大学线性代数PPT (30).pdf

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1、6.1 二次型及其矩阵6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵定义 6.1 含有 n 个变量的二次齐次函数称为 n 元二次型，简称二次型.x xxn,12+=+=+a xa xa x xa xa x xa x xfx xxa xa x xa x xa x xnnnnnnnnnn222,22+2233333222223232221211112121313112)(n个变量6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵二次型的矩阵表示取于是=aaijji,=+=+a x xa x xa x xijijijijjiij,2+=+=+a x xa x xa x xa xa x xa xa x xa

2、x xfx xxa xa x xa x xa x xnnnnnnnnnnnnnn,+1122332212122223232221211112121313112)(=aaaxx xxaaaxaaaxnnnnnnnn(,)12122122221112116.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵记则二次型具有矩阵表达式其中=xaaaxAxaaaxaaannnnnnn,12221222111121=fx AxTAAT=.二次型的矩阵表示式二次型的矩阵（显然它是对称阵）6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵二次型其中称对称矩阵为该二次型的矩阵，二次型称为对称矩阵的二次型.任给一个二次型都有唯一

3、的对称矩阵与之对应，反之，任给一个对称矩阵也有唯一的二次型与之相对应，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系.=fxx AxT)(且且=Aaaan nijijji,.)(AA6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵说明二次型中，如果不要求矩阵对称，那么不唯一.如=fxx AxT)(AA=+=+fxxxx xx x461231223222=x xxx xx011,315,110123123)()(=x xxx xx031,213,120123123)()(6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵定义对称矩阵 的秩称为二次型 的秩.说明当为复数时，称为复二次型;aijffAf当为实数时，称

4、为实二次型;aij我们仅讨论实二次型6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵例求下列二次型的矩阵及秩解由题知，二次型对应的矩阵是=+=+fxx xx xxx2231121323222 rrrr0120211113121=A101130111=A101130111 rr02101211123+rr005012111232=Ar3)(故，所以二次型的秩是3.6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，可以选择坐标变换把方程化为标准形+=+=xxyy422=vyux22112211+=+=uv3881226.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵本

5、章主要问题:寻求可逆线性变换使二次型只含平方项,即将线性变换代入可得:这种只含平方项的二次型称为二次型的标准型 或标准二次型.=+=+=+=+=+=+xc ycycyxc yc ycyxc yc yc ynnnnnnnnnn11222211222211111221=fxx AxT)(=+=+fk yk yk ynn11222226.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵=+=+=+=+=+=+xc ycycyxc yc ycyxc yc yc ynnnnnnnnnn11222211222211111221记可逆线性变换为代入有=xCyCcn nij,)(=fxx AxT)(=fCyA Cyy

6、C AC yTTT)()()(矩阵可逆C=y ByT=BC ACT6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵定义 6.2 设 A,B 是 n 阶矩阵,若存在可逆矩阵 C,使得则称 A 与 B 合同.矩阵合同的基本性质：（1）自反性：任意方阵与其自身合同；（2）对称性：若与合同，则与合同；（3）传递性：若与合同，与合同，则与合同.=BC ACTAABBAABBCAC6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵定理6.1 若为对称矩阵，为可逆矩阵，则仍为对称矩阵，且证明：所以为对称矩阵可逆，则也可逆，因而矩阵与矩阵等价，从而秩也相等.AC=BC ACT=r Ar B.)()(=C ACBTTT)

7、(=C A CTT=C ACTBCCTBA6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵后得其秩不变，但的矩阵由变为.=xCyCcij,)(=fxx AxT)(=fCyA CyyC AC yTTT)()()(二次型经过可逆变换C ACTAf6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵等价存在可逆矩阵使相似存在可逆矩阵 使合同存在可逆矩阵 使与与ABP Q,=PAQB.与与ABP=PAPB.1与与ABP=P APBT.相似，则一定等价，反正不成立.与与AB与与AB与与AB与与AB合同，则一定等价，反正不成立.由以上可知实对称矩阵与其相似的对角矩阵既相似又合同.A6.1 6.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵练习求二次型的秩.=+=+fx,x,xxxxxxx123122313222)()()()(