河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试文科数学试卷含答案.pdf

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1、河南省顶级名河南省顶级名校校2022-2023学年度高三文科数学年度高三文科数学学12月月考试月月考试卷卷考试时间：考试时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分）1设集合22N8120log12AxxxBxx，则AB（）A 35xxB 25xxC3,4D3,4,52已知0a，0b，则“1ab”是“2ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为海岛算经.受此题

2、启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点 D，G，F 在水平线 DH 上，CD 和 EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行 DG=1，表高 CD=EF=2，后表却行 FH=3，表距 DF=61.则塔高 AB=（）A60 米B61 米C62 米D63 米4已知 fx是定义在R上的函数，且满足32fx为偶函数，21fx为奇函数，则下列说法正确的是（）A函数 fx的周期为 2B函数 fx关于直线=1x对称C函数 fx关于点1,0中心对称D20231f5如图，在直三棱柱111ABCABC-中，122AAABAC，且,ABAC D

3、E分别是棱1,BC BB的中点，则异面直线1AD与1C E所成角的余弦值是（）A2 69B66C579D3066 在平行四边形ABCD中，EF分别在边ADCD上，3AEED，,DFFC AF与BE相交于点G，记,ABa ADb，则AG（）A341111abB631111abC451111abD361111ab7一个几何体的三视图如图，它们为一个等腰三角形，两个直角三角形，则这个几何体的外接球表面积为（）A12B16C20D248 22sincos2 2sin218fxxxxm 在0,2上有两个零点1x，2x，则12sin()xx（）A55B2 55C55D2 559已知正四棱锥PABCD的侧棱

4、长为(0)a a，则该正四棱锥体积的最大值为（）A32 39aB34 39aC32 327aD34 327a10已知ABC中，设角A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，ABC的面积为S，若223sin2sinsinsin2sinsinBCAABC，则2Sb的值为（）A14B12C1D211已知函数()ln1eaxxf xxax有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（）A10,eB0,1C0,1D1,e12已知sin12cos1a，13b，1tan3c，则（）AcbaBacbCabcDcab二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，分，全科免费下载公众号高中僧课堂全科免费下载公众号高中

5、僧课堂共共 20 分）分）13若,x y满足约束条件0201xyxyx，则23zxy的最大值为_.14已知圆的圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)，则圆的一般方程为_.15已知ABC的所有顶点都在球O的表面上，1,120ABACBAC，球O的体积为323，若动点P在球O的表面上，则点P到平面ABC的距离的最大值为_.16如图所示，在长方体1111ABCDABC D中，111BBB D，点E是棱1CC上的一个动点，若平面1BED交棱1AA于点F，给出下列命题:四棱锥11BBED F的体积恒为定值;存在点E，使得1B D 平面1BD E;对于棱1CC上任意一点E，在棱AD

6、上均有相应的点G，使得CG平面1EBD;存在唯一的点E，使得截面四边形1BED F的周长取得最小值.其中真命题的是_.（填写所有正确答案的序号）三、解答题（三、解答题（17 题题 10 分，其余每小题分，其余每小题 12 分，共分，共 70 分）分）17已知数列 na的前n项和为nS，满足433nnSa.(1)求数列 na的通项公式；(2)记nnbna，求数列 nb的前n项和nT.18已知在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且2 cos3 sinsin22bAaBaB.(1)求B；(2)设点D是边AC的中点，若6ac，求BD的取值范围.19如图，在几何体ABCDE中，AD 平

7、面ABE，/ADBC，2ADBC，ABBE.(1)证明：平面DCE 平面DAE；(2)若1AB，2AE，三棱锥ABCE的体积为13，求直线CE与平面DAE所成角的正弦值.20已知函数 sinfxxax，Ra(1)若2a，求曲线 yf x在点,66f处的切线方程；(2)若 fxa在5,66x上恒成立，求实数a的取值范围21 如图，ABC 是正三角形，在等腰梯形 ABEF 中，ABEF，12AFEFBEAB.平面 ABC平面 ABEF，M，N 分别是 AF，CE 的中点，4CE.(1)证明：/MN平面 ABC；(2)求三棱锥 NABC 的体积.22已知0a，函数 1elnxf xaax(1)当12

