2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019）常考题型09 椭圆的标准方程、离心率及最值问题含解析.pdf

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1、2022-20232022-2023 学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破常考题型常考题型 0909 椭圆的标准方程、离心率及最值问题椭圆的标准方程、离心率及最值问题1.椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c 的关系b2a2c22.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点A

2、1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(a2b2，0)(0，a2b2)焦距|F1F2|2 a2b2对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点离心率eca(0,1)考法一：考法一：椭圆定义的应用椭圆定义的应用椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆；二是当一点 P 在椭圆上时，它与椭圆的两焦点1F，2F组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|1PF|2PF，通过整体代入可求其面积等.考法二：考法二：求椭圆的标准方

3、程求椭圆的标准方程1.定义法：根据椭圆的定义，确定2a，2b的值，再结合焦点位置求出标准方程.常用的方法：根据 a，b，c 的关系；根据椭圆的定义确定 2a；利用焦点三角形的性质.2.待定系数法(1)已知焦点位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a，b，c 的方程组，解出 a，b，从而得到椭圆的标准方程(注意解的个数）.(2)当标准方程形式下焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：一种是分类讨论，注意全面考虑焦点位置；另一种是设一般方程122nymx(m0，n0，且 mn).考法三：考法三：椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题1.函数法：将问题转化为函数的最值问题处理时，应充分注意椭

4、圆中 x，y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.2.数形结合法：依据数学式子的几何意义，寻找图形中的关系.考法四：考法四：求椭圆的离心率求椭圆的离心率1.定义法：当题中出现焦点三角形的三边关系或 a，c 易求时，可以利用定义ace 求解。另外，b，c 易求时，可利用22cbcace求解，a，b 易求时，可利用21abace求解.反之，已知离心率可以得出 a 与c 或 a 与 b 或 b 与 c 的关系.2.构造法：根据条件及几何图形，构造关于 a，c 的齐次式，不需要求出 a，c 的具体值，而是整体构造ac的方程求得 e。探究一：探究一：椭圆定义的应用椭圆定义的应用在椭

5、圆 C：22221xyab（0ab）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：2222xyab上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家 G-Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆 C 的离心率为 e，左右焦点分别为1F2F，P 为椭圆 C 上一动点，过 P 和原点作直线 l 与蒙日圆相交于 M，N，则12|PMPNPFPF（）A21eB1C2eD以上答案均不正确思路分析：思路分析：令12|PFPFm，根据椭圆的定义可得2221242PFPFam，再根据向量数量积的运算律得到2PO，最后由(|)(|)PMPNrPOrPO计算可得。【变式练习】【变式练习】1 如图，12,F F分别为椭圆2

6、2143xy的左右焦点，P为椭圆上的点，PT为12FPF的外角平分线，2F TPT，则OT（）A1B2C3D42已知1F、2F是椭圆22:1163xyC的两个焦点，P 为椭圆上一点，则12PFPF（）A有最大值，为 16B有最小值，为 16C有最大值，为 4D有最小值，为 4探究二：探究二：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是12,F F，焦距122 5FF，过点(3 5,0)T的直线与椭圆交于,P Q两点，若2TPTQ，且12PFPF，则椭圆 C 的方程为（）A22194xyB22183xyC22172xyD2216xy思路分析：思路分析

7、：画出图形，利用已知条件2TPTQ，推出122PFQF，延长2QF交椭圆C于点M，得到直角1FMQ和直角12FMF，设2QFm，则122PFMFm，根据椭圆的定义转化求解,a b，即可求得椭圆的方程。【变式练习】【变式练习】1 如图，A、B分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为右焦点F，且/AB OP，点P到右准线的距离为3，则椭圆方程为（）A22163xyB22142xyC221129xyD221126xy2曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小已知椭圆2222:10 xyCabab上点00(,)P xy处的曲率半径公式

