材料力学-第五章梁弯曲时的位移.ppt

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1、 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移(Displacements of Bending Beam)廖东斌廖东斌 编制编制一一.概概 述述 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移三三.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程四四.叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移五五.梁的刚度计算梁的刚度计算二二.梁的位移梁的位移挠度及转角挠度及转角能量法能量法I-I-静定结构变形计算静定结构变形计算一一.概概 述述1.1.工程实践中的弯曲变形问题工程实践中的弯曲变形问题 在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有过大，即要求构件有足够的刚度足够的刚

2、度，以保证正常，以保证正常工作。工作。在另外一些情况下，却要求构件具有较大在另外一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。的弹性变形，以满足特定的工作需要。变形过大的变形过大的不利影响不利影响（工程实例）（工程实例）摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。零件的加工精度，甚至会出现废品。摇臂钻床摇臂钻床(自重、钻头等约束力影响）自重、钻头等约束力影响）桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车则会使小车行走困难，出现爬坡现象。行走困难，出现爬坡现象。传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。传动轴的

3、支座处转角过大，轴承发生磨损。车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。缓解车辆受到的冲击和振动作用。变形的变形的有利方面有利方面（工程实例）（工程实例）求解超静定问题。求解超静定问题。二二.梁的位移梁的位移挠度及转角挠度及转角挠度挠度w：横截面形心处的铅垂位移。横截面形心处的铅垂位移。转角转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。横截面绕中性轴转过的角度。梁对称弯曲时用什么梁对称弯曲时用什么参数参数表示轴线的表示轴线的变形变形?x xy y挠度挠度w：横截面形心处的铅垂位移。横截面形心处的铅垂位移。转角转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。

4、横截面绕中性轴转过的角度。挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。变形后的轴线。工程实例工程实例控制截面的挠度、控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移控制桥墩的水平位移工程中测量挠度的方法、仪器工程中测量挠度的方法、仪器精密水准仪、全站仪、精密水准仪、全站仪、GPSGPS、机电百分表、光、机电百分表、光电方法等电方法等三三.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程1.1.挠曲线方程挠曲线方程(deflection equation)x xy y挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线方程：挠曲线方程：转角方程：转角方程：曲线曲线 w=f(x)的曲率为的曲率为梁纯弯

5、曲时曲率由几何关系得梁纯弯曲时曲率由几何关系得问题的关键：问题的关键：考虑上式中的取考虑上式中的取正正还是取还是取负？负？考虑小变形条件：考虑小变形条件：问题的关键：问题的关键：考虑上式中的取考虑上式中的取正正还是取还是取负？负？思考思考:与小挠度微分方程与小挠度微分方程 相对应的相对应的坐标系为？坐标系为？（）xxxyyy(a)(b)(c)教材中采用教材中采用（a)图图坐标系坐标系2.积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形式中式中积分常数积分常数C、D由由边界条件边界条件确定确定弯矩方程不分段时弯矩方程不分段时弯矩方程分弯矩方程分n段段时，积分常数个数为时，积分常数个数为 2n由边界条件确定的方程

6、需要由边界条件确定的方程需要2n个个方法的局限性：方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大外力复杂或多跨静定梁时计算量过大光滑连续条件：光滑连续条件：FC边界条件边界条件约束条件约束条件:两端铰处挠度为零。两端铰处挠度为零。铰支座对位移的限制铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）处挠度为零）连续光滑曲线连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）处转角、挠度唯一）边界条件边界条件固定端约束对位移的影响：固定端约束对位移的影响：B处转角、挠处转角、挠度度?连续光滑曲线连续光滑曲线边界条件边界条件例例1.已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简。试求图示简支梁在均布载荷支梁在均布载荷q

