chp1.6行列式按行列展开.ppt

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1、一般说来一般说来,低阶行列式的计算比高阶低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便行列式的计算要简便,于是于是,我们自我们自然地考虑把高阶行列式表示成低阶然地考虑把高阶行列式表示成低阶行列式的问题行列式的问题.下面介绍行列式的另下面介绍行列式的另一重要性质一重要性质,即行列式按行即行列式按行(列列)展开展开的法则就解决了这一问题的法则就解决了这一问题.为此为此,先先引入余子式和代数余子式的概念引入余子式和代数余子式的概念.1.6 行列式按某行行列式按某行(列列)展开定理展开定理例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式记：记：称为元素称为元素a11的的余子式余子式，为三阶行列，为三阶行

2、列式式划去第一行第一列元素划去第一行第一列元素后剩下的后剩下的二阶行列式。二阶行列式。称为元素的称为元素的a13的的余子式余子式，为三阶行列，为三阶行列式式划去第一行第三列元素划去第一行第三列元素后剩下的二后剩下的二阶行列式。阶行列式。称为元素称为元素a12的的余子式余子式，为三阶行列，为三阶行列式式划去第一行第二列元素划去第一行第二列元素后剩下的后剩下的二阶行列式。二阶行列式。因此因此记：记：因此，因此，从上式可以看出，从上式可以看出，三阶行列式三阶行列式等于等于第一行的第一行的所有所有元素元素分别乘上分别乘上它们它们相应的代数余子式相应的代数余子式的的和和。称为元素称为元素a11的代数余子

3、式。的代数余子式。称为元素称为元素a12的代数余子式。的代数余子式。称为元素的称为元素的a13的代数余子式。的代数余子式。三阶行列式的所有元素均存在余子式和代数三阶行列式的所有元素均存在余子式和代数余子式。行列式中余子式。行列式中去掉第去掉第 i i 行第行第 j j 列列剩下元剩下元素按素按原来次序原来次序组成的组成的2 2阶行列式记为阶行列式记为 M Mij ij 称为称为 元素元素a aijij的的余子式余子式.而而 A Aijij =(=(1)1)i i+j j M Mijij 称为称为a aijij的的代数余子代数余子式式。并并且且，行列式，行列式均等于某行或某列的所有元素均等于某行

4、或某列的所有元素乘上其对应的代数余子式的和：乘上其对应的代数余子式的和：按第按第i行展开行展开(i=1,2,3)按第按第j列展开列展开(j=1,2,3)例例 计算三阶行列式计算三阶行列式解解：D还可看出还可看出+0=84 12=72=D,+36=24+60=72=D,+84=12 24=72=D.以及以及例例 计算行列式计算行列式解解按第二行展开，得按第二行展开，得注：注：如果行列式某行或某列如果行列式某行或某列元素只有一个非元素只有一个非0，其余元素，其余元素均为均为0，则行列式等于该元素，则行列式等于该元素乘以相应的代数余子式。乘以相应的代数余子式。例如例如记记 A Aijij =(=(1

5、)1)i i+j j M Mijij 称为称为a aijij的的代数余子式代数余子式。定义：定义：在在n n阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素a aijij所在的第所在的第i i行行和第和第j j列划去后，留下来的列划去后，留下来的n n -1-1阶行列式叫做元阶行列式叫做元素素a aijij的的余子式余子式，记作，记作M Mijij(1)(1)行列式的每个元素分别对应着一个余子式行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式和一个代数余子式.(2)(2)行列式行列式D D的元素的元素a aijij的余子式的余子式M Mijij或代数余子或代数余子式式A Aijij与与D D的第的第i

6、 i行元素和第行元素和第j j列元素没有关系列元素没有关系,特别与元素特别与元素a aijij的大小和符号均无关的大小和符号均无关.注意：注意：定理定理(展开定理展开定理)行列式行列式D D等于它的任意一行等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和之和.可以可以根据行列式的特点，利用行列根据行列式的特点，利用行列式式性质性质5把把某行某行（列列）化成）化成只含一个非只含一个非零元素零元素，然后按该行（列）展开。处，然后按该行（列）展开。处理的过程中尽量选取含理的过程中尽量选取含0比较多的行比较多的行(或列或列)或比较好处理的行或比较好处

7、理的行(或列或列)。展开。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。高的数字行列式本法有效。(降阶法降阶法)性质性质5：把行列式把行列式的的某一列某一列（行）的（行）的各元素各元素乘乘以同一数以同一数然后加到然后加到另一列另一列(行行)对应的元对应的元素上去，素上去，行列式值行列式值不变不变例例.计算计算解法解法1：(直接展开直接展开)从第一行展开得从第一行展开得=3(3+0+15 20+3+0)(15 24 3+4 15+18)(0+40 1 0+25+6)2(0 30+1 0 25 6)=15+5 70+120=40.注：注：化为三阶行列式

8、之后，可以用化为三阶行列式之后，可以用对角对角线法则线法则，或运用行列式的性质或运用行列式的性质化为三化为三角行列式角行列式，也可以再次运用展开式定也可以再次运用展开式定理把三阶行列式理把三阶行列式降阶为二阶行列式降阶为二阶行列式再再计算。计算。解法解法2：(先先利用行列式的性质把某行或某列化利用行列式的性质把某行或某列化为只含一个非为只含一个非0元素后再用展开式定理元素后再用展开式定理)处理第三处理第三行得行得该行为该行为零元素零元素最多的最多的行行=40.注：可以再次运用注：可以再次运用展开式以达到降阶展开式以达到降阶的目的。的目的。注：该存在公因子注：该存在公因子4，提，提取出来以达到简

9、化计算的取出来以达到简化计算的目的。目的。例例 计算计算n阶行列式阶行列式解解 将行列式按第一行展开，得将行列式按第一行展开，得例证明范德蒙(Vandermonde)行列式(1)证用数学归纳法.法国数学家1735-1796 当时(1)式成立.假设(1)式对于时成立,则计算高阶行列式数学归纳法是常用的方法注：范德蒙(Vandermonde)行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证 把行列式把行列式D=|aij|按第按第j行展开，有行展开，有把把ajk换成换成aik(k=1,n),可得可得当当ij时，时，同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结