大学线性代数PPT (3).pdf

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1、线性代数1.3 n阶行列式的定义1.3.1 n阶行列式的定义1 1 1.3 n阶行列式的定义3aaaaaaaaa313233212223111213321231132321133122333311221322311221+=+a aa a aa aa a aa a aaa a aa（1）每一项都有来自不同行不同列的三个数的乘积，任一项除符号外可以写成行标排成标准排列，列标是1,2,3的某个排列.这样的排列一共有6个，因此共含6项.aaajjj.123123j j j1231.3 n阶行列式的定义4aaaaaaaaa3132332122231112133212311323211331223333

2、11221322311221+=+a aa a aa aa a aa a aaa a aa（2）各项的正负号由列标排列的奇偶性决定：带正号的三项列标排列是：123,231,312;（均为偶排列）带负号的三项列标排列是：321,213,132.（均为奇排列）1.3 n阶行列式的定义5aaaaaaaaa313233212223111213=+=+a a aa a aa a aa a aa a aa a a132231122133112332112233122331132132=aaaj j jjjjN j j j1.1231 2 31231 2 3)()(表示对1,2,3三个数的所有排列求和不同行

3、不同列三个数的乘积1.3 n阶行列式的定义个数排成行 列6n2=ain jnij1,2,;1,2,)(nnaaaaaaaaannnnnn122122211121aij元i j,)(行标列标1.3 n阶行列式的定义共项一般项7=aaaa aaaaaaaannnnj jjjjnjnN j jjnnnn1.121221222111211 2121 2)()(n!定义个数n21,2,;1,2,=ain jnij)(1.3 n阶行列式的定义阶行列式表示所有取自不同行不同列的个数的乘积并按照如下方法带上正号或负号的代数和：每项乘积中的个数按行号排成标准排列，其列号排列的奇偶性决定该项的符号，奇排列时为负号

4、，偶排列时为正号.8nnn1.3 n阶行列式的定义9aij行列式的记号det,aij)(D,1.3 n阶行列式的定义10行列式的等价定义=aaaa aaaaaaaannnni iiiii nnN i iinnnn1.121221222111211 2121 2)()(列标排成标准排列行标排列的逆序数1.3 n阶行列式的定义11证明：=aaaDaaaaaaaaannnnj jjjjnjnN j jjnnnn1121221222111211 2121 2)()(=Da aai iiiii nN i iinnn11121 2121 2)()(对于 中任一项，总有且仅有中 某一项D aaajjnjN

5、j jjnn112121 2)()(a aaiii nN i iinn112121 2)()(与之对应并相等，反之也一样，于是与D1D中的项可以一一对应相等，从而D1=DD.11.3 n阶行列式的定义12说明：1.行列式代表一个数，不致混淆的情况下行列式与它的值不加严格区分；2.行列式的数称为元；为行标，为列标；3.特别地，时，规定，注意与绝对值相区别.=n1=aa1111aiji,j)(ij1.3 n阶行列式的定义转置行列式：把行列式的行列互换得到的新的行列式称为的转置行列式，记为13DDDT.7185543643231210=D0365123823411457=DT1.3 n阶行列式的定义性质1.2将行列式转置，行列式的值不变.证明：则由定义按行列式等价定义，故14=aaaDaaaaaannnnnn122122211121=Db bbaaaj jjj jjjjnjjjj nTN j jjN j jjnnnnnn1112121 21 212121 21 2)()()()(=bbbDbbbbbbnnnnTnn122122211121=bai jnijji,1,2,)(=Daaaj jjjjj nN j jjnnn1121 2121 2)()(=DDT.