材料力学第8章-能量法.ppt
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1、第八章第八章 能量法能量法一、杆件的应变能一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理克拉贝隆原理)三、卡氏定理三、卡氏定理四、互等定理四、互等定理五、虚功原理五、虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法六、超静定问题六、超静定问题 力法力法七、冲击应力七、冲击应力1能量法/互等定理上节回顾功的互等定理功的互等定理 结构的第一力系在第二力系所引起的弹性结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功,等于第二力系在第一力系所位移上所做的功,等于第二力系在第一力系所引起的弹性位移上所做的功。引起的弹性位移上所做的功。2由功的互等定理由功的互等定理 位移互等定理位移互等
2、定理注意:注意:1.上述互等定理对于所有的上述互等定理对于所有的线性结构线性结构都适用。都适用。2.力和位移应理解为力和位移应理解为广义力广义力和和广义位移。广义位移。当当F1=F2=F 时时 (力与位移成线性关系的结构)(力与位移成线性关系的结构)能量法/互等定理上节回顾3能量法/虚功原理 单位力法 图乘法上节回顾1、可能内力,可能位移,虚位移2、虚功原理 在外力作用下处于平衡的结构,任意给它一个虚位移,则外力在虚位移上所做的虚功,等于结构内力在虚变形上所作的功。外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功4能量法/虚功原理 单位力法 图乘法上节回顾3 3 3 3、单位力法单位力法单位力法单位力法 用途
3、用途用途用途:计算任意点处位移(广义)计算任意点处位移(广义)计算任意点处位移(广义)计算任意点处位移(广义)方法方法方法方法:利用虚功原理利用虚功原理利用虚功原理利用虚功原理 第一步第一步第一步第一步 构造一构造一构造一构造一单位力单位力单位力单位力状态:状态:状态:状态:(1 1)去掉原结构全部载荷(只保留所有杆件)去掉原结构全部载荷(只保留所有杆件)去掉原结构全部载荷(只保留所有杆件)去掉原结构全部载荷(只保留所有杆件 和约束);和约束);和约束);和约束);(2 2)在所求位移处施加一个对应单位力;)在所求位移处施加一个对应单位力;)在所求位移处施加一个对应单位力;)在所求位移处施加一
4、个对应单位力;(3 3)计算结构只在此单位力作用下各)计算结构只在此单位力作用下各)计算结构只在此单位力作用下各)计算结构只在此单位力作用下各 截面的内力截面的内力截面的内力截面的内力 5能量法/虚功原理 单位力法 图乘法上节回顾 第二步第二步第二步第二步 取原结构的实际位移状态作为单位力取原结构的实际位移状态作为单位力取原结构的实际位移状态作为单位力取原结构的实际位移状态作为单位力 状态的虚位移。状态的虚位移。状态的虚位移。状态的虚位移。原问题原问题实际位移状态作为虚位移实际位移状态作为虚位移K单位力状态单位力状态1K6能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法上节回顾上
5、节回顾n nd(l),d,d 原状态,真实载荷引起原状态,真实载荷引起n n适用:线性、非线性结构。适用:线性、非线性结构。实际位移状态实际位移状态单位力状态单位力状态1K据虚功原理据虚功原理单位力引起的内力单位力引起的内力7能量法/虚功原理 单位力法 图乘法上节回顾4、Mohr积分积分85、图乘法、图乘法 莫尔积分转化为外载荷引莫尔积分转化为外载荷引起的弯矩图的面积和其形心对起的弯矩图的面积和其形心对应的单位载荷弯矩的乘积。应的单位载荷弯矩的乘积。xcxdxoxCxax+b 利用有关图形的乘法运算来计算积分的方法利用有关图形的乘法运算来计算积分的方法,称为称为图乘法图乘法或或图形互乘法图形互
6、乘法。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法上节回顾上节回顾9图乘法注意事项图乘法注意事项:1、图乘法是莫尔积分的简便计算方法、图乘法是莫尔积分的简便计算方法,因此它的适应范围和因此它的适应范围和莫尔积分类似莫尔积分类似。2、图乘法不仅仅适用于弯矩的、图乘法不仅仅适用于弯矩的Mohr积分积分,也同样适用于也同样适用于轴力和扭矩的轴力和扭矩的Mohr积分计算。积分计算。3、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不一样、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不一样,图乘法图乘法得到的代数值取负号得到的代数值取负号,反之为正反之为正。4、如果外力弯矩图不光滑,或者单位力的弯矩图是折线,则
7、、如果外力弯矩图不光滑,或者单位力的弯矩图是折线,则应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用图乘法。图乘法。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法上节回顾上节回顾10ABCqABC1C1C2+例:如图简支梁受均布载荷作用,求跨中例:如图简支梁受均布载荷作用,求跨中C点的挠度。点的挠度。解:先作出外力弯矩图。解:先作出外力弯矩图。要求跨中要求跨中C点挠度,就在点挠度,就在C点施加横向的单位集中力。点施加横向的单位集中力。然后作出单位集中力的弯矩图。然后作出单位集中力的弯矩图。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单
