2023届高考数学专项练习)构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版).pdf

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1、2023届高考数学专项练习届高考数学专项练习构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】构造四:同型构造法构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一：模型一：an+1=nn+1an左右同乘n+1(n+1)an+1=nan,构造bn=nan,则bn+1=bn,b

2、n为常数数列.模型二：模型二：an+1=n+1nan左右同除n+1an+1n+1=ann,构造bn=ann,则bn+1=bn,bn为常数数列.模型三：模型三：an+1=n+2n an左右同除 n+2n+1an+1(n+1)(n+2)=ann(n+1),构造 bn=ann(n+1),则 bn+1=bn,bn为常数数列.模型四：模型四：nan+1=2(n+1)an左右同除n n+1an+1n+1=2ann,构造bn=ann,则bn+1=2bn,bn为等比数列.模型五：模型五：an+1=n+2nSnSn+1-Sn=n+2nSnSn+1=2n+2nSn左右同除n+1Sn+1n+1=2Snn,构造bn=

3、Snn,则bn+1=2bn,bn为等比数列.模型六：模型六：an+1=n+1nan+n+1左右同除n+1an+1n+1=ann+1,构造bn=ann,则bn+1=bn+1,bn为等差数列.模型七：模型七：an+1=2an+2n+1左右同除2n+1an+12n+1=an2n+1,构造bn=an2n,则bn+1=bn+1,bn为等差数列.模型八：模型八：an-an+1=anan+1左右同除anan+11an+1-1an=1,构造bn=1an,则bn+1-bn=1,bn为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将n+1和a看了

4、这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将n+1和an+1n+1,n和a,n和an n等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列 an满足a1=23,an+1=nn+1an,求an.【经典例题2】【经典例题2】已知数列 an中,an+1=nn+2an且a1=2,求数列 an的通项公式.【经典例题3】【经典例题3】已知数列 an中,nan+1=2(n+1)an+n(n+1)且a1=1,求数列 an的通项公式.【经典例题【

5、经典例题4 4】已知a1=1,且nan+1=(n+2)an+n,求数列 an的通项公式.【练习【练习1 1】已知数列 an满足a1=1,an-an+1=3anan+1,则a10=()A.28B.128C.-28D.-128【练习【练习2 2】已知 an是首项为 1 的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0 n=1,2，3，,则它的通项公式是an=_.【练习【练习3 3】已知数列 an满足an+1=2an+32n,a1=2,求数列 an的通项公式.【练习【练习4 4】已知数列 an满足a2=6,(n-1)an+1=(n+1)an-(n+1),求数列 an的通项公式.【练习【

6、练习5 5】已知数列 an前n项的和为Sn,且满足Sn=1-nan(n=1,2,3,).(1)求a1,a2的值;(2)求 an的通项公式.构造五构造五:取倒数构造等差取倒数构造等差类型一：类型一：数列 an满足:an+1=bankan+b,则有1an+1=b+kanban=1an+kb.所以1an 是以1a1为首项,kb为公差的等差数列,即1an=1a1+(n-1)kb.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).类型二：类型二：数列 an满足:an+1=an-1an2an-1-an,则有1an+1=2an-1-anan-1an1an+1-1an=1an

7、-1an-1.所以1an 是等差数列.类型三：类型三：若数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 an+kSnSn-1=0,则有 Sn-Sn-1+kSnSn-1=0,两边同除以SnSn-1得:1Sn-1Sn-1=k,故1Sn 是以1a1为首项,k为公差的等差数列,即1Sn=1a1+(n-1)k,再用an=Sn-Sn-1,求 an.【经典例题【经典例题1 1】在数列 an中,若a1=1,an+1=an2an+1,则an=_.【经典例题【经典例题2 2】已知数列 an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求证:1Sn 是等差数列.(2)求an的表达式.【经典例

8、题【经典例题3 3】已知数列 an的首项a1=23,an+1=2anan+1,n=1,2,3,证明:数列1an-1 是等比数列并求an的通项公式.【练习【练习1 1】设Sn是数列 an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则a5=()A.130B.-130C.120D.-120【练习【练习2 2】已知 an中,a1=1,an+1=2anan+2,则a4=_.【练习【练习3 3】已知数列an=an-13+23n-1an-1(n=2,3,),a1=1,求 an的通项公式.【过关检测】【过关检测】一、一、单选题单选题1.已知数列 an满足a1=12，an+1-an+anan+1=0，则数