8、为3222220044xyRa bab若椭圆 C 上所有点相应的曲率半径的最大值为 4，最小值为12，则椭圆 C 的标准方程为（）A2212xyB2214xyC22143xyD22184xy探究三：探究三：椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题已知点P是椭圆24x+2y=1 上的动点（点P不在坐标轴上），12FF、为椭圆的左，右焦点，O为坐标原点；若M是12F PF的角平分线上的一点，且1FM丄MP，则丨OM丨的取值范围为（）A（0，3）B（0，2）C（l，2）D（3，2）思路分析：思路分析：延长2PF、1FM相交于点N，连接OM，利用椭圆的定义分析得出1212OMPFPF，设点00(,)P xy，

9、求出0 x的取值范围，利用椭圆的方程计算得出012OMx，由此可得出结果。【变式练习】【变式练习】1F是椭圆22195xy的左焦点P，是椭圆上的动点1,1 A，为定点，则PAPF的最小值是（）A92B32C62D622已知椭圆221043xyxy，其中1F、2F为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点过1F的直线1l与过2F的直线2l交于点N，线段1F N的中点为M，线段1F N的垂直平分线MP与2l的交点P（第一象限）在椭圆上，则OM 的取值范围是（）A0,1B0,3C1,3D1,2探究四：探究四：求椭圆的离心率求椭圆的离心率已知椭圆2222:1xyCab（0ab），椭圆的左、右焦点分别为1F，2F

10、，P 是椭圆 C 上的任意一点，且满足120PF PF ，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（）A10,2B20,2C12,22D2,12思路分析：思路分析：设00P xy，则100200(,),(,)PFcxyPFcxy ，由120PF PF ，得22200 xyc，根据2200 xy表示椭圆上的点到原点的距离的平方，可得选项。【变式练习】【变式练习】1设椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，点 M，N 在 C 上（M 位于第一象限），且点 M，N 关于原点 O 对称，若12MNFF，222 2 MFNF，则 C 的离心率为（）A24B12C6 237D3 23

11、72椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右焦点分别是1F，2F，斜率为 1 的直线 l 过左焦点1F，交 C 于 A，B 两点，且2ABF的内切圆的面积是，若椭圆 C 的离心率的取值范围为22,42，则线段 AB 的长度的取值范围是（）A22,42B1,2C4,8D4 2,8 2一、单选题一、单选题1已知椭圆222210 xyabab上存在点P，使得213PFPF，其中1F，2F分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A10,4B1,14C1,12D1,122已知O为坐标原点，F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点，A B分别为椭圆C的左右顶点，P为椭圆C上一点

12、，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为（）A13B12C23D343关于椭圆有下面四个命题：长轴长为 4；短轴长为 3；离心率为12；椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 3若只有一个假命题，则该命题是（）ABCD4设椭圆22221(0)xyabab长轴的两个顶点分别为A、B，点C为椭圆上不同于A、B的任一点，若将ABC的三个内角记作A、B、C，且满足3tan3tantan0ABC，则椭圆的离心率为（）A33B13C63D235已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的左右顶点分别为1A，2A，且以线段12A A为直径的圆与直

13、线20bxayab相交，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（）A60,3B6,13C2,13D20,3.6已知1F，2F是椭圆 C：222210 xyabab的左、右焦点，O 为坐标原点，点 M 是 C 上点（不在坐标轴上），点 N 是2OF的中点，若 MN 平分12FMF，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A1,12B10,2C1,13D10,37椭圆 C：222210 xyabab左右焦点分别为1F，2F，P 为 C 上除左右端点外一点，若121cos2PFF，211cos3PF F，则椭圆 C 的离心率为（）A436B52 37C73 35D72 658已知椭圆2241253xy的左、右

14、焦点分别为1F、2F，第一象限内的点M在椭圆上，且满足12MFMF，点N在线段1F、2F上，设12FNNF，将12MF F沿MN翻折，使得平面1MNF与平面2MNF垂直，要使翻折后12FF的长度最小，则（）A32B2C49D94二、多选题二、多选题9已知椭圆C：221259xy，1F，2F分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A存在 P 使得122F PFB12cosF PF的最小值为725C12PFPF，则12FPF的面积为 9D直线PA与直线PB斜率乘积为定值92510已知椭圆C：22142xy内一点11,2M，直线l与椭圆C交于A，B

