直线A

17、B的距离小于 10，但不一定大于 2，故选项 A 正确，B 错误；如图所示，当ABP最大或最小时，PB与圆相切，(P点位于1P时PBA最小，位于2P时PBA最大），连接CP，BC，可知PCPB，22|(05)(25)34BC=+=，|4CP=，由勾股定理可得22|3 2BPBCCP=，故选项 CD 正确故选：B 8C【详解】如图：在椭圆上任意一点 P 作平行于12OO 的直线，与球1O 交于 F点，与球2O 交于 E 点，则PE，2PF 是过点 P 作球2O 的两条公切线，2PEPF=，同理1PFPF=，1212PFPFPEPFOO+=+=，是定值，所以12,F F 是椭圆的焦点；正确；由以上

18、的推导可知：121122,OOOOa OOa=，1OFc=，11O F 平面，11111,O FOFOOF 是直角三角形，2221111O FOFOO+=，即22211O Fca+=，11O Fb=，正确；智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 3 页 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 11FOO 就是平面 与轴线12OO的夹角，在11Rt OOF 中，椭圆的离心率11cosOFceaOO=，由余弦函数的性质可知当锐角 变大时，e 变小，错误；故选：C.二、多选题（每题二、多选题（每题 5 5 分，共分，共 2020 分，漏

19、选得分，漏选得 2 2 分，有错选的得零分分，有错选的得零分）9 10 11 12 ABD ABD AC ABD 三、填空题（每题三、填空题（每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.32yx=+14.21 15.1 16.3 26,42 15.【答案】1【详解】易知曲线2222xyxy+=+关于 x 轴和 y 轴对称，故只需考虑0 x,0y 的情形，此时方程为2222xyxy+=+，即()()22112xy+=.所以(),x y的轨迹如下图：044yyxx=，表示点 P(),x y和 A()4,0连线l的斜率，由图可知，当l曲线第四象限部分半圆（圆心为()1,1，半径为2）相切时，

20、斜率最大.设l：()4yk x=，则23121kk=+，解得1k=或17（舍去），所以2yx的最大值为 1.16.【答案】3 26,42【详解】联立222212 2xyabxy=得：()222228baya b=所以2280ba，22890ca，解得3 24e 同时有228Aabyba=，所以222 28Aabxba=，即22222 2,88ababAbaba 设双曲线的左焦点为F，连结 AF，BF，由对称性知四边形AF BF为平行四边形。90,90AFBF AF()()222200AAAAAF A FAxcxcyxyc+()()222222222422229369898189011822a

21、bcacaccaeeeeba+综上得3 2642e.智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 4 页 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 四、解答题（共四、解答题（共 7070 分，第分，第 1717 题题 1010 分，其余各分，其余各 1212 分）分）17（1）设所求椭圆的标准方程为()222210 xyabab+=两焦点分别为()12,0F，()22,0F，2c=又椭圆过点61,3P，221213ab+=，又222ab=+23a=，21b=，所以椭圆的标准方程为2213xy+=.6 分（2）方法一：(i),若焦点在x轴上

22、，设所求双曲线方程为22221(,0)xym nmn=，因为22221(,0)xym nmn=与双曲线22146xy=有相同渐近线，所以62nm=，设该双曲线的焦距为12c，又因为焦距122 5,c=所以15c=，所以22215mnc+=，联立226,25nmmn=+=解得222,3,mn=则双曲线方程为22123xy=，.9 分(ii),若焦点在y轴上，设所求双曲线方程为22221(,0)yxm nmn=，因为22221(,0)yxm nmn=与双曲线22146xy=有相同渐近线，所以62mn=，设该双曲线的焦距为12c，又因为焦距122 5,c=所以15c=，所以22215mnc+=，联立

23、226,25mnmn=+=解得223,2,mn=则双曲线方程为22132yx=，双曲线的标准方程为：22123xy=或22132yx=.12 分 方法二：设与双曲线22146xy=有相同渐近线的双曲线方程为：2246xy=（0）.8 分 焦距为2 5，5c=465+=，12=双曲线的标准方程为：22123xy=或22132yx=.12 分 18.解：（1）设直线l的方程:0lxyC+=，则141222CCd=，则2C=（2C=舍），智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 5 页 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 则:20lx

24、y+=.6 分（2）设点M关于直线l的对称点(,)M x y，则121112022yxxyxy=+=+=，则:1MN y=，则(1,1)P .12 分 19.解：（1）在菱形 ABCD中，60BAD=，DEAB于点 E，DEBE，BEDC，DEDC，又1ADDC，1ADDED=，1、ADDE平面1ADE，DC 平面1ADE，1AE 平面1ADE，1DCAE，又1AEDE，DCDED=，、DCDE平面BCDE，1AE 平面BCDE；.5 分（2）1AE 平面BCDE，DEBE，以EB，ED，1EA所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（如图），则()0,0,0E，()10,0,2A，