8、ea 时，讨论 fx的单调性；(2)若曲线 yf x与直线1y 有且只有一个公共点，求a.1 12 2 月月考试卷月月考试卷参考答案参考答案1C【详解】由28120 xx，得260 xx，解得26x，所以N263,4,5Axx，由2log12x，得22log1log 4x，解得15x，所以15Bxx，所以3,4,5153,4ABxx，2A【详解】充分性：0a，0b，1ab，212abab，当且仅当12ab时，等号成立，21()21 222ababab ，当且仅当12ab时，等号成立，2ab.必要性：当1a，116b 时，2ab成立，但1ab不成立，即必要性不成立，所以“1ab”是“2ab”的充

9、分不必要条件3D【详解】解：根据题意，CDGABG，EFHABH，所以22,1643ABABBDBD，解得63AB 4C【详解】32fx为偶函数，3232fxfx，22fxf x，故2222fxfx 即 4f xfx，函数 fx的图象关于直线2x 对称.21fx为奇函数，2121fxfx，11f xfx ，所以函数的图象关于点1,0对称，故 B 错误，C 正确；由 4f xfx 及11f xfx 知，42fxfxfx ，24ff xx，4244ff xx，即 2 fxfx，24f xf x，故 4f xf x函数 fx的周期为 4，A 错误，2023506 4 110fff，故 D 错误.5A

10、【详解】如图，在棱1CC上取一点F，使得14CCCF，取1CC的中点M，连接BM,1,DF AF，由于,M E分别是棱11,CC BB的中点，所以11,/BEC M BE C M，故四边形1BMC E为平行四边形，进而1/C EBM,又因为,D F是,BC CM的中点，所以/DFBM,所以1/DF C E，则1ADF或其补角是异面直线1AD与1C E所成的角.设2AB，则11,3,2CFC FADCD，从而2222221111113,3 2,13DFCFCDADAAADAFACC F，故13 18 132 6cos923 3 2ADF,故异面直线1AD与1C E所成角的余弦值是2 69.6D【

11、详解】过点F作FN平行于BC，交BE于点M，因为DFFC，则F为DC的中点，所以MNAE且11332248MNAEADAD，因为NFAD，所以3588MFNFMNADADAD，由AEGFMG可得：AEAGFMFG，所以364558ADAGAEFGFMAD，因为666136()()11111121111AGAFADDFADABABAD ，所以361111AGab，7C【详解】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：可以该几何体为三棱锥ABCD，其中AB平面BCD，2AB，2332 3BDCDBC，所以，BCD为等边三角形，如下图所示：圆柱12OO的底面圆直径为2r，母线长为h，则12OO的中点O

12、到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O为圆柱12OO的外接球球心，且2222Rrh，可将三棱锥ABCD置于12OO内，使得BCD的外接圆为圆2O，其中圆2O的直径为2 324sin60r，故三棱锥ABCD的外接球直径为22222 5RrAB，所以，该几何体的外接球的表面积为2420SR.8D【详解】1cos 24()1sin22 2212xf xxm 1 sin222cos 2214xxm sin22cos 24xxm22sin22cos2sin222xxxm2sin2cos2xxm215sin2cos255xxm5sin(2)xm其中21cos,sin55,不妨设0,2因为12,x x是()f

13、 x的两个零点,所以125sin 25sin 2xmxm即12sin 2sin 2xx结合12,x x的范围知1222xx所以1222xx,即122xx所以122 5sinsincos25xx9D【详解】如图，连结,AC BD交于O点，连结PO.根据正四棱锥的性质，可知PO平面ABCD.设底面正方形边长为m，高为POh，则2ACm，22OCm.在RtPOC中，有222OPOCPC，即22212hma，则22222mah.则21133P ABCDABCDVShm h221223ahh322233ha h 0ha.设 322233V hha h，则 22223Vhha，令 0Vh，解得33ha（舍

