曲线积分和曲面积.ppt

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1、第十章第十章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章 内容小结1.定义定义2.性质性质(l 曲线弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧机动 目录 上页 下

2、页 返回 结束 如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中L1是曲线是曲线L在在x轴右侧的那一部分；关于轴右侧的那一部分；关于y轴对称轴对称也有类似结论。也有类似结论。l对称性的应用：1.如果曲线关于x轴对称，函数f(x,y)关于y为奇偶函数，则2.设f(x,y)在曲线连续，曲线L关于原点对称，函数f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数，则其中其中L1是曲线是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分在右半平面或上半平面的那一部分。例1.计算计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用

3、对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.计算计算其中为球面解解:化为参数方程 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 已知椭圆周长为a,求提示提示:原式=利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节第二节1、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质2、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 1.定义 性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!机

4、动 目录 上页 下页 返回 结束 2.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章 区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域 D 是由分段光滑正向

5、曲线 L 围成,则有(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、格林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则

6、原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 真题研讨真题研讨第四节第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章 1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分的概念、性质和计算对面积的曲面积分的概念、性质和计算对称性的应用对称性的应用例3.计算计算其中

7、是球面利用对称性可知解解:显然球心为半径为利用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章 其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面,表示:其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定

8、类似可规定机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例中,流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质:联系联系:机动 目录 上页 下页 返回

9、 结束 例5.设设S 是球面是球面的外侧,计算解解:利用轮换对称性,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.计算曲面积分计算曲面积分其中解解:利用两类曲面积分的联系,有 原式=旋转抛物面介于平面 z=0 及 z=2 之间部分的下侧.机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、高斯(Gauss)公式定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)高斯 目录 上页 下页 返回 结束 1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)

10、(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7.利用利用Gauss 公式计算积分公式计算积分其中 为锥面解解:作辅助面取上侧介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.所围区域为,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用重心公式,注意机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、斯托克斯(Stokes)公式 定理定理1.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1 目录 上

11、页 下页 返回 结束 例9.为柱面为柱面与平面 y=z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针,计算解解:设为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式 目录 上页 下页 返回 结束 2.通量与散度 设向量场P,Q,R,在域G内有一阶 连续 偏导数,则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧机动 目录 上页 下页 返回 结束 真题研讨真题研讨