高等流体力学高等流体力学 (30).pdf

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1、高等流体力学高等流体力学现在讨论一种求解平面势流的特殊方法（现在讨论一种求解平面势流的特殊方法（镜像法镜像法）。已知为位于域内的奇点系）。已知为位于域内的奇点系 s 的复势，的复势，l 为域的不动边界，令为位于 域外的奇点系的复势，为域的不动边界，令为位于 域外的奇点系的复势，在边界上满足在边界上满足则就是则就是具有不动边界具有不动边界 l 的 域中的 域中 s 奇点系的复势奇点系的复势。对于解析函数，在 域中满足奇点条件，在边界。对于解析函数，在 域中满足奇点条件，在边界 l 上满足的边界条件。用这种方法求解具有不动边界上满足的边界条件。用这种方法求解具有不动边界 l 的奇点系的奇点系 s

2、的复势的方法称为的复势的方法称为镜像法镜像法，称为，称为s的像，的像，l 边界即为镜。边界即为镜。4.7平面镜像及圆定理（圆柱面镜像）4.7平面镜像及圆定理（圆柱面镜像）图图4-20 镜像镜像原则上镜像法可适用于任意边界，最简单和常用的边界是平面壁和圆，对应的镜像法称为原则上镜像法可适用于任意边界，最简单和常用的边界是平面壁和圆，对应的镜像法称为平面壁镜像平面壁镜像和和圆定理圆定理。可以把他们的解作为基本解，。可以把他们的解作为基本解，其它边界的镜像可以引用解析变换，先将边界变为平壁面或圆，然而引用上述基本解求得其它边界的镜像可以引用解析变换，先将边界变为平壁面或圆，然而引用上述基本解求得。一

3、.平面壁镜像一.平面壁镜像1.的平面壁镜像若在的域中存在若干源、涡、偶极子或其他奇点，其复势为，则在流场中插入的平壁面后，在域中的复势为的平面壁镜像若在的域中存在若干源、涡、偶极子或其他奇点，其复势为，则在流场中插入的平壁面后，在域中的复势为式中是表示中除以外的各复势取共轭值式中是表示中除以外的各复势取共轭值。（4-87）yxopzpzkk*kz*kzjQjQjzjzpmpm图图4-21 平面镜像平面镜像证明证明如下：由于在的平面上，因此显然，如下：由于在的平面上，因此显然，在平面上，复势只存在实部在平面上，复势只存在实部，即，也就是说，在平面上，。因此，是一条流线。故式（，即，也就是说，在平

4、面上，。因此，是一条流线。故式（4-87）满足物面条件满足物面条件。由于的奇点位置均位于的域中，所以的奇点都位于的域中，并且对称于平面。可见复势在域中。由于的奇点位置均位于的域中，所以的奇点都位于的域中，并且对称于平面。可见复势在域中未增加奇点未增加奇点，仍然是域内奇点系的复势。，仍然是域内奇点系的复势。综上所述得到综上所述得到结论结论：在的域中，式（：在的域中，式（4-87）给出的复势是满足的域中有源、涡、偶极子等奇点（如图）给出的复势是满足的域中有源、涡、偶极子等奇点（如图4-21），这些奇点的复势为若为平面壁面，由式（），这些奇点的复势为若为平面壁面，由式（4-87）知，）知，在的域中，

5、复势应为在的域中，复势应为其中其中 w zf zfz2.的平面镜像在的域中存在若干源、涡、偶极子或其它奇点，其复势为，则流场中插入的平面壁后，在域中流场的复势为的平面镜像在的域中存在若干源、涡、偶极子或其它奇点，其复势为，则流场中插入的平面壁后，在域中流场的复势为式中是表示对中除以外的各复数取共轭值，并以代替式中是表示对中除以外的各复数取共轭值，并以代替。证明证明如下：由于在的平面上，因此如下：由于在的平面上，因此（4-88）图图4-22 平面镜像平面镜像显然，显然，在的平面上复势只存在实部，虚部为零在的平面上复势只存在实部，虚部为零。即处。即处。所以满足的物面条件所以满足的物面条件。由于的奇

6、点位置，均在的域中，所以的奇点位置都位于的域中，因此的域中。由于的奇点位置，均在的域中，所以的奇点位置都位于的域中，因此的域中未曾加新的奇点未曾加新的奇点。与的奇点位置恰好对称于平面。故可以得出。与的奇点位置恰好对称于平面。故可以得出结论结论：在的域中，式（：在的域中，式（4-88）给出的）给出的复势是满足的物面条件和奇点条件的解复势是满足的物面条件和奇点条件的解。例如例如，在的域中的由源、涡、偶极子等奇点，它们的复势为在插入的平壁后，在的域中复势为其中，在的域中的由源、涡、偶极子等奇点，它们的复势为在插入的平壁后，在的域中复势为其中可见是各奇点“像”的复势可见是各奇点“像”的复势。二.圆定理

7、圆柱壁面的镜像二.圆定理圆柱壁面的镜像圆定理圆定理可叙述如下可叙述如下：令为没有圆边界时的无界流场中的复势，且在中没有奇点。若在此流场中插入的不动圆柱，则圆柱外的复势应为式中是表示对中除以外的各复数取共轭值，并以：令为没有圆边界时的无界流场中的复势，且在中没有奇点。若在此流场中插入的不动圆柱，则圆柱外的复势应为式中是表示对中除以外的各复数取共轭值，并以A 代替。代替。证明证明如下：如下：在圆柱上，所以，因此，所以在柱面上的复势为显然在柱面上，复势只存在实部，即在圆柱上，所以，因此，所以在柱面上的复势为显然在柱面上，复势只存在实部，即圆柱面上圆柱面上。如果的奇点都在圆外，即，则的奇点位置为而它们都在圆内。因而在。如果的奇点都在圆外，即，则的奇点位置为而它们都在圆内。因而在圆外并未增加奇点圆外并未增加奇点，所以（，所以（4-89）式给出的）式给出的复势满足圆柱面物面条件及圆外流场的奇点条件的解复势满足圆柱面物面条件及圆外流场的奇点条件的解。（4-89）思考题：思考题：1、镜像法求解的基本思路是什么？2、如果求解域及其边界不是平板或者圆柱，如何利用镜像法求解？1、镜像法求解的基本思路是什么？2、如果求解域及其边界不是平板或者圆柱，如何利用镜像法求解？