15、两点，且点M是线段AB的中点，则（）A椭圆C的焦点坐标为2,0，2,0B椭圆C的长轴长为 4C直线l的方程为2230 xyD2 153AB 11一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点3,0F，椭圆的短轴与半圆的直径重合若直线0yt t与半圆交于点 A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（）A椭圆的离心率是22B线段AB长度的取值范围是0,33 2CABF面积的最大值是9214DOAB的周长存在最大值12已知1F，2F是椭圆 C：221925xy的两个焦点，过1F的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B

16、两点，O 为坐标原点，则（）A椭圆 C 的离心率为35B不存在点 A 使得12AFAFC若2212AFBF，则8AB D12AFF面积的最大值为 12三、填空题三、填空题13 已知1F、2F分别为椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，P 是椭圆 C 上的一点，直线22:abl xa，且PQl，垂足为 Q 点若四边形12PQF F为平行四边形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_14若1F、2F是椭圆 C：221925xy的两个焦点，过1F的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则下列说法中正确的是_（填序号）椭圆 C 的离心率为35；存在点 A 使得12AFAF；若

17、228AFBF，则12AB；12AFF面积的最大值为 1215如图，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，点 P 是以12FF为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF与椭圆交于点 Q，若124PFQF，则直线2PF的斜率为_16已知椭圆 C：2222xyab1(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，点1111,P x yQxy，在椭圆C上，其中1100 xy，若22PQOF，|11QFPF|33，则椭圆C的离心率的取值范围为_四、解答题四、解答题17在平面直角坐标系中xOy，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，点13,2在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆

18、 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P，Q 为椭圆上异于 A，B 的两动点，记直线AP的斜率为1k，直线QB的斜率为2k，已知127kk求证：直线PQ恒过 x 轴上一定点.18 已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点61,2，直线l：yxm 与椭圆C交于AB，两点，且线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为12(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在PQ，两点，使得PQ，关于直线l对称，求实数m的范围19已知椭圆2222:10 xyCabab的长轴长为2 3，离心率为63(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若过点0,2P的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求OAB（O

19、为原点）面积的最大值20 以 O 为原点，OF 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系 设1OF FG ，点 F 的坐标为,0t，3,t，点 G 的坐标为00,xy(1)求0 x关于 t 的函数 0 xf t的表达式，判断函数 f t的单调性（不需要证明）；(2)设OFG的面积316St，若以 O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点 G，求当OG取得最小值时椭圆的方程；(3)在（2）的条件下，若点 P 的坐标为90,2，C、D 是椭圆上的两点，且1PCPD ，求实数的取值范围常考题型常考题型 0909 椭圆的标准方程、离心率及最值问题椭圆的标准方程、离心率及最值问题1.椭圆的标准方程焦点在 x 轴上

20、焦点在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c 的关系b2a2c22.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(a2b2，0)(0，a2b2)焦距|F1F2|2 a2b2对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心

21、：原点离心率eca(0,1)考法一：考法一：椭圆定义的应用椭圆定义的应用椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆；二是当一点 P 在椭圆上时，它与椭圆的两焦点1F，2F组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|1PF|2PF，通过整体代入可求其面积等.考法二：考法二：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程1.定义法：根据椭圆的定义，确定2a，2b的值，再结合焦点位置求出标准方程.常用的方法：根据 a，b，c 的关系；根据椭圆的定义确定 2a；利用焦点三角形的性质.2.待定系数法(1)已知焦点位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据

22、条件确定关于 a，b，c 的方程组，解出 a，b，从而得到椭圆的标准方程(注意解的个数）.(2)当标准方程形式下焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：一种是分类讨论，注意全面考虑焦点位置；另一种是设一般方程122nymx(m0，n0，且 mn).考法三：考法三：椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题1.函数法：将问题转化为函数的最值问题处理时，应充分注意椭圆中 x，y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.2.数形结合法：依据数学式子的几何意义，寻找图形中的关系.考法四：考法四：求椭圆的离心率求椭圆的离心率1.定义法：当题中出现焦点三角形的三边关系或 a，c 易求时，可以利用定义