14、去负值）.又当303ha时，0Vh；当33ha时，0Vh.所以，当33ha时，322233V hha h 有唯一极大值，也是最大值34 327a.10B【详解】已知2223sin2sinsinsin2sinsinBCAABC由正弦定理可知：222322sinbcabcA，222322sinbcabcA，整理得：2222222sinbcabcbcA，两边同除2bc得：222222sin22bcabcAbcbc，根据余弦定理得：cossin2bcAAcb，即sincos2sin24bcAAAcb，0b，0c，2222bcbccbcb，当且仅当2bccb，即2cb时等号成立.又sincos2sin2

15、24bcAAAcb，当且仅当34A时，等号成立.综上所述：22bccb且22bccb，故得：22bccb，此时2cb且34A，132sin244Sbcbc，22222124442Sbccbbb.11A【详解】由题意得 lnln1eln1,0ex axaxxf xxaxxaxx,令 e1tg tt，e10tg t，该函数在 R 上为单调增函数，且(0)0g，故函数()ln1eaxxf xxax有两个不同的零点，即lntxax有两个不同的零点，令ln0,(0)txaxx即直线ya与ln(),(0)xh xxx的图象有两个不同交点，又21 ln()xh xx，当0ex时，()0,()h xh x递增

16、，当ex时，()0,()h xh x递减，则max1()eh x，当0,0 xx时，ln()xh xx，作出其图象如图：由图象可知直线ya与ln(),(0)xh xxx的图象有两个不同交点，需有10,ea，12A【详解】设 sin2cos3xxg xx，当0,2x时，有 222cos12cos11032cos3 2cosxxgxxx，当且仅当0 x 时，等号成立，所以 g x是减函数，100gg，即sin11sin110,2cos132cos13；当0,2x时，设 2sin1tan,1 0coscosxfxxxx fxxx，fx单调递增，103ff，即1111tan0,tan3333，即cba

17、；138【详解】作出可行域，如图OAB内部（含边界），作直线:230lxy，在23zxy中，3z是直线的纵截距，向上平移该直线，z增大，平移直线l，当它过点(1,2)A时，238zxy为最大值14x2y22x4y50【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得:2222222325230abrabrab ,解得：21,2,10,abr 故所求圆的方程为(x1)2(y2)210，即 x2y22x4y50.方法二：线段AB的中点坐标为2235,22，即0,4，直线AB的斜率为531222 ，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为-2，所以线段 AB 的垂直平分线方程为42y

18、x，即 2xy40，由几何性质可知：线段 AB 的垂直平分线与230 xy的交点为圆心，联立240,230,xyxy，得交点坐标1,2O ，又点 O 到点 A 的距离221 22310d ，即半径为10，所以圆的方程为(x1)2(y2)210，即 x2y22x4y50.故答案为：x2y22x4y50.1523【详解】解：因为1,120ABACBAC，所以222112 1 1 cos1203BC ，即3BC.设ABC的外接圆的圆心为1,OABC的外接圆的半径为r，球O的半径为R，则3221,sinsin120BCrrrBAC3324233RR，因为1OO 平面ABC，所以11OOO A，则221

19、3OORr.延长1OO与球O交于点1P，当点P与点1P重合时，点P到平面ABC的距离取得最大值23.16【详解】对于，由111111BBEDE BBFB DFB DVVV，11CCAA平面11BB D，可得E F,到平面11BB D的距离为定值，所以四棱锥11BBED F的体积为定值，故正确;对于，111BBB D，得对角面11BB D D为正方形，所以11B DBD，易知DC 平面11BCC B，而BE 平面11BCC B，所以BEDC，若1BEBC，1BCDCC，1,BC DC 平面1BCD，所以BE 平面1BCD，1B D 面1BCD，所以1B DBE，1BDBEB，1,BD BE 平面

