曲线积分及曲面积分习题.ppt

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1、第十章第十章 曲线积分及曲面积分曲线积分及曲面积分习题课习题课（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容一、主要内容曲曲线线积积分分曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定三代一定二代

2、一定二代一定 (与方向有关与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义联联系系计计算算一代一代,二换二换,三投三投(与侧无关与侧无关)一代一代,二投二投,三定向三定向 (与侧有关与侧有关)定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系计算上的联系计算上的联系其中其中理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不

3、定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）（三）场论初步场论初步二、二、典型例题典型例题思路思路闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的的计算法计算法解解(如下图如下图)曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，解解

4、由对称性由对称性对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法1.利用高斯公式利用高斯公式具有具有则则外侧外侧.一阶连续偏导数一阶连续偏导数,2.通过投影化为二重积分通过投影化为二重积分注意注意的确定的确定!3.向量点积法向量点积法(化为同一组坐标积分）化为同一组坐标积分）被积函数中有抽象函数被积函数中有抽象函数,故无法直接计算故无法直接计算.如直接计算如直接计算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例是锥面是锥面所围立体的表面所围立体的表面计算设计算设f(u)是有连续的导数是有连续的导数,计算计算和球面和球面及及外侧外侧.解解 由于由于故由故由高斯公式高斯公式=球球例例解解利用两类曲面积分之间

5、的关系利用两类曲面积分之间的关系例例.计算曲面积分计算曲面积分其中其中,解解:引申引申:1.本题本题 改为椭球面改为椭球面 时时,应如何应如何计算计算?应如何计算应如何计算?2.若本题若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，计算：计算：其中其中：引申引申:1然后用高斯公式然后用高斯公式.引申引申:2分两种情形分两种情形情形情形1：不包围原点的任意闭曲面。不包围原点的任意闭曲面。情形情形2：包围原点的任意闭曲面。包围原点的任意闭曲面。问题转化为与引申问题转化为与引申1类似的情形。类似的情形。例例.计算曲面积分计算曲面积分中中 是球面是球面解解:利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式(曲面关于曲面关于xoz面面对称）对称）例例.设设L 是平面是平面与柱面与柱面的交线的交线从从 z 轴正向看去轴正向看去,L 为逆时针方向为逆时针方向,计算计算 解解:记记 为平面为平面上上 L 所围部分的上侧所围部分的上侧,D为为 在在 xoy 面上的投影面上的投影.由由斯托克斯公式斯托克斯公式选择题选择题：BCC