2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）（解析版）.docx

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1、 2023年江苏省苏州市高考模拟试卷（二）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1. 已知复数z与都是纯虚数，则z的共轭复数为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动手，纯虚数的特征就是实部为0，虚部不为0的虚数，可用复数的代数形式解.【详解】设则为纯虚数，则有：，解得：，故，则.故选：D.2. 已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因

2、为或，解得或即，因为，所以当时，满足要求.当时，则，由，可得，即当时，则，由，可得，即综上所述，故选:B.3. 已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以或，又，所以，所以，所以，故选：B.4. 2022年北京冬奥会开幕式中，当雪花这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线如图是“雪

3、花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程已知图中正三角形的边长为3，则图中的值为（ ）A. B. C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】在图中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐标，再由数量积的坐标表示计算【详解】在图中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， ，即，由分形知，所以，所以，所以故选：C5. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏

4、的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒【答案】C【解析】【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为，高为，所以细沙体积为所以该沙漏的一个沙时为秒，故选：C6. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）A. B. C. D. 【

5、答案】D【解析】【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，故这个人患流感的概率为，故选：D7. 已知，若，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.【详解】因为，定义域关于原点对称，所以为上的偶函数，当时,，设，则，所以即在上单调递减,所以,所以在上单调递减,又因为为

6、偶函数,所以在上单调递增，又因为,又因为,因为,，所以,所以，即所以,所以,即.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ）A.

7、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案【详解】连接，在中，因为是的中点，所以，平方得，将代入可得，因为，所以，所以，在，所以，当且仅当即时，取等号,故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分.9. 2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：90951001051101110865用最小二乘

8、法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（ ）A. 变量与负相关且相关性较强B. C. 当时，的估计值为13D. 相应于点的残差为【答案】ABD【解析】【分析】根据相关性、相关系数判断A，利用样本中心点判断B，将代入回归直线方程判断C，求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.【详解】对A，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确；对B，由题可得，故回归直线恒过点，故，即，故B正确；对C，当时，故C错误；对D，相应于点的残差，故D正确.故选：ABD.10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）A. 椭圆的离心率

9、的取值范围是B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是C. 存在点使得D. 的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A；根据离心率求出，则，即可判断B；设上顶点，得到，即可判断C；根据利用基本不等式判断D.【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；当时，所以的取值范围是，即，故B正确；设椭圆的上顶点为，由于，所以存在点使得，故C正确；，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D不正确故选：ABC11. 在正方体中，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）A. 当平面时，不可能垂

10、直B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C. 当时，正方体经过点PC的截面面积的取值范围为，D. 当时，的最小值为【答案】BD【解析】【分析】对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可；对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆；对C，由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置；对D，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求.【详解】对A，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，则，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即，由，则，即P为中点时，有平面，且，A错；

11、对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B对；对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错；对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理可知，所以，D对.故选：BD【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题

12、；（2）B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；（3）C中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；（4）D中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 在上是增函数B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为C. 若有两个零点，则D. 若，且，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，

13、利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.【详解】对于A，当时，令，则，当时，恒成立，在上单调递增；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；对于B，当时，又正实数，当时，恒成立，在上单调递增，则由得：，即，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，则正实数的最小值为，B正确；对于C，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，即，在

14、上单调递增，即，可知不成立，C错误；对于D，由，得：，即，由C知：在上单调递减，在上单调递增；，则，即，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，即的最大值为，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：求导确定的单调性，得到的范围；构造函数，求导后可得恒正或恒负；得到与的大小关系后，将置换为；根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为_【答案】2【解

15、析】【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以当时,当时,符合题意所以展开式中有理项的个数为2故答案为：214. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.【详解】解：，则，即，当时，；当时，；当时，；当时，综上，函数的值域为.故答案为：.15. 数列满足，则_【答案】【解析】【分析】由已知整理得，先利用累乘法

