大学线性代数PPT (31).pdf

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1、6.2.1 正交变换法化二次型为标准型6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型定义 只含平方项的二次型，即形如称为二次型的标准型.上述标准型对应的矩阵？=+=+fyyyk yk yk ynnn,121122222)(=kkkn216.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型因而将二次型化为标准型就是找可逆线性变换使也就是使为对角阵.=xCy=fx AxT=+ykyyyykykx AxyC AC yk yk yk ynnnnn(,)()1222111122TTT222=C ACT6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型故问题转化为:寻找可逆矩阵 C,使得为对角阵.这个问题称为

2、将实对称矩阵合同对角化.对任一对称矩阵 A 存在正交矩阵 P,使得为对角阵.=P APP AP-1TC ACT任一实对称矩阵能否合同对角化？6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型定理6.3 任一实二次型，总存在正交变换，使为标准型其中为实二次型的实对称矩阵的个特征值.=fx AxT=xPy=P APfx AxyyTTT)(=+=+fyyynn.1122222 n,12fAn用正交变换法化二次型为标准形的具体步骤=将二次型表成矩阵形式将二次型表成矩阵形式求出求出TfxAxA1.,;求出求出 的所有特征值的所有特征值 An122.,;求出对应于特征值的特求出对应于特征值的特征向量征向量

3、n123.,;P P记记得得化化位位单单化化交交正正量量向向征征特特将将=p,p,p,p,p,p;.,nnn 4 121212)(型型准准标标的的得得则则换换变变交交正正作作=+=+=fyy.xPy,fnn5 11226.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型对实对称矩阵求正交矩阵将相似对角化APA6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型例用正交变换法将二次型化为标准型.=+fxxxx xx xx x255448123121323222解 二次型的矩阵为,其特征多项式=A245254222=EA245254(1)(10)22226.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型=1

4、,10.123=112=EA x()01=EAr244000244000122122=(0,1,1)1T=(4,1,1)2T得的特征值为A对特征值，解方程组，由得的一组基础解系为=EA x()01此基础解系是正交向量组将它们单位化得到=pp223660,222 222121212TT=103=EA x()03=(1,2,2).3T6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型对，解方程组，由得基础解系为将其单位化得=EAr24500010254011822201=p3 33,.1 22333T6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型取正交矩阵则=Pppp263222263,22233

5、02 21123)(=P APPAPT101,116.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型令即则原二次型可化为如下标准型=xPy,=+=+fyyy10.123222 =+=+=+=+=+=+xyyyxyyyxyy263222263222332 2121232123123用正交变换法化二次型为标准形的具体步骤=将二次型表成矩阵形式将二次型表成矩阵形式求出求出TfxAxA1.,;求出求出 的所有特征值的所有特征值 An122.,;求出对应于特征值的特求出对应于特征值的特征向量征向量 n123.,;P P记记得得化化位位单单化化交交正正量量向向征征特特将将=p,p,p,p,p,p;.,nnn 4 121212)(型型准准标标的的得得则则换换变变交交正正作作=+=+=fyy.xPy,fnn5 11226.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型对实对称矩阵求正交矩阵将相似对角化APA6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型练习用正交变换法将二次型化为标准型.=+=+fxxxx xx x23441231223222