26行列式按一行(列)展开 - 河西学院.ppt

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1、一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则三、小结三、小结2.6 行列式按一行（列）展开例例如如 上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。为了这个目的，我们需引进如下概念：一

2、、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式定义定义1在在 n 级行列式级行列式 中将元素中将元素 所在的所在的第第 i 行行与第与第 j 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原位置个元素按原位置次序构成一个次序构成一个 级的行列式，级的行列式，称之为元素称之为元素 的的余子式余子式,记作记作 令令称称 之为元素之为元素 的的代数余子式代数余子式注：注：行列式中每一个元素分别对应着一个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式和代数余子式无关，只与该元素的在行列式中的位置有关无关，只与该元素的在行列式中的位置有关 元素元素 的余子式和代数余子式与的余子式和代数余子式与 的大小的大小例

3、如例如引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如二二、行列式按行、行列式按行(列列)展开法则展开法则 先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理.证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而在证一般情形在证一般情形,此时此时得得得得中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有定理定理1 1 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元

4、素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即证证例例1 证证用用数学归纳法数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得例例 计算行列式计算行列式解解例例5.设设 求求 和和解：解：练习：练习：1.计算行列式计算行列式2.设设 求求答案：答案：1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结思考题思考题求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成作业 P97:15;18.