16、求数列的通项，再利用错位相减法求其前2021项的和，从而得到结果.【详解】由得：，；设，则，即，.故答案为：.16. 已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是_ 【答案】【解析】【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出.在，有，进而可推出，根据的范围，即可得到结果.【详解】由已知，.如图，设点，则，在中，有，易知，则，则，因为，所以当时，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知各项为正数的数列的前项和为，若.（1）求数列的通项公式；（2）设，且数

17、列的前项和为，求证：【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用公式，时，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式；（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.【小问1详解】当时，解得；当时，由，得，两式相减可得，又，即是首项为，公差为的等差数列，因此，的通项公式为；【小问2详解】证明：由可知，所以，因为恒成立，所以，又因为，所以单调递增，所以，综上可得18. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）

18、依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析 （2） （3）【解析】分析】（1）计算卡方，与6.635比较后

19、得到结论；（2）利用事件，利用条件概率求出答案；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，得到，利用构造法得到，即数列是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.【小问1详解】，故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；【小问2详解】设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，则，则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；【小问3详解】设n次传球后球在甲手中的概率为，则有，设，则，所以，解得：，所以，其中，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，故第次传球后球在甲手中的概率为.19. 如图所示，正方形AB

20、CD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，.（1）证明：平面；（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析 （2）存在，【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.【小问1详解】证明：正方形中，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，且，又，又，又，又平面，平面；【小问2详解】解：如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设点，设平面的法向量为，令，显然，平面的法向量为，即，即即，解得或（舍），所以存在一点，且

21、.20. 在中，点，分别在，边上（1）若，求面积的最大值；（2）设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值为1，再利用面积公式即可求解；（2）由四边形存在外接圆，知四边形为等腰梯形，连接，设，利用正弦定理，表示，进而利用基本不等式求解.【小问1详解】由已知，在中，利用余弦定理知，结合基本不等式有，当且仅当时，等号成立，即的最大值为1，所以面积的最大值为【小问2详解】四边形存在外接圆，又，所以四边形为等腰梯形，连接，设，在中，由正弦定理得，同理，在中，由正弦定理得，所以，当且仅当，即，当且仅当时，等号成立，即，

22、即21. 已知动圆与圆及圆中的一个外切，另一个内切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若直线与轨迹相交于、两点，以线段为直径的圆经过轨迹与轴正半轴的交点，证明直线经过一个不在轨迹上的定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）； （2）证明见解析，【解析】【分析】（1）分别讨论与圆A外切圆内切、与圆A内切圆外切，结合双曲线的定义即可求得方程；（2）分别讨论直线的斜率存在不存在的情况，其中斜率存在时，设直线的方程为，由，结合数量积坐标运算及韦达定理，即可化简得出m与k的关系，即可进一步讨论定点【小问1详解】依题意，当动圆与圆A外切且与圆内切时，有，即，当动圆与圆A内切且与圆外切时，有，即，即，动圆的圆

23、心的轨迹是以A、为焦点的双曲线，其中，轨迹的方程为；【小问2详解】证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，由，得，且，依题意，以为直径的圆经过点，且，即，化简，得，即，或，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点即是点，不符题意，舍，当时，直线的方程为，直线过定点，符合题意，当直线的斜率不存在时，设的方程为，由解得，依题意，以为直径的圆经过点，即，即，解得（舍或，的方程为，直线过点，故直线经过一个不在轨迹上的定点，定点的坐标为【点睛】关键点点睛：（1）注意讨论直线斜率存与否；（2）斜率存在时，设直线的方程为，由，结合数量积坐标运算及韦达定理，即可化简得出m与k的关系，即可进一步讨论定点

24、22. 已知函数.（1）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，结合导函数特征，分与两种情况，结合，得到实数a的取值范围；（2）在第一问基础上，取，得到在上恒成立，令，则，从而，再用裂项相消法求和，不等式得证.【小问1详解】，时，函数在上单调递增，恒成立，满足条件.时，对于方程，其，方程有两个不相等的实数根，当时，此时函数单调递减，则，不满足条件，舍去.综上可得：实数a的取值范围是.【小问2详解】证明：由（1）可知：取时，函数在上单调递增，在上恒成立，令，则，.【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.