8、位力法单位力法 图乘法图乘法11C1C2+由于单位力弯矩图是折线,所以应该分段使用图形互乘法。由于单位力弯矩图是折线,所以应该分段使用图形互乘法。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法12ACBFaa1-2FaFa1W W3W W2W W2a5a/33a/22a/3例:求如图变截面悬臂梁自由端的挠度。例:求如图变截面悬臂梁自由端的挠度。解:解:使用图乘法:使用图乘法:作出变截面梁在外载荷作用下的弯矩图。作出变截面梁在外载荷作用下的弯矩图。由于要计算自由端的挠度,应用单位力法,在梁的自由由于要计算自由端的挠度,应用单位力法,在梁的自由端施加横向的单位集中力。端施加横向的单
9、位集中力。作出梁施加单位力时的弯矩图。作出梁施加单位力时的弯矩图。能量法/虚功原理 单位力法 图乘法13ACBFaa1-2FaFa1W W3W W2W W2a5a/33a/22a/3由于是变截面梁,由于是变截面梁,AC段和段和BC段弯曲刚度不一样,要分段应用图段弯曲刚度不一样,要分段应用图乘法。乘法。又因为又因为AC的外力弯矩图为梯形,可以把它分解为三角形和矩形的外力弯矩图为梯形,可以把它分解为三角形和矩形的叠加,分别应用图形互乘法,所以弯矩图分为三部分:的叠加,分别应用图形互乘法,所以弯矩图分为三部分:能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法14根据图乘法,自由端的挠度
10、为:根据图乘法,自由端的挠度为:ACBFaa1-2FaFa1W W3W W2W W2a5a/33a/22a/3能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法15ABCaaq1aa2a/33a/41112/3qa2/2例例 如图所示平面直角刚架,其弯曲刚度如图所示平面直角刚架,其弯曲刚度EI为常数。试求截面为常数。试求截面C的挠度和转角。的挠度和转角。解:应用图形互乘法,首先作出外力弯矩图。解:应用图形互乘法,首先作出外力弯矩图。为求为求C截面转角,在截面转角,在C截面施加单位力偶。作出截面施加单位力偶。作出单位力偶的弯矩图。单位力偶的弯矩图。为求为求C截面挠度,在截面挠度,在C
11、截面施加单位力。作出截面施加单位力。作出单位力偶的弯矩图。单位力偶的弯矩图。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法16ABCaaq1aa2a/33a/41112/3qa2/2形心对应的单位力弯矩分别如图所示。形心对应的单位力弯矩分别如图所示。则有:则有:挠度为负值表示与单位集中力作用方向相反。挠度为负值表示与单位集中力作用方向相反。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法17第八章第八章 能量法能量法六、超静定问题六、超静定问题 力法力法18能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法1 1、超静定结构、超静定结构 静不定次数静不定次数 静定基静定
12、基。一个结构一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定力平衡条件唯一确定,就称为就称为静定结构静定结构。一个结构一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定静力平衡条件唯一确定,就称为就称为超静定结构超静定结构(内力超静定内力超静定,外力超静定外力超静定)。超静定次数超静定次数超静定结构中多余约束的个数。超静定结构中多余约束的个数。静定基静定基去除多余约束后得到的静定结构。去除多余约束后得到的静定结构。192、超静定结构变形的一般求解方法能量法/超静定问题 力法(
13、2)建立静定基的静力建立静定基的静力平衡方程平衡方程;(3)由解除约束处变形协调条件建立由解除约束处变形协调条件建立几何方程几何方程;(3)应用变形与内力之间的物理关系代入应用变形与内力之间的物理关系代入 几何方程,得到几何方程,得到补充方程补充方程;(4)补充方程与静力平衡方程联立,求解所有的未知补充方程与静力平衡方程联立,求解所有的未知 反力。反力。(1)解除多余约束,得静定基,在解除约束处用解除多余约束,得静定基,在解除约束处用 未知反力代替原约束的作用;未知反力代替原约束的作用;203 3、力法正则方程、力法正则方程 求解思路和前面求解超静定结构变形的方法类似求解思路和前面求解超静定结
14、构变形的方法类似,只是在求解静定基的变形时使用单位力法和图形互乘只是在求解静定基的变形时使用单位力法和图形互乘法。法。求解过程求解过程(1).(1).判定超静定次数判定超静定次数(2).(2).解除多余约束解除多余约束,构造静定基构造静定基(3).(3).由单位力法和图形互乘法求解静定基的变形由单位力法和图形互乘法求解静定基的变形(4).(4).补充变形协调方程求解多余约束力补充变形协调方程求解多余约束力能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法21ABFCABFX1ABFX1例例 如图超静定梁如图超静定梁,EI为常数为常数,试求试求B点的约束反力。点的约束反力。解解:(1)(1)判断超静定
