山东省东营市胜利第一中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx

《山东省东营市胜利第一中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省东营市胜利第一中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 胜利一中2021-2022高二上学期期末考试（数学）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解出集合N，再对四个选项一一验证.【详解】因为，.所以.对于A：不成立；对于B：.成立；对于C：不成立；对于D：，故D不成立.故选：B2. 已知是纯虚数，其中是虚数单位，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘除法运算及纯虚数的定义即可得出答案.【详解】解：若为纯虚数，则，解得.故选：C3. 经过点，倾斜角为的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率

2、关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.【详解】由倾斜角为可得，直线斜率为由直线点斜式方程得直线方程为；即.故选：C.4. 若抛物线上的点到焦点的距离为则（ ）A. B. 2C. 6D. 【答案】D【解析】【分析】用焦半径公式解方程算出即可获解.【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离为4，所以，即，所以故选：D.5. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为.【详解】因为

3、四面体是棱长为1的正四面体，所以其体积为.设正四面体内切球的半径为，则，得.如图，取的中点为，则.显然，当的长度最小时，取得最小值.设正四面体内切球的球心为，可求得.因为球心到点的距离，所以球上的点到点的最小距离为，即当取得最小值时，点到的距离为.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径.6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合等差中项和等比中项分别求出和，代值运算化简即可.【详解】由是等比数列可得，是等差数列可得，所以，

4、故选：A7. 已知ABC满足2，则ABC是（）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由数量积的运算律化简后得出正确选项【详解】由题意得，故，ABC是直角三角形故选：C8. 设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联

5、想构造函数.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. ，关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由已知条件得出，求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】，关于的不等式恒成立，则，解得.故选：BD.10. 已知函数，则（ ）A. 函数图象的一条对称轴方程为B. 函数的最小正周期为C. 是函数的一个零点D. 函数在上单调递增【答案】BC【解析】【分析】由正弦型函数的对称性结论判断A，由正弦型函数的周期性的结论判断B，由函数的零点的定义判断C，由正弦函数的单调性判断D.【详解】当时，所以直线不是函数图象的对称轴，A错，由正弦型函数的

6、周期公式可得函数的周期，B对，当时，所以是函数的一个零点，C对，由可得，因为函数在单调递增，在单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，D错，故选：BC.11. 已知点，分别为圆：与圆：上的两个动点，点为直线：上一点，则（ ）A. 的最大值为B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为【答案】AC【解析】【分析】根据题意，作出图形，当三点共线时最小，即；由知当取到最大即时最大，结合两点坐标求距离公式计算即可.【详解】由，得，所以圆心，半径为；由，得，所以圆心，半径；设点关于直线对称的对称点为，有，解得，即，连接，交直线于点，即当三点共线时，最小，且，连接，此时最小，当取到最大时，取到最

7、大值，如图，由图可知，所以的最大值为，故A正确，B错误；，故C正确，D错误.故选：AC12. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（ ）A. B. 数列单调递增C. 若p为质数，则数列为等比数列D. 数列的前4项和等于【答案】AC【解析】【分析】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与 都互质，所以A正确；由，可知B错误；若p为质数，则小于等于的正整数中与互质的数的数目为个，故，所以，即数列为等比数列，故C正确；根据选项C可知，数列的前4项和为，故D错误.【详解】根据题意可知

8、，12与1，5，7，11互质，29与共28个数都互质，即，所以A正确；由题目中，以及可知数列不是单调递增的，B错误；若p为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为，即每p个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为个，故，所以为常数，即数列为等比数列，故C正确；根据选项C即可知，数列的前4项和为，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题主要是理解函数的定义，难点是选项C的证明，主要是确定与互质的数的个数；若p为质数，在小于等于的正整数中每p个数当中就有一个与不互质，则不互质的数目个数为个，所以互质的数的数目为个，即可证明数列为等比数列，并可计算数列前n项和.三、填空题（本大题共4小题，共2

9、0分）13. 若函数是奇函数，则的值为_【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质有恒成立，列方程求参数值即可.【详解】由，又为奇函数，即，所以，显然，故.故答案为：14. 已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为_【答案】1【解析】【分析】根据球的表面积公式，求得球的半径，结合正方体的对角线长等于外接球的直径，列出方程，即可求解.【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得，由，可得，即，解得故答案为：115. 已知实数x，y满足，若，则z的最小值是_【答案】8【解析】【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值【详解】因为，所以，当且仅