9、列 anan+1的前100项的和是()A.2551B.50101C.99202D.1001012.数列 an满足an+1=an1+2annN N，a1=1，则下列结论错误的是()A.2a10=1a3+1a17B.21an 是等比数列C.2n-1an=1D.3a5a17=a493.若数列 an满足a1=1，且an=n an+1-annN*，则a1+a2+an=()A.n2+n2B.n2-12C.n22D.n24.已 知 数 列an满 足 a1=1，an+1=an4an+1，(n N*)，则 满 足 an137的 n 的 最 大 取 值 为()A.7B.8C.9D.105.已知数列 an满足a1=

10、1,an+1=an4an+1，则满足an129的n的最大取值为()A.6B.7C.8D.96.已知数列 an满足：a1=1，an+1=anan+2(nN+)，则a6=()A.131B.132C.163D.1647.已知数列 an满足a1=1，an+1=anan+2，则a10=()A.11021B.11022C.11023D.110248.已知数列 an中，a1=23，an+1=an+anan+1，则数列 an的通项公式为()A.33n-1B.3n-13C.52-nD.25-2n二、二、多选题多选题9.设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a1=2，且 2 n+1an-nan+1=0 nN，

11、则下列结论正确的是()A.nan是等比数列B.ann 是等比数列C.an=n2nD.Sn=n-12n+210.已知数列an满足a1=1，an-3an+1=2anan+1(nN*)，则下列结论正确的是()A.1an+1 为等比数列B.an的通项公式为an=123n-1-1C.an为递增数列D.1an 的前n项和Tn=3n-n三、三、填空题填空题11.已知数列 an，bn满足a1=12，an+bn=1，bn+1=bn1-a2nnN N，则b2022=_.12.已知数列 an满足a1=1,an+1-an=2anan+1，则数列 anan+1的前n项和为_13.已知数列 an满足a1=12，且an+1

12、=an3an+1，则数列an=_14.已知数列an的首项a1=2，且对任意的nN*，都有an+1=2anan+2，则 limn+an=_15.已知数列 an满足：a1=1，an+1=anan+2(nN+)，由a2、a3、a4归纳出数列 an的通项公式是 _.16.数列 an满足nan+1=n+1an+1 nN N*，且a1=1，则a2022=_.17.已知数列 an满足a1=12，且an+1=an3an+1，则数列|anan+1的前n项和为_四、四、解答题解答题18.已知数列 an中，a1=1，an+1=anan+3.(1)求证：1an+12 是等比数列，并求 an的通项公式；(2)若不等式2

13、n+1an 2n-73n-1对于nN N*恒成立，求实数的最小值.19.已知正项数列 an满足a1=12，且an+1=an1+an.(1)求正项数列 an的通项公式；(2)求和a11+a22+ann20.已知正项数列 an满足a1=1，且an-an+1=anan+1(1)求数列 an的通项公式；(2)记bn=an2n+2，记数列 bn的前n项和为Sn，证明：Sn1221.已知数列 an的通项公式为a1=35，an+1=3an2an+1(1)求数列 an的通项公式.(2)若1a1+1a2+1a3+1an0(nN N*,所以(n+1)an+1-nan=0,所以(n+1)an+1=nan.令bn=n

14、an,则bn+1=bn,即 bn是常数数列,所以bn=b1,即nan=1an=1,因此an=1n.评注:本题是关于 an和an+1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an+1的更为明显的关系式,从而求出an.【练习【练习3 3】已知数列 an满足an+1=2an+32n,a1=2,求数列 an的通项公式.【解析】将等式两边同时除以2n得,an+12n=an2n-1+3,所以an2n-1 是以a1=2为首项,3为公差的等差数列,即an2n-1=2+3(n-1)=3n-1,所以an=(3n-1)2n-1.【练习【练习4 4】已知数列 an满足a2=6,(n-1)an+1

15、=(n+1)an-(n+1),求数列 an的通项公式.【解析】等式两侧同除 n(n+1)(n-1),得an+1n(n+1)=ann(n-1)-1n(n-1),即 an+1n(n+1)-ann(n-1)=-1n(n-1)an+1n(n+1)-ann(n-1)=1n-1(n-1),另bn=ann(n-1)，所以bn+1-bn=1n-1n-1,接下来依旧是叠加法b3-b2=12-11b4-b3=13-12bn-bn-1=1n-1-1n-2叠加得bn-b2=1n-1-11,b2=a221=3,bn=1n-1+2,即ann(n-1)=1n-1+2,an=n+2n(n-1)=2n2-n(n2,nN*),当