23、ace 求解。另外，b，c 易求时，可利用22cbcace求解，a，b 易求时，可利用21abace求解.反之，已知离心率可以得出 a 与c 或 a 与 b 或 b 与 c 的关系.2.构造法：根据条件及几何图形，构造关于 a，c 的齐次式，不需要求出 a，c 的具体值，而是整体构造ac的方程求得 e。探究一：探究一：椭圆定义的应用椭圆定义的应用在椭圆 C：22221xyab（0ab）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：2222xyab上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家 G-Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆 C 的离心率为 e，左右焦点分别为1F2F，P 为椭圆 C

24、上一动点，过 P 和原点作直线 l 与蒙日圆相交于 M，N，则12|PMPNPFPF（）A21eB1C2eD以上答案均不正确思路分析：思路分析：令12|PFPFm，根据椭圆的定义可得2221242PFPFam，再根据向量数量积的运算律得到2PO，最后由(|)(|)PMPNrPOrPO计算可得。【解析】解：令12|PFPFm，因为12|2PFPFa，则2121222|2|4|PFPFPFPFa，所以2221242PFPFam，由1212212PFPFPOPFPFF F ，所以212122224PFPFPF PFPO ，2121221222PFPFPF PFF F 则可得2228444amPOc，

25、解得2222POacm，所以222222|(|)(|)|2abmPMPNrPOrPOrPOacm，故12|1PMPNPFPF，故选：B【答案】B【变式练习】【变式练习】1 如图，12,F F分别为椭圆22143xy的左右焦点，P为椭圆上的点，PT为12FPF的外角平分线，2FTPT，则OT（）A1B2C3D4【答案】B【解析】如图所示：延长2F T交1FP的延长线于点M，因为PT为12FPF的外角平分线，2FTPT，所以易得2PTFPTM，所以2PFPM，2TFTM，结合椭圆的定义得1112|4MFPFPMPFPF，又T为2F M的中点，O为12FF的中点，所以在12FF M中，1122OTM

26、F，故选：B.2已知1F、2F是椭圆22:1163xyC的两个焦点，P 为椭圆上一点，则12PFPF（）A有最大值，为 16B有最小值，为 16C有最大值，为 4D有最小值，为 4【答案】A【解析】由题意知，4a，则1222 48PFPFa由基本不等式，知22121281622PFPFPFPF，（当且仅当124PFPF时等号成立），所以12PFPF有最大值，为 16故选：A探究二：探究二：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是12,F F，焦距122 5FF，过点(3 5,0)T的直线与椭圆交于,P Q两点，若2TPTQ，且12PFPF，则椭

27、圆 C 的方程为（）A22194xyB22183xyC22172xyD2216xy思路分析：思路分析：画出图形，利用已知条件2TPTQ，推出122PFQF，延长2QF交椭圆C于点M，得到直角1FMQ和直角12FMF，设2QFm，则122PFMFm，根据椭圆的定义转化求解,a b，即可求得椭圆的方程。【解析】如图所示，11222,22TPTQ TFFFTF，则122PFQF，延长2QF交椭圆C于点M，可得直角1FMQ和直角12FMF，设2QFm，则122PFMFm，根据椭圆的定义，可得112,22QFam MFam，在直角1FMQ中，222(22)(3)(2)ammam，解得3am，又在12FM

28、F中，222(22)(2)4ammc，代入可得225945ac，所以3,2ab，所以椭圆C的方程为22194xy.故选：A.【答案】A【变式练习】【变式练习】1 如图，A、B分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为右焦点F，且/AB OP，点P到右准线的距离为3，则椭圆方程为（）A22163xyB22142xyC221129xyD221126xy【答案】A【解析】设椭圆方程为222210 xyabab，设该椭圆的焦距为2c，则,0F c，由图可知，点P在第一象限，将xc代入椭圆方程得22221cyab，得2422221cbybaa，所以，点2,bP ca，易知点,0Aa、

29、0,Bb，ABbka，2OPbkac，因为/AB OP，则ABOPkk，得2bbaac，可得bc，则222abcc，点P到右准线的距离为为223accccc，则6a，3bc，因此，椭圆的方程为22163xy.故选：A.2曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小已知椭圆2222:10 xyCabab上点00(,)P xy处的曲率半径公式为3222220044xyRa bab若椭圆 C 上所有点相应的曲率半径的最大值为 4，最小值为12，则椭圆 C 的标准方程为（）A2212xyB2214xyC22143xyD22184xy【答案】B【解析】因为曲率半

