曲面积分曲线积分习题.ppt

《曲面积分曲线积分习题.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲面积分曲线积分习题.ppt（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、一、曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法 线面积分的计算 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示:计算其中L为圆周提示提示:利用极坐标,原式=说明说明:若用参数方程计算,则P244 3(1)目录 上页 下页 返回 结束 P244 3(3).计算其中L为摆线上对应 t

2、从 0 到 2 的一段弧.提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 P244 3(6).计算其中 由平面 y=z 截球面提示提示:因在 上有故原式=从 z 轴正向看沿逆时针方向.目录 上页 下页 返回 结束(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧基本技巧目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算其中 为曲线解解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、解法

3、解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径的上半圆周.目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答:(1)(2)目录 上页 下页 返回 结束 计算其中L为上半圆周提示提示:沿逆时针方向.练习题练习题:P244 题 3(5);P245 题 6;11.3(5).用格林公式:目录 上页 下页 返回 结束 P245 6.设在右半平面 x 0 内,力构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的

4、路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为目录 上页 下页 返回 结束 P245 11.求力沿有向闭曲线 所作的其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三提示提示:方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,功,目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为,方向向上,则方法方法2 利用利用公式 斯托克斯公式斯托克斯公式目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量 代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3

5、)确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面目录 上页 下页 返回 结束 思思 考考 题题1)二重积分是哪一类积分?答答:第一类曲面积分的特例.2)设曲面问下列等式是否成立?不对不对!对坐标的积分与 的侧有关 目录 上页 下页 返回 结束 2.基本技巧基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:P244 题题4(3)其中 为半球面的上侧.且取下侧,原式=P244 题题4(2),P245 题题 10 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算提示提示:以半球底面为辅助面,利用目录 上页 下页 返回 结束 例例8.计算曲面积分中 是球面解解:利用对称性用重心公式