高等流体力学高等流体力学 (32).pdf

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1、高等流体力学高等流体力学一一.无分离保角方法的基本思想无分离保角方法的基本思想对于理想不可压平面无旋流动问题，主要任务是寻求满足来流条件，物面条件和环量条件的复势。一旦流场的复势被确定，则相应的速度场、压力场以及绕流物体的合力和合力矩就很容易确定。在对于理想不可压平面无旋流动问题，主要任务是寻求满足来流条件，物面条件和环量条件的复势。一旦流场的复势被确定，则相应的速度场、压力场以及绕流物体的合力和合力矩就很容易确定。在4-7节和节和4-8节，介绍了利用简单解组合的方法来满足给定的边界条件，这些都属于直接方法。现在我们来讨论一种间接方法，即节，介绍了利用简单解组合的方法来满足给定的边界条件，这些

2、都属于直接方法。现在我们来讨论一种间接方法，即保角变换方法保角变换方法。这种方法建立在解析复变函数的特性上。无分离流动的。这种方法建立在解析复变函数的特性上。无分离流动的保角变换方法的基本思想保角变换方法的基本思想可简述如下：（可简述如下：（1）通过一个解析变换，把物理平面上比较复杂的物面边界变成辅助平面上的简单形状的边界通过一个解析变换，把物理平面上比较复杂的物面边界变成辅助平面上的简单形状的边界，如变成无穷长直线、圆柱等，使平面上的流动域变为平面上半平面或圆外域，圆内域等。显然的变换要求是：，如变成无穷长直线、圆柱等，使平面上的流动域变为平面上半平面或圆外域，圆内域等。显然的变换要求是：开

3、域内保角，边界上一一对应开域内保角，边界上一一对应。4.9物体绕流的保角变换方法4.9物体绕流的保角变换方法平面和平面两者之间的平面和平面两者之间的映射的微分形式映射的微分形式可写成在任一点，是一复数。因此，由上式可知这样 平面上的可写成在任一点，是一复数。因此，由上式可知这样 平面上的线段线段和，映射到平面上线段和。其中，和相比较，模相差和，映射到平面上线段和。其中，和相比较，模相差 A 倍，幅角逆时针增大。因此在平面上的倍，幅角逆时针增大。因此在平面上的三角形三角形是平面上对应的三角形放大（或缩小）一个因子是平面上对应的三角形放大（或缩小）一个因子 A,转过一个角度。转过一个角度。由于平面

4、上的任何一三角形，都在平面上与之相应的三角形相似，因此平面上的由于平面上的任何一三角形，都在平面上与之相应的三角形相似，因此平面上的流动网格保角地映射流动网格保角地映射成平面上有线和线所构成的正交网格。成平面上有线和线所构成的正交网格。任何两个复变量之间的解析关系都代表着一个保角映射任何两个复变量之间的解析关系都代表着一个保角映射。（。（2）通过解析变换建立物理平面和辅助平面上对应得流动关系通过解析变换建立物理平面和辅助平面上对应得流动关系。其中最主要的是复势式中仍然是一个解析函数，它也代表一种流动。习惯上和不加区别也不会混淆，当然两者的函数关系并不相同。（。其中最主要的是复势式中仍然是一个解

5、析函数，它也代表一种流动。习惯上和不加区别也不会混淆，当然两者的函数关系并不相同。（3）对于）对于辅助平面上相应流动问题寻求复势辅助平面上相应流动问题寻求复势，一般是已知的，或利用简单方法（如镜像法）可以较容易解决的。，一般是已知的，或利用简单方法（如镜像法）可以较容易解决的。（4-105）二.物理平面与辅助平面上对应的流动关系二.物理平面与辅助平面上对应的流动关系由于 平面和平面之间存在单值解析关系，从而可推论出这由于 平面和平面之间存在单值解析关系，从而可推论出这两个平面之间的一系列变换关系两个平面之间的一系列变换关系。（1）已知平面上的复势，则必然是平面上的复势。因为是的解析函数，又是的

6、解析函数，由复变函数理论知，仍然是解析函数，它代表的仍然是复势。已知平面上的复势，则必然是平面上的复势。因为是的解析函数，又是的解析函数，由复变函数理论知，仍然是解析函数，它代表的仍然是复势。（2）若平面上在点上有奇点，则在平面对应点上，也具有同样性质的奇点。例如，在平面上点上有点源和点涡，则当时，只有该奇点的复势起作用，即若平面上在点上有奇点，则在平面对应点上，也具有同样性质的奇点。例如，在平面上点上有点源和点涡，则当时，只有该奇点的复势起作用，即（4-106）已知变换关系或代入式（已知变换关系或代入式（4-106）得或由此可见，在处）得或由此可见，在处具有同样性质强度的奇点具有同样性质强度