30、径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小，所以椭圆 C 在,0a处的曲率半径最小，则322222min41(0)2abRa baa，所以22ab，椭圆 C 在0,b处的曲率半径最大，则322222max4(0)4baRa bbb，所以24ab，则2a，1b，故椭圆 C 的标准方程为2214xy.故选：B探究三：探究三：椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题已知点P是椭圆24x+2y=1 上的动点（点P不在坐标轴上），12FF、为椭圆的左，右焦点，O为坐标原点；若M是12FPF的角平分线上的一点，且1FM丄MP，则丨OM丨的取值范围为（）A（0，3）B（0，2）C（l，2）D（3，2）思路分析：思路分析：延

31、长2PF、1FM相交于点N，连接OM，利用椭圆的定义分析得出1212OMPFPF，设点00(,)P xy，求出0 x的取值范围，利用椭圆的方程计算得出012OMx，由此可得出结果。【解析】如下图，延长2PF、1FM相交于点N，连接OM，因为1F MMP，因为PM为12FPF的角平分线，所以，1PNPF，则点M为1F N的中点，因为O为12FF的中点，所以，2212111222OMF NPNPFPFPF，设点00(,)P xy，由已知可得2a，1b，223cab，则022x 且00 x，且有2200114yx，222221000000000133332 33 12 34224422PFxyxxx

32、xxxx ，故2103422PFPFx，所以，120130,322OMPFPFx.故选：A.【答案】A【变式练习】【变式练习】1F是椭圆22195xy的左焦点P，是椭圆上的动点1,1 A，为定点，则PAPF的最小值是（）A92B32C62D62【答案】C【解析】椭圆22195xy的352abc，如图，设椭圆的右焦点为2,0F，则26PFPFa；6PAPFPAPF 6PAPF；由图形知，当P在直线AF上时，2PAPFAF，当P不在直线AF上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，2PAPFAF，当P在F A的延长线上时，PAPF取得最小值2，PAPF的最小值为62故选：C2已知椭圆221043xy

33、xy，其中1F、2F为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点过1F的直线1l与过2F的直线2l交于点N，线段1F N的中点为M，线段1F N的垂直平分线MP与2l的交点P（第一象限）在椭圆上，则OM 的取值范围是（）A0,1B0,3C1,3D1,2【答案】A【解析】如图所示，因为点P在y轴右边，因为PM是1F N的垂直平分线，所以1FMMN,由中位线定理可得212OMF N,设点0000,0,0P xyxy,由两点间的距离公式得，()()()20222222220100000212xac xPFxcyxcbcxaaexa=+=+-=+=+，同理可得20PFaex，又PM是1F N的垂直平分线，所以1P

34、FPN,即221202F NPNPFPFPFex,且12FF N中OM是中位线，所以2012OMF Nex，在椭圆中01,022ex=0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)焦点(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c 的关系c2a2b22.双曲线的性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质范围xa 或 xaya 或 ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybaxyabx离心率eca，e(1，)，其中 c a2b2a，b，c 间的关系c2a2b2(ca0，cb0

35、)考法一：考法一：求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程1.定义法：根据双曲线的定义知，到两个定点的距离之差的绝对值是一个非零常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线，根据双曲线的定义可以求标准方程.2.待定系数法一般步骤：判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设：根据中判断设出所需的未知数或者标准方程；列：根据题意列关于 a，b，c 的方程(组)；解：求解得到的方程（组）.考法二：考法二：求双曲线的离心率求双曲线的离心率1.定义法：当题目中 a，c 易求时，直接利用定义ace 求解。另外，易求 b，c 时，可利用22bcce求解，易求 a，