10、当，即时取等号，所以，当且仅当，即时等号成立，此时故答案为：816. 已知函数，则的零点为_，若，且，则的取值范围是_【答案】 . . 【解析】【分析】根据分段函数以及零点的定义，令即可解得函数的零点；由可知在1的左右两侧，分别代入计算得出的关系式，将消元之后构造函数即可求得其取值范围.【详解】令，即，解得不合题意，舍去；或，解得，符合题意；所以，函数的零点为.由，且可知，当时，,不合题意；当时，不合题意；所以，分别属于两个区间，不妨取，则，即；所以，则，令，所以令，得，当时，即函数在上为单调递减；当时，即函数在上为单调递增；所以函数在时取最小值，即，即所以的取值范围是.故答案为： ；【点睛】

11、方法点睛：本题在求解的取值范围时首先应确定两个变量的取值范围，根据等量关系将双变量问题消元，转换成单变量问题后构造函数，利用自变量取值范围即可求得结果.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知圆与轴相切，圆心在射线，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，求点到直线的距离的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意可设圆的方程为，利用几何法建立弦长的关系，求出即可；（2）直线与圆相离，则到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求解【小问1详解】因为圆心在射线，则可设圆的圆心为，其中，因为圆与轴相切，所以圆的半径为，圆的方程为，设圆心到直线

12、的距离为，则，由弦长的几何关系得，解得，所以圆的方程为；【小问2详解】因为圆心到的距离为，所以直线与圆相离，点到直线的距离的最小值为18. 在面积，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，_，求.【答案】见解析【解析】【分析】选择：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出的长；选择：在，中，分别运用正弦定理，可以求接求出的长；【详解】解：选择：所以；由余弦定理可得所以选择设，则，在中，即所以在中，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.19. 设是等比数列的前项和，且、成等差数列.（1）求的通项公式

13、；（2）求使成立的的最大值.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）求出等比数列的公比，然后利用等比数列的通项公式可求得；（2）利用等比数列的求和公式以及已知条件可得出关于的不等式，解之即可得解.【小问1详解】解：设等比数列的公比为，则，由，故.【小问2详解】解：，则，整理得，当为偶数时，不合乎题意；当为奇数时，则，可得，可得.因此，的最大值为.20. 如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，分别是棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，先证明平面，根据面面垂直的判定定理可得结论成立；（2）由题意建立空间直角坐标系

14、，根据条件分别求得平面和平面法向量，计算两个法向量的夹角的余弦值可得二面角的余弦值【小问1详解】证明： 由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可得，平面，平面且，所以平面，又平面，则,因为，是棱的中点，所以，平面，平面且，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】由三棱锥的三条侧棱两两垂直，故以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，即，令，得，由（1）知平面的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21. 设函数f（x）ln x，kR（1）若曲线yf（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x20垂直，求f（x）的单调性和极小值(其

15、中e为自然对数的底数)；（2）若对任意的x1x20，f(x1)f(x2)0)在(0，)上单调递减，接着转化为0在(0，)上恒成立，即，kx2x恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案.【详解】（1）由题意，得，曲线yf（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x20垂直，即，解得ke，由 0，得0x0，得xe，f（x）在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增当xe时，f（x）取得极小值，且f（e）ln e2f（x）的极小值为2（2）由题意知，对任意的x1x20，f(x1)x10)，则h（x）在(0，)上单调递减，0在(0，)上恒成立，即当x0时，kx2x恒成立，k故k的取值范围是【点睛】本题考

16、查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.22. 已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.（1）求抛物线的方程；（2）过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.【答案】（1）； （2）16.【解析】【分析】（1）根据给定条件求出，设出点P的坐标，结合抛物线定义列式计算作答.（2）设出直线AB、CD的方程，求出点H坐标，进而求出，由面积建立函数关系，借助均值不等式求解作答.【小问1详解】抛物线的焦点，准线，为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，由，解得，设，则点，于是由得：，解得，所以抛物线的方程为：.【小问2详解】显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：，由消去x并整理得：，设，则，于是得弦AB中点，同理得，因此，直角面积，当且仅当，即时取“=”，所以面积的最小值为16.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以是斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.