7、作用下的转角方程、挠作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定曲线方程，并确定max和和wmax。解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：最大转角和最大挠度：最大转角和最大挠度：AB（）（）转角为正时，表示其转向和由转角为正时，表示其转向和由x轴轴转向转向y y轴的时针相轴的时针相同；挠度为正时同；挠度为正时，表示其方向和表示其方向和y y轴正向相同。轴正向相同。例例2.2.已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁。试求图示悬臂梁在集中力在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定并确定maxmax和和wmax。解解：由边界条件：由边界条件：得：得：梁

8、的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：B另解另解：边界条件：边界条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：B例例3已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁。试求图示简支梁在集中力在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程，作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定并确定max和和 wmax。解：解：由边界条件由边界条件：得得：由对称条件：由对称条件：得得：思考：思考：?AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：段梁的转角方程和挠曲线方程分

9、别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：例例4.已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和wmax。(请同学课后思考请同学课后思考）四四.用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。若计算几个载荷共同作用下在某截面上若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加

10、。用下的变形，然后叠加。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。起的变形是各自独立的，互不影响。如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可截面挠度，则可直接查表直接查表：各载荷单独作用：各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（下的挠度，然后叠加（代数和代数和）。）。如果如果不能直接查表不能直接查表，则要采用分段刚化等方，则要采用分段刚化等方法化成可查表形式。法化成可查表形式。例例5.5.用叠加法求用叠加法求解：解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加P36

11、1（）（）（）逐段刚化法：逐段刚化法：变形后：变形后：ABAB BC BCC C点的位移为：点的位移为：wc c例例6.若图示梁若图示梁B端的转角端的转角B=0，求力偶矩，求力偶矩m和和P的的关系？关系？解：解：例例7.求外伸梁求外伸梁C处的位移。处的位移。LaCABP解：解：ABCP刚化EI=PCfc1BC引起的位移引起的位移c1刚化刚化AB刚化刚化BC，AB部分引起的位移部分引起的位移CABP刚化EI=fc2B2PPaB2例例8.求图示变截面梁求图示变截面梁B、C截面的挠度截面的挠度。解：解：思考思考:梁横截面为边长为梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截

12、面为直径为；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为的圆，弹性模量为E2。求求:拉杆的伸长及拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。梁中点的挠度。四、图形互乘法四、图形互乘法二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理三、单位力法三、单位力法能量法能量法I-I-静定结构变形计算静定结构变形计算一、杆件的应变能一、杆件的应变能 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能弹性应变能，简，简称称应变能应变能(又称又称变形能变形能)。一、杆件的应变能一、杆件的应变能 物体在外力作用下发生变形，物体的变形物体在外力作用下发生变形，物体

13、的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即移上所做的功，即 杆件应变能计算杆件应变能计算1 1、轴向拉伸和压缩、轴向拉伸和压缩一般地一般地2 2、扭转、扭转一般地一般地3 3、弯曲、弯曲一般地一般地纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲时剪力影响：横力弯曲时剪力影响：一般地一般地 对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨比较大（长梁）时，比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽剪切变形能影响较小，可忽略不计略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。，对短梁应考虑剪切变形的影响。长梁应变能：长梁应变能：组合变形应变能：

14、组合变形应变能：对于线弹性体，其应变能对某一荷载对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的偏的偏导数，等于该荷载的相应位移导数，等于该荷载的相应位移i。用卡氏第二定理求结构某处的位移时，用卡氏第二定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载。该处需要有与所求位移相应的荷载。如需计算某处的位移，而该处并无与位如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取移对应的荷载，则可采取附加力法附加力法。二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理卡氏第二定理应用于计算卡氏第二定理应用于计算梁梁的截面转角和挠度的截面转角和挠度计算梁截面转角计算梁截面转角计算梁的截面挠度计算梁的截面挠度例例1 1弯曲刚度为