15、次数判断超静定次数:一次超静定一次超静定!(2)(2)解除多余约束解除多余约束,构造静定基构造静定基:B.B.解除解除B B点的可动铰支座点的可动铰支座,补充横向集中反力补充横向集中反力A.A.解除解除A A点固定端的转动约束变为固定铰支座点固定端的转动约束变为固定铰支座,补充反力偶作用补充反力偶作用采用方案采用方案B B。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法22ABFX1+-cABFC(3)(3)用单位力法求解静定基的变形用单位力法求解静定基的变形由于要在由于要在B B出建立几何协调方程出建立几何协调方程,所以所以需求需求B B点的横向挠度点的横向挠度,故在故在B B点施加横点施加横
16、向单位力向单位力(假设与支反力方向相同假设与支反力方向相同)外载荷外载荷=力力F+F+支座反力支座反力X X1 1单位力单位力(与支座反力与支座反力X X1 1方向相同方向相同,大小为大小为1)1)图形互乘法图形互乘法作弯矩图作弯矩图:由于单位力和支座反力方向相同由于单位力和支座反力方向相同,同为集中同为集中力力,所以弯矩图相似所以弯矩图相似,仅仅数值相差仅仅数值相差X X1 1倍。倍。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法23ABFX1+-cABFC(4)(4)由图乘法建立变形协调方程由图乘法建立变形协调方程单位力和外力单位力和外力F F互乘的结果互乘的结果单位力和支反力力单位力和支反
17、力力X X1 1互乘的结果互乘的结果由于支反力和单位力的弯矩由于支反力和单位力的弯矩(内力内力)图类似图类似,上式可写为上式可写为:其中其中:是单位力和自身互是单位力和自身互乘的结果乘的结果这种以未知力为对象的求解方法称为这种以未知力为对象的求解方法称为力法力法。上式就称为求解超静定问题的上式就称为求解超静定问题的力法正则方程力法正则方程。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法24ABFX1+-cABFC由图形互乘法由图形互乘法:代入代入:得得:对于多次超静定问题有对于多次超静定问题有:能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法25DABCF231aa例:简支梁例:简支梁AB,AB,其
18、跨中作用有横力其跨中作用有横力F,F,因刚度不足因刚度不足,用三根杆加强。用三根杆加强。已知梁的弯曲刚度为已知梁的弯曲刚度为EI,EI,各杆(各杆(1 1,2 2,3 3)的拉压刚度为)的拉压刚度为EA,EA,且且I=AaI=Aa2 2/10/10,求跨中,求跨中C C截面的挠度。截面的挠度。解解:(:(1 1)判断超静定次数。)判断超静定次数。在静定结构的基础上加入三根杆,多加了三个未知内力,由在静定结构的基础上加入三根杆,多加了三个未知内力,由D D点的平衡可得到两个附加平衡方程,所以本问题是一次超静定点的平衡可得到两个附加平衡方程,所以本问题是一次超静定问题。问题。这类超静定是由多余维持
19、平衡所必需的杆件引起的,称为这类超静定是由多余维持平衡所必需的杆件引起的,称为内力内力超静定问题超静定问题。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法26DABCF231aaABCFX1=1Daa(2 2)解除多余杆件约束(断开杆件),得到静定基。)解除多余杆件约束(断开杆件),得到静定基。比如截开比如截开杆件杆件1 1。截开多余杆件是求解内力超静定问题的一般方法。截开多余杆件是求解内力超静定问题的一般方法。变形协调条件是被截开杆件的两个断面的相对位移为零。变形协调条件是被截开杆件的两个断面的相对位移为零。杆件截开后,在杆件截开后,在两个两个断面分别方向相反的单位力。以此为基础应断面分别方向
20、相反的单位力。以此为基础应用单位力法得到的与之对应的位移是两截面的相对位移。用单位力法得到的与之对应的位移是两截面的相对位移。如图,截开杆一,在被截开的两个断面上分别施加单位轴力。如图,截开杆一,在被截开的两个断面上分别施加单位轴力。思考:为什么只需要施加单位轴力?而不需要施加单位剪力和思考:为什么只需要施加单位轴力?而不需要施加单位剪力和单位弯矩。单位弯矩。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法27DABCF231aaABCFX1=1Daa(3 3)由图形互乘法建立几何协调方程求解杆件内力(力法正则)由图形互乘法建立几何协调方程求解杆件内力(力法正则方程)。方程)。物理意义:两断面轴向
21、相对位移为零。物理意义:两断面轴向相对位移为零。由于变形几何协调条件设计轴向变形,所以要考虑杆件由于变形几何协调条件设计轴向变形,所以要考虑杆件1 1,2 2,3 3轴力的贡献。这儿假设忽略轴力的贡献。这儿假设忽略ABAB杆件的轴向变形。杆件的轴向变形。分别作外力分别作外力F和单位力的弯矩图:和单位力的弯矩图:+-能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法28同时考虑同时考虑1 1,2 2,3 3杆的轴力和杆的轴力和ABAB梁的弯矩有:梁的弯矩有:静定基上仅作用有单位力时有:静定基上仅作用有单位力时有:静定基上仅作用有力静定基上仅作用有力F F时:时:又:又:所以有:所以有:能量法能量法/超
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- 材料力学 能量
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