20、1BD E，所以有1B D 平面1BD E，故正确;对于，可作出过CG的平面与1EBD平行，如图所示：当点E与棱1CC的中点O重合时，作1DD的中点H，连接,AH AC CH，易知1CHOD，1OD 平面1OBD，CH 平面1OBD，所以CH平面1OBD，同理AH 平面1OBD，AHCHH，,AH CH 平面ACH，所以平面ACH 平面1OBD，易知：当点E在线段1OC内时，对应的点G在棱AD上，而当点E在线段OC内时，对应的点G在棱1AA上，故错误.对于，由面面平行的性质定理可得四边形1BED F为平行四边形，所以四边形1BED F的周长12()LBED E，将矩形11BCC B绕棱1CC向

21、内旋转 90 度，使矩形11BCC B和矩形11DCC D共面，连接1BD交1CC于点E，如下图所示：此时11BED EBD，四边形1BED F的周长取得最小值，故存在唯一的点E，使得截面四边形1BED F的周长取得最小值，故正确.综上：正确.故答案为：.17【详解】（1）433nnSa，当1n 时，11433nnSa，得1433nnnaaa，即13nnaa，又1n 时，13a ，na为首项3，公比3的等比数列，故133nna ，3nna （2）3nnbn，23323333nnTn 23413323333nnTn 得 231433333nnnTn 11334313nnnTn 141331616

22、nnnT 18【详解】（1）在ABC中，依题意有2 sin3 cossinbAaBaB，由正弦定理得：2sin sin3sin cossin sinBAABAB，而0A，即sin0A，则有sin3cosBB，即tan3B，而0B，所以3B.（2）在ABC中，由（1）知，3B，又6ac，点D是边AC的中点，则1()2BDBABC ,于是得22222111|()22cos2223BDBABCBABCBA BCacac 211()3622acacac，显然20()92acac，当且仅当3ac时取等号，因此273636ac，3 3136322ac，即3 3|32BD，所以BD的取值范围是3 3,3)2

23、.19【详解】（1）若,F G H分别为,DE AE AD的中点，连接,BG CF FG CH FH，所以/FGAD且12FGAD，又/ADBC，2ADBC，故/FGBC、FGBC，所以BCFG为平行四边形，故/CFBG，且/BCAH、BCAH，所以ABCH为平行四边形，故CHABBE且/CHAB，而DHAHBC，因为AD 平面ABE，则BC平面ABE，,AB BE 平面ABE，所以ADAB，即ADCH，BCBE，在Rt,RtDHCCBE中，2222CDDHCHBCBECE，故DCE为等腰三角形，则CFDE，FG 平面ABE，BG 平面ABE，故FGBG，所以FGCF，FGDEF，,FG DE

24、 面DAE，故CF 面DAE，而CF 面DCE，所以面DAE 面DCE.（2）由（1）知：CF 面DAE，故直线CE与平面DAE所成角的平面角为CEF，所以sinCFCEFCE，因为1ABBE，2AE，故222ABBEAE，即ABBE，所以12ABES，且1222CFBGAE，又BC平面ABE，故111323C ABEVBC，则2BC，而225CEBCBE，所以10sin10CEF，即直线CE与平面DAE所成角的正弦值1010.20【详解】（1）解：当2a 时，sin2f xxx，所以1sin266623f，cos2fxx，所以3cos22662f，故所求切线方程为34312122yx（2）解

25、：因为 fxasinsin11xxa xax在5,66x上恒成立，令 sin1xg xx，5,66x，则 2coscossin1xxxxgxx，令 coscossinh xxxxx，则 sinsin0h xxxx，所以 h x在5,66x上单调递减，因为331066222h，55331066222h，由零点存在定理知，存在唯一05,66x，使00h x，所以 g x在0,6x上单调递增，在05,6x上单调递减，所以 min5333min,min,6666565g xgg，从而365a21【详解】（1）取 CF 的中点 D，连接 DM，DN，M，N 分别是 AF，CE 的中点，DMAC，DNEF