15、弯曲刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作的悬臂梁受三角形分布荷载作用，不计剪力对变形影响。用卡氏第二定理计用，不计剪力对变形影响。用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端算悬臂梁自由端A处转角。处转角。B BA Al l解：解：A处无与转角对应的力偶，可附加力偶。处无与转角对应的力偶，可附加力偶。任意截面弯矩任意截面弯矩为为()请课后完成请课后完成A处挠度的计算处挠度的计算例例2 2图示平面折杆图示平面折杆AB与与BC垂直，在自由端垂直，在自由端C受集中受集中力力P作用。已知各段弯曲刚度均为作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为拉伸刚度为EA 。试用卡氏第二定理求截面。试用卡氏第二定理求截面C的水平

16、位移和铅的水平位移和铅垂位移。垂位移。A AC CB BPaaA AC CB BP解：解：1.计算计算C处铅垂位移处铅垂位移任意截面弯矩方程任意截面弯矩方程,轴力方程轴力方程为为()2.计算计算C处水平位移处水平位移()请同学课后完成水平位移请同学课后完成水平位移的计算的计算三、单位力法三、单位力法（单位载荷法）（单位载荷法）对于梁对于梁,弯矩应用弯矩应用完全叠加法完全叠加法表示表示应用卡氏第二定理应用卡氏第二定理应变能应变能对于梁对于梁,有有莫尔积分莫尔积分对应于对应于去掉去掉原结构中外力原结构中外力,只在只在i处处加相应单位力加相应单位力后的弯矩方程后的弯矩方程对应于对应于原结构原结构的弯

17、矩方程的弯矩方程。计算梁截面转角时计算梁截面转角时,加单位力偶矩加单位力偶矩1 计算梁截面挠度时计算梁截面挠度时,加单位集中力加单位集中力1对于组合变形时对于组合变形时,推广为推广为对于平面桁架对于平面桁架对应于对应于去掉去掉原结构中外力原结构中外力,只在只在i处处加相应单位力加相应单位力后的弯矩方程后的弯矩方程例例3.3.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为弯曲刚度为EI,受力大受力大小为小为F,计算自由端计算自由端B处挠度和转角。处挠度和转角。解：解：1.计算计算B处挠度处挠度()2.计算计算B处转角处转角()四、图形互乘法四、图形互乘法 在应用莫尔积分求在应用莫尔积分求梁梁位移时，

18、需计算下列位移时，需计算下列形式的积分：形式的积分：对于等直杆，对于等直杆，EI=const=const，可以提到积分号，可以提到积分号外，故只需计算积分外，故只需计算积分直杆直杆 图必定是直线或折线。图必定是直线或折线。图图分段面积分段面积图图形心形心图图中对应于中对应于C下纵坐标下纵坐标在在平面刚架平面刚架,组合结构组合结构时，用下列形式计算时，用下列形式计算注意注意:分段必须为分段必须为直线段直线段在取面积的图中找形心在取面积的图中找形心,另图找对应的纵坐标另图找对应的纵坐标 M分段为直线段时分段为直线段时,也可以也可以找纵坐标的图必须为找纵坐标的图必须为直线段直线段 顶点顶点顶点顶点二

19、次抛物线二次抛物线参考用图参考用图 例例4.4.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为弯曲刚度为EI,受分布受分布力集度为力集度为q,计算自由端计算自由端B处转角。处转角。解：解：1.画画M图图2.画画 图图(请同学画出请同学画出)(请同学画出请同学画出)3.图乘图乘许可挠跨比和许可转角，它们决定于构件正常许可挠跨比和许可转角，它们决定于构件正常工作时的要求。工作时的要求。五、梁的刚度计算五、梁的刚度计算刚度条件：刚度条件：例例9.图示工字钢梁，图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，w=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁。试根

20、据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷的许可载荷 P，并校核强度。，并校核强度。解：解：由刚度条件由刚度条件 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI；减小跨度或增加支承；减小跨度或增加支承；改变加载方式和支座位置。改变加载方式和支座位置。选择题练习选择题练习1 1、钢筋緾绕一大