25、()2,0,0B，()4,2 3,0C，(0,2 3,0)D()12,0,2BA=，()2,2 3,0BC=，()10,2 3,2DA=，()4,0,0DC=设平面1BAC的法向量为()111,mx y z=，平面1DAC的法向量为()222,nxyz=由10BA m=，0BC m=，得111122022 30 xzxy+=+=，令11y=，得()3,1,3m=，同理可得()0,1,3n=27cos,772m nm nmn=，求二面角1BACD的平面角的正弦值427.12 分 20.解：（1）由题意可知圆O的圆心坐标为()0,0O，半径3r=，且直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为()1,0

26、,0 xmyO=+到直线l的距离为d.因为35AB=，所以22222 935rdd=，解得12d=.智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 6 页 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 由点到直线的距离公式可得O到直线l的距离21121dm=+，解得3m=.故直线l的方程为310 xy+=或103xy=.5 分（2）设()()1122,A x yB x y，则()11,C xy.联立2219xmyxy=+=，整理得()221280mymy+=，则12122228,11myyy ymm+=+.假设直线BC过定点，由对称性可知所过定

27、点在x轴上，设该定点为(),0D t.因为,B C D三点共线，所以211211yyyxxtx+=，所以()()21112211221121212121212219xxymy yyyx yx ymy ytxyyyyyyyy+=+=+=+.故直线BC过定点()9,0 .12 分 21.解：（）证明：取棱 AB 长的一半为单位长度.PAB 中，AB=2，BC=4，ABC=60，根据余弦定理，得222242 2 4cos6012AC=+=，2 3AC=222ABACBC+=，ABAC，又 PBAC，PBAB=B，AC平面 PAB.ACABCD平面，平面 ABCD平面 PAB.取 AB 中点 H，连

28、PH、CH.PAB 是等边三角形，PHAB，PH平面 ABCD，PCH 是 CP 与平面 ABCD 所成的角 RTPCH 中，3PH=，2213CHAHAC=+=，4PC=故3sin4PHPCHPC=，即为所求.5 分（）假设存在点 Q，使得平面 BEQF平面 PAD.如图，以 A 为原点，分别以,AB AC为 x、y 轴的正方向建立空间直角坐标系 A-xyz，则()()()2,0,0,2,2 3,0,1,0,3BDP，()()2,2 3,0,1,0,3,ADAP=()()4,2 3,0,3,2 3,3BDDP=，设()1111,nx y z=是平面 PAD 的法向量，则 智学联盟 2022

29、年秋季高二年级 12 月联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 7 页 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 11111122 3030nADxynADxz=+=+=，取()13,1,1n=设DQDP=，则()34,2 32 3,3BQBDDQBDDP=+=+=连 EF，AC平面 BEQF，ACPAC平面，平面 PAC平面 BEQF=EF，ACEF，取与EF同向的单位向量()0,1,0j=设()2222,nxyz=是平面 BEQF 的法向量，则()()2222220342 3 130njynBQxyz=+=，取()23,0,43n=由平面 BEQF平面 PAD，知12nn

30、，()1233430n n=，解得23=故在侧棱 PD 上存在点 Q 且当23DQDP=时，使得平面 BEQF平面 PAD.12 分 22.解：（）根据三角形重心的性质及已知条件，得122643GFGF+=124FF，曲线 C 是以12,F F为焦点，长轴长24a=的椭圆（不含 x 轴上的两点）由2,3ac=，得2221bac=故 C 的方程为()22104xyy+=；.5 分（）法一、(0,1)E，由题意知直线 PE，ME的斜率存在且不为 0，PEME，不妨设直线 PE 的斜率为(0)k k，则:1PE ykx=由22114ykxxy=+=，解得2228414141kxkkyk=+=+或01

31、xy=，222841,41 41kkPkk+得2222222184811414141kkkPEkkkk=+=+，用1k代替k，可得22221818111441kEMkkkk=+=+，智学联盟 2022 年秋季高二年级 12 月联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 8 页 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 222222218832(1)112 414(4)(1 4)EPMkkkSkkkkkk+=+=+3422213232()44174417kkkkkkkk+=+，设1kk+=，由0k，可得1122kkkk，当且仅当1kk，即1k=时，取等号，所以2，则23232917

32、4(2)4EPMS=+，令()()942f=+，函数()f在)2,+上递增，所以()92542f=+，所以32649254+，当2=时，取等号，所以EPM面积的最大值为6425.12 分 法二、设1122(,),(,)P x yM xy，易知PM斜率存在，设直线PM为ykxm=+由22222(14)844014ykxmkxmkxmxy=+=+=122212281 40,441 4mkxxkmx xk+=+=+由1 2121 2120(1)(1)0(1)(1)0EP EMx xyyx xkxmkxm=+=+=得25230mm+=，35m=（1m=舍去）3:5PMykx=+与y轴交于3(0,)5 22212221641 84164116252 55541541EPMkkmSxxakk+=+设2164()2545k+=21616199552525EPMuSuuu=+在54时单调递减,当45u=，即0k=时，()6425EPMmaxS=