36、b 时，可利用21abace；求解.反之，已知离心率也可以得出 a 与 b 或 a 与 c 或 b 与 c的关系.2.构造法：根据条件及几何图形，构造关于 a，c 的齐次式，不需要求出 a，c 的具体值，而是整体构造ac的方程求得 e.注意依据 e1 对所得解进行取舍。探究一：探究一：求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程如图，1F，2F分别是双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，且17,0F，过1F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B若2ABF为等边三角形，则双曲线的方程为（）A22551728xyB2216xyC2216yx D22551287xy思路分析：思路分析：由

37、双曲线定义结合等边三角形求得2BF，1BF，再由余弦定理求得,a b，即可求得双曲线方程。【变式练习】【变式练习】1已知双曲线的上、下焦点分别为10,3F，20,3F，P 是双曲线上一点且124PFPF，则双曲线的标准方程为（）A22145xyB22154xyC22145yxD22154yx2设双曲线 C：22221xyab（0a，0b）的左焦点为 F，直线43200 xy过点 F 且与双曲线 C 在第二象限的交点为 P，OPOF，其中 O 为坐标原点，则双曲线 C 的方程为（）A221169xyB221916xyC224121xyD22124yx 探究二：探究二：求双曲线的离心率求双曲线的离

38、心率已知1F，2F分别为双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PFPF的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A1,2B1,3C1,3D2,4思路分析：思路分析：设2PFm，则mca，根据双曲线的定义12PFma，再利用基本不等式求出212PFPF的最小值，从而得到2maca，即可求出离心率的取值范围。【变式练习】【变式练习】1已知1F，2F是双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，点1F关于渐近线的对称点恰好落在以2F为圆心，2OF为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A2B3C2D312已知 A，B，P 是双曲线222

39、21xyab（0a，0b）上不同的三点，且点 A，B 连线经过坐标原点，若直线 PA，PB 的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（）A22B62C2D213一、单选题一、单选题1已知F是双曲线C：22214xyb（0a，0b）的右焦点，过F作与x轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为P，若3ABFP，则b（）A1B3C7D32已知12,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则221231ee的值为（）A4B3C2D13双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左焦点为 F，过原点作

40、一条直线分别交 C 的左右两支于 A，B 两点，若3AFB，2BFAF，则此双曲线的离心率为（）A2B3C7D34设1F，2F是双曲线C：22148xy的两个焦点，O为坐标原点，点 P 在C的右支上，且112 3OF OPFPOPOPOP ，则12PFF的面积为（）A2B4 3C8D8 35已知0,7A，0,7B，12,2C，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（）A221148xyy B22148xy C221148yxx D22148yx 6设1 F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，直线3yx交双曲线右支于 B 点，若1BF，2BF

41、恰好是12RtFBF的两直角边，则此双曲线的离心率为（）A31B3C2D57已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且2OMON，则C的离心率为（）A43B3C2 33D628已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦距为122,c F F为其左右两个焦点，直线 l 经过点(0,)b且与渐近线平行，若 l 上存在第一象限的点 P 满足122PFPFb，则双曲线 C 离心率的取值范围为（）A(1,2)B(2,3)C(1,3)D(2,)二、多选题二、多选题9已知双曲线222210,0 xyabab的左、右两个

42、顶点分别是12,A A，左、右两个焦点分别是12,F F，P是双曲线上异于12,A A的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（）A122PAPAaB直线1PA，2PA的斜率之积等于定值22baC使得12PFF为等腰三角形的点 P 有且仅有四个D若212PA PAb，则120PF PF 10设双曲线222210,0 xyabab的两个焦点分别是1F，2F，以线段12FF为直径的圆交双曲线于 A，B，C，D 四点，若 A，B，C，D，1F，2F恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（）A122F BFB四边形 ABCD 的面积为223 abC双曲线的离心率为31D双曲线的渐近线方程为32 2y

43、x 11已知曲线22:124xyCmm，则（）A当2m 时，则C的焦点是12,0F，22,0FB当6m 时，则C的渐近线方程为12yx C当C表示双曲线时，则m的取值范围为2m D存在m，使C表示圆12如图，1F，2F是双曲线1C：2213yx 与椭圆2C的公共焦点，点A是1C，2C在第一象限内的公共点，设2C方程为222210,0 xyabab，则下列说法正确的是（）A224abB12AFF的内切圆与x轴相切于点1,0C若121FFAF，则2C的离心率为23D若12AFAF，则2C的方程为22173xy三、填空题三、填空题13 设 A、B、C 是双曲线22210,0yxabb上的三个点，AB