16、n=1时,代入题干原式得a1=1,经检验可以合并,an=2n2-n(nN*).【练习【练习5 5】已知数列 an前n项的和为Sn,且满足Sn=1-nan(n=1,2,3,).(1)求a1,a2的值;(2)求 an的通项公式.【解析】(1)当n=1时,因为a1=1-a1,所以a1=12.当n=2时,因为a1+a2=1-2a2,所以a2=16.(2)Sn=1-nan,所以当n2时,Sn-1=1-(n-1)an-1.所以an=(n-1)an-1-nan,即an=n-1n+1an-1.所以(n+1)an=(n-1)an-1,n(n+1)an=(n-1)nan-1.令bn=n(n+1)an,则bn=bn

17、-1,即 bn是常数数列,所以bn=b1.因此n(n+1)an=1212,an=1n(n+1).构造五构造五:取倒数构造等差取倒数构造等差类型一：类型一：数列 an满足:an+1=bankan+b,则有1an+1=b+kanban=1an+kb.所以1an 是以1a1为首项,kb为公差的等差数列,即1an=1a1+(n-1)kb.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).类型二：类型二：数列 an满足:an+1=an-1an2an-1-an,则有1an+1=2an-1-anan-1an1an+1-1an=1an-1an-1.所以1an 是等差数列.类型

18、三：类型三：若数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 an+kSnSn-1=0,则有 Sn-Sn-1+kSnSn-1=0,两边同除以SnSn-1得:1Sn-1Sn-1=k,故1Sn 是以1a1为首项,k为公差的等差数列,即1Sn=1a1+(n-1)k,再用an=Sn-Sn-1,求 an.【经典例题【经典例题1 1】在数列 an中,若a1=1,an+1=an2an+1,则an=_.【解析】取倒数得:1an+1=1an+2,即1an-1an-1=2(n1)所以数列1an 是首项为1,公差为2的等差数列1an=1+2(n-1)=2n-1,所以an=12n-1.【经典例题【经典例题2 2】已知数列

19、an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求证:1Sn 是等差数列.(2)求an的表达式.【解析】(1)因为 an=Sn-Sn-1,所以 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,两边同除以 SnSn-1得:1Sn-1Sn-1=2,故1Sn 是以1a1=2为首项,2为公差的等差数列,即1Sn=2+2(n-1)=2n,所以Sn=12n.(2)an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1).【经典例题【经典例题3 3】已知数列 an的首项a1=23,an+1=2anan+1,n=1,2,3,证明:数列1an-1 是等比数列并求an的通项公式.【解析

20、】因为 an+1=2anan+1,所以1an+1=12an+12,1an+1-1=12an+12-1=121an-1,所以1an-1 是以1a1-1=12 为首项,12为公比的等比数列,所以1an-1=12n,an=2n+12n.【练习【练习1 1】设Sn是数列 an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则a5=()A.130B.-130C.120D.-120【答案】C【解析】a1=-1,an+1=SnSn+1Sn+1-Sn=SnSn+1,S1=-10SnSn+10 1Sn-1Sn+1=11Sn+1-1Sn=-1,1S1=-11Sn 是首项为-1,公差为-1的等差数列1Sn=-1-

21、(n-1)=-n Sn=-1na5=S5-S4=-15+14=120综上所述，答案选择:C【练习【练习2 2】已知 an中,a1=1,an+1=2anan+2,则a4=_.【答案】a4=25【解析】an+1=2anan+2,1an+1=an+22an=12+1an,数列1an 是首项为1a1=1,公差为12的等差数列,1an=1+12(n-1)=n+12,an=2n+1,a4=25.【练习【练习3 3】已知数列an=an-13+23n-1an-1(n=2,3,),a1=1,求 an的通项公式.【答案】an=1(2n-1)3n-1.【解析】由已知得1an=3an-1+23n-1,则13nan=3

22、3nan-1+23n-13n,即13nan=13n-1an-1+23.所以数列 13nan 是以23为公差的等差数列.所以13nan=13+(n-1)23=2n-13,即an=1(2n-1)3n-1.【过关检测】【过关检测】一、一、单选题单选题1.已知数列 an满足a1=12，an+1-an+anan+1=0，则数列 anan+1的前100项的和是()A.2551B.50101C.99202D.100101【答案】A【解析】an+1-an+anan+1=0，1an+1-1an=1，且1a1=2，所以数列1an 是首项为2，公差为1的等差数列，所以1an=2+n-1=n+1，即an=1n+1，a

