高等流体力学高等流体力学 (2).pdf

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1、高等流体力学高等流体力学学习目的：学习目的：学习并分析流体微团（在外力作用下）的形态变化，包括胀缩、角变形和旋转，为进一步研究这些变化与受力之间的关系建立基础；学习并分析流体微团（在外力作用下）的形态变化，包括胀缩、角变形和旋转，为进一步研究这些变化与受力之间的关系建立基础；掌握和理解流体力学基本方程中各项的物理意义。掌握和理解流体力学基本方程中各项的物理意义。1.1流体微团运动分析1.1流体微团运动分析直角坐标系下牛顿流体的运动方程：直角坐标系下牛顿流体的运动方程：一.流体微团运动的几何分析变形和旋转一.流体微团运动的几何分析变形和旋转流体质点流体质点：能够具有宏观特性的最小流体单元。：能够

2、具有宏观特性的最小流体单元。流体微团流体微团：是由大量流体质点组成的具有线性尺寸效应的微小流体团。：是由大量流体质点组成的具有线性尺寸效应的微小流体团。流体微团运动流体微团运动：由平行移动、线变形、角变形和旋转变形所组成。：由平行移动、线变形、角变形和旋转变形所组成。在时刻在时刻t，在正交笛卡尔坐标中取一平面微元体，在正交笛卡尔坐标中取一平面微元体ABCD，A点在点在x1和和x2坐标方向的速度分量分别为坐标方向的速度分量分别为V1和和V2。过。过A点任取一方向为点任取一方向为l 的微元线段的微元线段dl，它与，它与x1方向的夹角为。方向的夹角为。在坐标平面内，取（如右图所示）则在坐标平面内，取

3、（如右图所示）则A点在此平面内的速度分量可以沿、方向分解，得点在此平面内的速度分量可以沿、方向分解，得速度之间关系：速度之间关系：（1-1）方向导数之间关系：速度导数为：方向导数之间关系：速度导数为：（1-2）（）（1-3）1.线变形速率线变形速率单位时间内流体线的相对伸长称为线变形速率单位时间内流体线的相对伸长称为线变形速率。因此，线段的线变形速率为（对。因此，线段的线变形速率为（对l不求和）若或，则根据式（不求和）若或，则根据式（1-3）可得）可得llllllVVdl dt VdtVldt dllxxuxyyvyzzwz或或（1-4）（）（1-5）上式中上式中1、2、3分别沿着分别沿着x1

4、、x2、x3方向的线变性速率。流体微团体积在单位时间内的相对变化称为流体微团体积膨胀速率，注意到那么方向的线变性速率。流体微团体积在单位时间内的相对变化称为流体微团体积膨胀速率，注意到那么体积膨胀速率体积膨胀速率为由此可见，为由此可见，流体的体积膨胀速率等于三个正交方向上线变形速率之和，就是流体速度的散度。流体的体积膨胀速率等于三个正交方向上线变形速率之和，就是流体速度的散度。对于不可压流体，其体积不会变化，所以，此式可视为不可压缩流体条件或不可压缩流体的连续方程。对于不可压流体，其体积不会变化，所以，此式可视为不可压缩流体条件或不可压缩流体的连续方程。（1-6）（1-7）（1-6）（1-7）

5、2.角变形速率角变形速率单位时间内流体微团中某一平面正交流体线夹角减小之半，称为角变形速率。单位时间内流体微团中某一平面正交流体线夹角减小之半，称为角变形速率。1nnnnVVd ld tVd tVdld td td ll2222111212cossincossinVVVVxxxx（1-8）根据定义，根据定义，x1和和x2组成的平面直角的角变形速率为组成的平面直角的角变形速率为因此，因此，21120/221121122VVxx0/21122xyyxvuxy（1-9）（）（1-10）（）（1-11）（）（1-12）223ijijijpp V223223223xxyyzzuppxvppywppz V

6、VVxyyxyzzyzxxzuvppyxvwppzywuppxz同理可求得同理可求得31=13，32=23的表达式，写成形式为或显然，式（的表达式，写成形式为或显然，式（1-13）中若）中若=即退化为式（即退化为式（1-5）。）。3.平均旋转角速度平均旋转角速度平均旋转角速度为流体微团中无限多条直线段旋转角速度平均值，即平均旋转角速度为流体微团中无限多条直线段旋转角速度平均值，即（1-14）（）（1-15）（）（1-13）（1-18）（）（1-17）将（将（1-8）代入上式积分得）代入上式积分得12zvuxy12yuwzx12xwvyz（1-16）把与比较可见，当流体各向同性或只有旋转而没有线

7、变形时，则等分角线的角速度等于平均旋转角速度。它使流体微团绕过把与比较可见，当流体各向同性或只有旋转而没有线变形时，则等分角线的角速度等于平均旋转角速度。它使流体微团绕过A点的瞬时转动轴线旋转。刻划转动的特征量是。点的瞬时转动轴线旋转。刻划转动的特征量是。由此可得，平均旋转角速度矢量为由此可得，平均旋转角速度矢量为（1-19）二.变形率张量和涡量张量二.变形率张量和涡量张量根据张量分解定理，一个二阶张量可以分解为一个对称分量和一个反对称张量和，于是根据张量分解定理，一个二阶张量可以分解为一个对称分量和一个反对称张量和，于是速度导数张量速度导数张量可表示为其中可表示为其中（1-20）（）（1-2