44、 经过原点 O，AC 经过右焦点 F，若BFAC且2 AFCF，则焦距为_.14已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点为12,F F，过2F的直线交双曲线右支于,A B，若120BF BF ，且124cos5F AF，则:a b _.15设1F、2F是双曲线 C：222210,0 xyabab的左、右焦点，过点1F且倾斜角为 30的直线与双曲线的左、右两支分别交于点 A、B若22AFBF，则双曲线 C 的离心率为_16双曲线C的左右焦点分别为1F，2F，以1F为圆心，12|F F为半径的圆与C的左支相交于M，N两点，若2MNF的一个内角为60，则C的离心率为_四、解答题四、解答题

45、17已知方程2xm+24ym1（mR）表示双曲线(1)求实数 m 的取值集合 A；(2)设不等式（xa）（xa1）0 的解集为 B，若 xB 是 xA 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围18在左顶点为()3,0-，双曲线过点3 2,4，离心率53e 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答问题：已知双曲线与椭圆2214924xy共焦点，且_(1)求双曲线的方程；(2)若点 P 在双曲线上，且18PF，求2PF注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）实轴端点分别为1,0Aa，2,0A a，右焦点为F，离心率为 2，过1A点且斜率

46、1 的直线l与双曲线C交于另一点B，已知1A BF的面积为92(1)求双曲线的方程；(2)若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线1AM与直线2A N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由20若双曲线2222:10,0 xyCabab的一个焦点是22,0F，且离心率为 2(1)求双曲线C的方程；(2)设过焦点2F的直线l的一个法向量为,1m，当直线l与双曲线C的右支相交于,A B不同的两点时，求实数m的取值范围；是否存在实数m，使得AOB为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由常考题型常考题型 1010 双曲线的标准方程及离心率双曲线

47、的标准方程及离心率1.双曲线标准方程焦点位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)焦点(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c 的关系c2a2b22.双曲线的性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质范围xa 或 xaya 或 ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybaxyabx离心率eca，e(1，)，其中 c a2b2a，b，c 间的关系c2a2b2(ca0，cb0)考法一：考法一：求双曲

48、线的标准方程求双曲线的标准方程1.定义法：根据双曲线的定义知，到两个定点的距离之差的绝对值是一个非零常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线，根据双曲线的定义可以求标准方程.2.待定系数法一般步骤：判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设：根据中判断设出所需的未知数或者标准方程；列：根据题意列关于 a，b，c 的方程(组)；解：求解得到的方程（组）.考法二：考法二：求双曲线的离心率求双曲线的离心率1.定义法：当题目中 a，c 易求时，直接利用定义ace 求解。另外，易求 b，c 时，可利用22bcce求解，易求 a，b 时，可利用21aba

49、ce；求解.反之，已知离心率也可以得出 a 与 b 或 a 与 c 或 b 与 c的关系.2.构造法：根据条件及几何图形，构造关于 a，c 的齐次式，不需要求出 a，c 的具体值，而是整体构造ac的方程求得 e.注意依据 e1 对所得解进行取舍。探究一：探究一：求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程如图，1F，2F分别是双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，且17,0F，过1F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B若2ABF为等边三角形，则双曲线的方程为（）A22551728xyB2216xyC2216yx D22551287xy思路分析：思路分析：由双曲线定义结合等边三角形

50、求得2BF，1BF，再由余弦定理求得,a b，即可求得双曲线方程。【解析】根据双曲线的定义，有212AFAFa，122BFBFa，由于2ABF为等边三角形，因此22AFABBF，由，得114BFAFa，则224ABAFBFa，16BFa，又因为1260FBF，所以22212642 642caaaa，即2277ac，解得21a，则2226bca，所以双曲线的方程为2216yx 故选：C.【答案】C【变式练习】【变式练习】1已知双曲线的上、下焦点分别为10,3F，20,3F，P 是双曲线上一点且124PFPF，则双曲线的标准方程为（）A22145xyB22154xyC22145yxD22154yx