23、nan+1=1n+1n+2=1n+1-1n+2S100=12-13+13-14+14-15+.+1101-1102=12-1102=2551.故选：A2.数列 an满足an+1=an1+2annN N，a1=1，则下列结论错误的是()A.2a10=1a3+1a17B.21an 是等比数列C.2n-1an=1D.3a5a17=a49【答案】D【解析】由an+1=an1+2an，且a1=1，则a2=a12a1+10，a3=a21+2a20，以此类推可知，对任意的nN N，an0，所以，1an+1=1+2anan=1an+2，所以1an+1-1an=2，且1a1=1，所以，数列1an 是等差数列，且

24、该数列的首项为1，公差为2，所以，1an=1+2 n-1=2n-1，则 2n-1an=1，其中nN N，C对；21an+121an=21an+1-1an=22=4，所以，数列 21an 是等比数列，B对；由等差中项的性质可得2a10=1a3+1a17，A对；由上可知an=12n-1，则3a5a17=3125-11217-1=199，a49=1249-1=197，所以，3a5a17a49，D错.故选：D.3.若数列 an满足a1=1，且an=n an+1-annN*，则a1+a2+an=()A.n2+n2B.n2-12C.n22D.n2【答案】A【解析】由题设，an+1n+1-ann=0，而a1

25、1=1，所以an=n，则a1+a2+an=n(n+1)2.故选：A4.已 知 数 列an满 足 a1=1，an+1=an4an+1，(n N*)，则 满 足 an137的 n 的 最 大 取 值 为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】解：因为an+1=an4an+1，所以1an+1=4+1an，所以1an+1-1an=4，又1a1=1，数列1an 是以1为首项，4为公差的等差数列所以1an=1+4(n-1)=4n-3，所以an=14n-3，由an137，即14n-3137，即04n-337，解得34n129的n的最大取值为()A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】因为an+1=

26、an4an+1，两边取倒数，得1an+1=4an+1an，整理为：1an+1-1an=4，1a1=1，所以数列1an 是首项为1，公差为4的等差数列，1an=1+n-14=4n-3，an=14n-3，因为an129，即14n-3129，得4n-329，解得：1n0，即 f n+1 f n即 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5当n5时，f n+1-f n0，即 f n+1 f 6 f 7所以 f 5最大，f n f 5=332所以332，故的最小值为33219.已知正项数列 an满足a1=12，且an+1=an1+an.(1)求正项数列 an的通项公式；(2)求和a11+a22+ann【答案

27、】(1)an=1n+1(2)nn+1【解析】(1)由an+1=an1+an可变形为：an+1an+an+1=an1an+1-1an=1 a1=12数列1an 是首项为2，公差为1的等差数列1an=2+n-1=n+1，an=1n+1(2)a11+a22+ann=121+132+1(n+1)n=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+120.已知正项数列 an满足a1=1，且an-an+1=anan+1(1)求数列 an的通项公式；(2)记bn=an2n+2，记数列 bn的前n项和为Sn，证明：Sn0，由an-an+1=anan+1，可得1an+1-1an=1又1a1=11=1，

28、则数列1an 是首项为1公差为1的等差数列，则1an=1+n-1=n，则数列 an的通项公式为an=1n(2)由(1)知an=1n，则bn=an2n+2=12n(n+1)=121n-1n+1则数列 bn的前n项和Sn=121-12+12-13+13-14+1n-1n+1=121-1n+1由1n+10，可得121-1n+112，即Sn1221.已知数列 an的通项公式为a1=35，an+1=3an2an+1(1)求数列 an的通项公式.(2)若1a1+1a2+1a3+1an100，求满足条件的最大整数值.【答案】(1)an=3n3n+2(2)99【解析】(1)解：因为an+1=3an2an+1，所以1an+1=2an+13an=23+13an，则1an+1-1=131an-1，又1a1-1=23，所以数列1an-1 是以23为首项，13为公比的等比数列，所以1an-1=2313n-1=23n，所以1an=3n+23n，所以an=3n3n+2；(2)解：由(1)可得1an=23n+1，则1a1+1a2+1a3+1an=23+232+23n+n=n+1-13n，由1a1+1a2+1a3+1an100，则n+1-13n100，因为函数y=x+1-13x是增函数，且当n=99时，n+1-13n=100-1399100，所以满足1a1+1a2+1a3+1an100的最大正整数n的值为99.