26、，又DM 平面 ABC，AC平面 ABC，DM 平面 ABC.又EFAB，DNAB，同理可得，DN平面 ABC.DM平面 MND，DN 平面 MND，DMDND，平面MND平面 ABC.MN平面 MND，/MN平面 ABC.（2）取 AB 的中点 O，连接 OC，OE.由已知得 OAEF 且 OA=EF，OAFE 是平行四边形，OEAF 且 OE=AFABC 是正三角形，OCAB，平面 ABC平面 ABEF，平面ABC平面 ABEFAB，OC平面 ABEF，又OE 平面 ABEF，OCOE.设12AFEFEBABa，3OCa，在 RtCOE 中，由222OCOECE，解得2a，即122AFEF

27、EBAB.由题意FAB60，M 到 AB 的距离3sin602hAM 即为 M 到平面 ABC 的距离又/MN平面 ABC，11134 2 323322NABCMABCABCVVSh.22【详解】（1）解：当12ea 时，1eln2e2exxf x，函数 fx的定义域为0,，12e1e12e2xxfxxx，令 2e12xh xx，其中0 x，则 22e102xh xx，所以，函数 fx在0,上单调递增，且 20f 所以当0,2x时，0fx，fx单调递减，当2,x时，()0fx，fx单调递增因此，当12ea 时，函数 fx的减区间为0,2，增区间为2,.（2）解：依题意，0a，fx的定义域为0,

28、，111e1exxaxfxaxx.令 1e10 xg xaxa，111ee1 e0 xxxgxaaxa x，所以，g x在0,上单调递增，010g ，111111 e11e1110aagaaaaaa ，故存在010,1xa，使得00g x.当00,xx时，0g x，则 0fx，此时 fx单调递减，当0,xx时，0g x，则()0fx，此时 fx单调递增，当0 xx时，fx取极小值，则0 xx也是函数 fx唯一的极值点，由00g x得010e1xax，即0101exax，等式的两边同时取自然对数，则有00ln1lnaxx ，则00ln1axx 由得0100000011eln1211xf xaax

29、xxxx ，当且仅当01x 时，等号成立当01x 时函数 fx取最小值1，函数 fx的图象过点1,1，函数与1y 有且只有一个交点由 11f，可得ln1aa，即ln10aa，令 ln1p aaa，其中0a，则 111ap aaa.当01a时，0p a，此时函数 p a单调递减，当1a 时，0p a，此时函数 p a单调递增，所以，min10p ap，因此，1a.所以曲线 yf x与直线1y 有且只有一个交点时，1a（18）（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 2 页（共 6 页）（19）（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限

30、定区域的答题无效（17）（10 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效班级姓名考场座号2022-2023 学年高三文科数学学年高三文科数学 12 月月考答题卡月月考答题卡(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)二、填空题二、填空题（共 20 分）(13)（5 分）(14)（5 分）(15)（5 分）(16)（5 分）三、解答题三、解答题（共 70 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 1 页（共 6 页）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 3 页

31、（共 6 页）接（17）题一、选择题一、选择题（共 60 分）注意事项：1.答题前，考生先将条形码粘贴在“贴条形码区”，并将本人学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在相应位置。2.答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写；作图时，可用 2B 铅笔，笔迹要清晰；选择题填涂时，必须用 2B 铅笔按图示规范填涂。3.请在题号所示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷纸上答题无效。4.保持卡面清洁、完整，严禁折叠或在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液和修正带。贴条形码区按此文字方向粘帖考生号（20）（12 分）（21）（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效（22）（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 4 页（共 6 页）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 5 页（共 6 页）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 6 页（共 6 页）