8、1）（）（1-22）在笛卡尔直角坐标系中，上述三式可改写为在笛卡尔直角坐标系中，上述三式可改写为12VVxxVax12VVaaxx 速度导数张量变形率张量涡量张量速度导数张量变形率张量涡量张量（1-23）（）（1-24）（）（1-25）其中为了表达方便，下面引入两个数字符号：克罗内克符号（其中为了表达方便，下面引入两个数字符号：克罗内克符号（Kronecker Delta）,定义为它具有如下性质：定义为它具有如下性质：3mm mmTT（1-26）顺序（排列）符号（Permutation Symbol），定义为：例如与之间满足如下恒等式与之间满足如下恒等式（1-27）利用行列式性质，以及利用行列

9、式性质，以及,由式（由式（1-27）可得）可得ijkijkijkijkeeijijjiee 2iiee6ee（1-28）1.变形率张量1.变形率张量张量正是变形速率，它是决定一个流体微团变形运动的二阶对称张量，称为张量正是变形速率，它是决定一个流体微团变形运动的二阶对称张量，称为变形率张量变形率张量。2.涡量张量2.涡量张量根据式（根据式（1-19），平均旋转角速度矢量可表示为那么），平均旋转角速度矢量可表示为那么（1-29）（）（1-30）与式（与式（1-25）比较可知，上式说明，二阶反对称张量只有三个独立分量，它们组成一个矢量，即平均旋转角速度矢量。因此，张量决定了流体微团的旋转运动，故称

10、为）比较可知，上式说明，二阶反对称张量只有三个独立分量，它们组成一个矢量，即平均旋转角速度矢量。因此，张量决定了流体微团的旋转运动，故称为涡量张量涡量张量。任意矢量与涡量张量的内积等于矢量与矢量的矢量积。因为这正是二阶反对称张量所具有的性质。任意矢量与涡量张量的内积等于矢量与矢量的矢量积。因为这正是二阶反对称张量所具有的性质。（1-31）三三.海姆霍兹（海姆霍兹（Helmholtz）速度分解定理）速度分解定理在某一流体微团中取一点，点邻域内任取一点为，在某一流体微团中取一点，点邻域内任取一点为，M点的速度相对点展开成泰勒级数，并略去二阶无穷小量以上的项，得点的速度相对点展开成泰勒级数，并略去二

11、阶无穷小量以上的项，得考虑到式（考虑到式（1-31），（），（1-19）有则有）有则有（1-32）（）（1-33）（）（1-34）（）（1-35）1.平动速度1.平动速度。它是流体微团平动引起的，刻划平动的特征量是平动速度；。它是流体微团平动引起的，刻划平动的特征量是平动速度；2.变形速度2.变形速度。它是由于流体微团变形引起的，刻划变形的特征量是二阶对称变形率张量；。它是由于流体微团变形引起的，刻划变形的特征量是二阶对称变形率张量；3.转动速度3.转动速度。它是由于流体微团绕通过点的瞬时转动轴线旋转而产生的，刻划转动的特征量是。于是，。它是由于流体微团绕通过点的瞬时转动轴线旋转而产生的，刻划

12、转动的特征量是。于是，海姆霍兹速度分解定理海姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可以分解为平动、转动和变形三部分之和。：流体微团的运动可以分解为平动、转动和变形三部分之和。上式表明，点邻域内流体微团中任一点的速度由三部分组成：上式表明，点邻域内流体微团中任一点的速度由三部分组成：1.流体微团运动多了变形速度部分；2.流体速度分解定理只是在流体微团内部成立，因此它是局部性定理。1.流体微团运动多了变形速度部分；2.流体速度分解定理只是在流体微团内部成立，因此它是局部性定理。海姆霍兹速度分解定理的意义海姆霍兹速度分解定理的意义在于：（1）把在于：（1）把旋转运动旋转运动从一般运动中分离出来，才可能把

13、运动分成从一般运动中分离出来，才可能把运动分成有旋运动有旋运动和和无旋运动无旋运动，从而可以对它们进行分别研究；（2）把流体的，从而可以对它们进行分别研究；（2）把流体的变形运动变形运动从一般运动中分离出来，才可能将流体变形速率与流体应力联系起来，这对于从一般运动中分离出来，才可能将流体变形速率与流体应力联系起来，这对于粘性流动粘性流动的研究有重大的影响。的研究有重大的影响。思考题：思考题：1、判断流体是否可压缩的依据是什么？2、广义牛顿内摩擦定律正应力、剪应力与流体微团变形之间的关系是什么？3、流体产生旋涡的可能原因是什么？1、判断流体是否可压缩的依据是什么？2、广义牛顿内摩擦定律正应力、剪应力与流体微团变形之间的关系是什么？3、流体产生旋涡的可能原因是什么？