21、圆滚筒上，关于钢筋的最大钢筋緾绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最大正应力正应力()()。、与与圆滚筒的半径无关圆滚筒的半径无关、与与圆滚筒的半径成正比圆滚筒的半径成正比、与与圆滚筒的半径近似成反比圆滚筒的半径近似成反比、与与圆滚筒的半径严格成反比圆滚筒的半径严格成反比2 2、等刚度梁发生平面平面弯曲时，挠曲线的等刚度梁发生平面平面弯曲时，挠曲线的最大曲率在最大曲率在()()处处。、转角最大转角最大、挠度最大挠度最大、剪力最大剪力最大、弯矩最大弯矩最大3 3、与小挠度微分方程与小挠度微分方程 相对应的坐相对应的坐标系为标系为 （）？xy(a)xy(b)xy(c)、(a)和和(c)(d)xy、(a)和和

22、(b)、(a)和和(d)、(c)和和(d)4 4 4 4、多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正确的为确的为确的为确的为()()()()。、弯矩方程和挠曲线方程可只分二段弯矩方程和挠曲线方程可只分二段弯矩方程和挠曲线方程可只分二段弯矩方程和挠曲线方程可只分二段 、C C处连续条件为：挠度和转角连续。处连续条件为：挠度和转角连续。处连续条件为：挠度和转角连续。处连续条件为：挠度和转角连续。、A A处边界条件为、：挠度为零，转角不为零处边界条件为、：挠度为零，转角不为零处边界条件为、：挠度为零

23、，转角不为零处边界条件为、：挠度为零，转角不为零、弯矩方程和挠曲线方程必须分三段弯矩方程和挠曲线方程必须分三段弯矩方程和挠曲线方程必须分三段弯矩方程和挠曲线方程必须分三段5 5、等截面梁纯弯曲时，关于挠曲线等截面梁纯弯曲时，关于挠曲线()()。、按二次积分法为圆弧按二次积分法为圆弧、实际为圆弧实际为圆弧、按积分法为抛物线，可见圆弧假设是近似按积分法为抛物线，可见圆弧假设是近似、以上均不对以上均不对6.不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（则自由端的挠

24、度为原来的（）。）。AB、2 2 2 2倍倍倍倍、4 4 4 4倍倍倍倍、8 8 8 8倍倍倍倍、16161616倍倍倍倍7.不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的挠度为原来的（挠度为原来的（）。）。AB、2 2倍倍、4 4倍倍、8 8倍倍、1616倍倍ABC8.弯曲刚度为弯曲刚度为EI梁，正确说法为（梁，正确说法为（）。）。、A、B、C处转角相等处转角相等、B、C处转角不相等处转角不相等、B处挠度为处挠度为C处的二倍处的二倍、B处和处和C处转角相同处转角相同9.弯曲刚度为弯曲

25、刚度为EI的梁，的梁，B处转角等于（处转角等于（）。）。、ABC10.图示力偶矩图示力偶矩 ,则梁则梁B端的转角为（端的转角为（）。）。、11.一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下，一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下，自由自由端的挠度与（端的挠度与（）。）。、梁的长度成正比梁的长度成正比、梁的长度的平方成正比梁的长度的平方成正比、梁的长度的立方成正比梁的长度的立方成正比、梁的长度的四次方成正比梁的长度的四次方成正比11.简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，刚度都相同，不计自重下，刚度都相同，不计自重下，跨中在相同的外力跨中在相同的外力作用下，二者的（作用下

26、，二者的（）不同。）不同。、最大挠度最大挠度、最大转角最大转角、约束反力约束反力、最大正应力最大正应力12.一水平梁的挠曲线方程为一水平梁的挠曲线方程为 则（则（）。）。、梁的弯矩图为圆弧部分梁的弯矩图为圆弧部分、梁的弯矩图为抛物线部分梁的弯矩图为抛物线部分、梁的弯矩图为斜直线梁的弯矩图为斜直线、以上均不对以上均不对13.13.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为弯曲刚度为EI,受力大受力大小为小为F,用图乘法计算自由端用图乘法计算自由端B处挠度和转角。处挠度和转角。14.14.已知悬臂梁长弯曲刚度为已知悬臂梁长弯曲刚度为EI,受力如图受力如图,用图乘法计算自由端用图乘法计算自由端B处挠