7、的奇点。（4-107）例如，在 平面上点上有偶极子，则当时则或由此可见，在点上，具有同样性质的奇点，即这些仍然是偶极子，但是其强度则为，其方向为例如，在 平面上点上有偶极子，则当时则或由此可见，在点上，具有同样性质的奇点，即这些仍然是偶极子，但是其强度则为，其方向为（4-108）偶极子的强度和方向的变换是由于的保角映射中在处的线性尺度的放大和转动引起的。这是组成偶极子的源汇（强度不变）之间的距离的模和幅角改变了。（偶极子的强度和方向的变换是由于的保角映射中在处的线性尺度的放大和转动引起的。这是组成偶极子的源汇（强度不变）之间的距离的模和幅角改变了。（3）对应等势线与流线对应等势线与流线其中，。

8、由此可见，平面上的等势线或流线，对应平面上也是等势线或流线。由于保角映射，正交性不变。其中，。由此可见，平面上的等势线或流线，对应平面上也是等势线或流线。由于保角映射，正交性不变。（4-109，110）（4）映射平面上的）映射平面上的复速度关系复速度关系（5）映射平面上的）映射平面上的速度环量及流量速度环量及流量根据式（根据式（4-111）有那么）有那么（4-111）或积分得或或积分得或变换前后在相应的封闭曲线上环量及流量保持不变变换前后在相应的封闭曲线上环量及流量保持不变。（4-112）（）（4-113）三三.解析变换的唯一性定理解析变换的唯一性定理在物理平面和辅助平面上任意给定两个闭区域和

9、，并任意给定，（，）及实数，在物理平面和辅助平面上任意给定两个闭区域和，并任意给定，（，）及实数，若满足下列给定的条件则必存在一个唯一的解析变换关系若满足下列给定的条件则必存在一个唯一的解析变换关系，它保角地将开区域变换为开区域，且两个区域的边界一一对应。这就是，它保角地将开区域变换为开区域，且两个区域的边界一一对应。这就是解析变换的唯一性定理解析变换的唯一性定理。式（。式（4-114）指给定对应点和映射转角，显然这时解析变换关系唯一确定。）指给定对应点和映射转角，显然这时解析变换关系唯一确定。（4-114）四四.任意柱形物体绕流变换为圆柱绕流的一般形式任意柱形物体绕流变换为圆柱绕流的一般形式

10、将平面上的将平面上的任意柱形物体任意柱形物体在无界均匀来流中的绕流问题，在无界均匀来流中的绕流问题，变换为变换为平面上的平面上的圆柱圆柱在无界均匀来流中的绕流问题。令为 平面上所研究的柱形物面周线 外部的区域，包括无穷远处在内。令为平面上以坐标原点为中心，半径为的圆柱周线的外部区域，也包括无穷远点。由于在域中是解析函数，因此可用在无界均匀来流中的绕流问题。令为 平面上所研究的柱形物面周线 外部的区域，包括无穷远处在内。令为平面上以坐标原点为中心，半径为的圆柱周线的外部区域，也包括无穷远点。由于在域中是解析函数，因此可用罗朗（罗朗（Laurent）级数）级数，在点展开，在点展开（4-115）根据

11、根据解析变换的唯一性解析变换的唯一性，给定式中为给定的非零实数，相当于，与半径相关联，因此不能同时给定。因为是映射中模的放大倍数，它必然会确定平面上的半径。，给定式中为给定的非零实数，相当于，与半径相关联，因此不能同时给定。因为是映射中模的放大倍数，它必然会确定平面上的半径。将上述三个条件用于式（将上述三个条件用于式（4-115），），即可得即可得（4-116）因此，式（因此，式（4-115）可改写为式中，和将由柱形物体周线和圆柱半径确定。）可改写为式中，和将由柱形物体周线和圆柱半径确定。通过上述变换可以将平面上的任意柱形物面周线的外部域变换为 平面上圆柱周线的外部域通过上述变换可以将平面上的

12、任意柱形物面周线的外部域变换为 平面上圆柱周线的外部域。（4-117）无穷远来流条件也有相应变换无穷远来流条件也有相应变换在平面上在 平面上在平面上在 平面上可见，在平面上的无穷远来流速度大小为平面上来流速度的倍，而方向不变。可见，在平面上的无穷远来流速度大小为平面上来流速度的倍，而方向不变。V*Vxyl*lz平面平面图图4-24在平面上对应半径为的圆柱绕流的复势可利用式（在平面上对应半径为的圆柱绕流的复势可利用式（4-74）考虑到攻角，相当于坐标沿顺时针旋转角。无攻角时有攻角时，或，因此在坐标旋转时，点涡没有影响。在平面上复势，只要将已知的解析映射关系式（）考虑到攻角，相当于坐标沿顺时针旋转角。无攻角时有攻角时，或，因此在坐标旋转时，点涡没有影响。在平面上复势，只要将已知的解析映射关系式（4-117）代入上式即可。）代入上式即可。物理平面上的复速度为物理平面上的复速度为（4-118）（）（4-119）思考题：思考题：1、物理平面和辅助（变换）平面之间的流动对应关系式什么？2、如何将任意柱体变换为圆柱体？1、物理平面和辅助（变换）平面之间的流动对应关系式什么？2、如何将任意柱体变换为圆柱体？