27、度和转角。处挠度和转角。15.15.已知悬臂梁长弯曲刚度为已知悬臂梁长弯曲刚度为EI,受力如图受力如图,用卡氏用卡氏第二定理计算自由端第二定理计算自由端B处挠度时，有（处挠度时，有（）。）。A.A.弯矩方程不分段。弯矩方程不分段。B.B.弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能要对要对 F 求导。求导。C.C.弯矩方程分二段写时，可令弯矩方程分二段写时，可令B B处的力为处的力为 ，用用卡卡氏第二定理，应变能要对氏第二定理，应变能要对 求导。求导。D.D.以上均错。以上均错。FFll16.16.已知杆拉伸刚度为已知杆拉伸刚度为EA,则应变能大小为（则应变

28、能大小为（）。）。A.A.B.B.C.C.D.D.17.17.已知杆拉伸刚度为已知杆拉伸刚度为EA,应变能大小为应变能大小为 ,则则代表的意义为（代表的意义为（)。FFll18.18.已知杆件拉伸刚度为已知杆件拉伸刚度为EA,弯曲刚度为弯曲刚度为EI,忽略忽略剪切剪切应变能，总应变能大小为（应变能，总应变能大小为（）。）。FFl19.19.已知杆件拉伸刚度为已知杆件拉伸刚度为EA,弯曲刚度为弯曲刚度为EI,设自由设自由端单独竖向力作用时位移为端单独竖向力作用时位移为f，单独水平力作用时，单独水平力作用时位移为位移为v，忽略剪切对变形影响忽略剪切对变形影响，总应变能大小为（，总应变能大小为（）。

29、）。FFlA.A.B.B.C.C.D.D.以上均错误以上均错误m2llm120.20.已知梁已知梁弯曲刚度为弯曲刚度为EI,m1 1=m2 2，设自由端单独设自由端单独力偶作用时转角为力偶作用时转角为2 2,中部单独力偶作用时，转中部单独力偶作用时，转角为角为1 1 ，则，则总应变能大小为（总应变能大小为（）。）。A.A.B.B.C.0C.0D.D.以上均错误以上均错误21.21.已知杆拉伸刚度为已知杆拉伸刚度为EA,，先作用，先作用 ，再作用，再作用 则则 做的功大小为（做的功大小为（）。）。F1F2ll本章作业本章作业习题习题习题习题5-45-45-45-4 (只求只求只求只求A A A

30、A处转角，处转角，处转角，处转角，五种五种五种五种方法方法方法方法)习题习题习题习题5-5(5-5(5-5(5-5(只求只求只求只求A A A A处挠度，叠加法和图乘法处挠度，叠加法和图乘法处挠度，叠加法和图乘法处挠度，叠加法和图乘法二种二种二种二种方法方法方法方法)习题习题习题习题5-195-195-195-19（叠加法，单位力法，图乘法叠加法，单位力法，图乘法叠加法，单位力法，图乘法叠加法，单位力法，图乘法中任选中任选中任选中任选二二二二法法法法）*习题习题习题习题5-265-265-265-26（叠加法与图乘法中任选（叠加法与图乘法中任选（叠加法与图乘法中任选（叠加法与图乘法中任选一法一法一法一法）选做选做选做选做习题习题习题习题5-45-45-45-4的的的的要求：要求：要求：要求：分别用积分法，卡氏第二定理，叠加分别用积分法，卡氏第二定理，叠加分别用积分法，卡氏第二定理，叠加分别用积分法，卡氏第二定理，叠加法，单位力法，图乘法法，单位力法，图乘法法，单位力法，图乘法法，单位力法，图乘法五种五种五种五种方法）方法）方法）方法）