7.4均值不等式.ppt

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1、柯桥中学高三数学组柯桥中学高三数学组 何利民何利民第七编 不等式7.3 7.3 均值不等式均值不等式均值不等式均值不等式调和平调和平均数均数几何平几何平均数均数算术平算术平均数均数平方平平方平均数均数注：当且仅当注：当且仅当a=b 时，等号成立。时，等号成立。利用均值不等式求最值问题利用均值不等式求最值问题 已知已知x0,y0,则则(1)如果积如果积xy是定值是定值p，那么当且仅当，那么当且仅当_时，时，x+y 有最有最_值是值是_.（简记：积定和最小）（简记：积定和最小）(2)如果和如果和x+y是定值是定值p,那么当且仅当那么当且仅当_时时,xy有最有最 _值是值是_.（简记：和定积最大）（

2、简记：和定积最大）x x=y y小小x x=y y大大基础自测基础自测1.下列结论中不正确的是下列结论中不正确的是 （）A.B.C.a2+b22ab D.B2.已知向量已知向量a=(x-1,1),b=则则|a+b|的最小值是的最小值是 A.1 B.C.D.2B3.当当x1时，关于函数时，关于函数 下列叙述正确下列叙述正确 的是的是 （）A.函数函数f(x)有最小值有最小值2 B.函数函数f(x)有最大值有最大值2 C.函数函数f(x)有最小值有最小值3 D.函数函数f(x)有最大值有最大值3CC5.若若0 x0,y0,z0.求证：求证：题型分类题型分类 深度剖析深度剖析你能说出等号成立的条件吗

3、？你能说出等号成立的条件吗？利用均值不等式证明不等式是综合法证明利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 （1 1）证明：）证明：a4+b4+c4+d44abcd;(2)(2)已知已知a0,b0,a+b=1,求证求证:题型二题型二 利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值【例例2】求下列各题的最值求下列各题的最

4、值.（1）已知）已知x0,y0,lg x+lg y=1,求求 的最小值；的最小值；（2）x0,求求 的最小值；的最小值；（3）x0,y0，且，且 求求x+y 的最小值；的最小值；（2）已知）已知x0,0,且且a aR R),),当且仅当当且仅当a a=1=1时时“=”成立成立.(2)(2)(a a0,0,b b 0,0,a a,b bR R),),当且仅当当且仅当a a=b b时时 “=”成立成立.3.3.二次配方：二次配方：a a 0,0,a aR R,应用不等式应用不等式 可解可解 决部分分式不等式的最值问题决部分分式不等式的最值问题.比如：当比如：当x x22时，时，使用均值不等式求最值

5、使用均值不等式求最值,其失误的真正原因是其存在其失误的真正原因是其存在 前提前提“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的忽视的忽视.要利用基本不要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可等式求最值，这三个条件缺一不可.失误与防范失误与防范(1)(1)确保确保“一正一正”.对于负数，很多不等关系就不一定对于负数，很多不等关系就不一定成立成立.如：当如：当x x000时，时，y y2,2,x x000，b b0,0,若若 是是3 3a a与与3 3b b的的 等比中项，则等比中项，则 的最小值为的最小值为 （）A.8 B.4 C.1 D.A.8 B.4 C.1 D.解析解析 由题意知由题意知3

6、3a a3 3b b=3,=3,即即3 3a a+b b=3=3，所以，所以a a+b b=1.=1.因为因为a a0,0,b b0,0,当且仅当当且仅当a a=b b时，等号成立时，等号成立.B3.3.已知已知x x00，y y00，lglg 2 2x x+lg+lg 8 8y y=lglg 2,2,则则 的最的最 小值是小值是 （）A.2 B.C.4 D.A.2 B.C.4 D.解析解析 由由lglg 2 2x x+lg+lg 8 8y y=lglg 2,2,得得lglg 2 2x x+3+3y y=lglg 2,2,x x+3+3y y=1,=1,C4.4.已知已知 （a a2),(2)

7、,(x x0),n n B.B.m m 则则 的最小值为的最小值为 ()()A.-3 B.2 C.5 D.7 A.-3 B.2 C.5 D.7 解析解析 D6.6.函数函数 x x(0,3)(0,3)，则，则 （）A.A.f f(x x)有最大值有最大值 B.B.f f(x x)有最小值有最小值-1-1 C.C.f f(x x)有最大值有最大值1 1 D.D.f f(x x)有最小值有最小值1 1 解析解析 x x(0,3),(0,3),x x-1(-1,2),-1(-1,2),(x x-1)-1)2 200，4)4)，当且仅当当且仅当 且且x x(0,3),(0,3),即即x x=2=2时取

8、等号，时取等号，当当x x=2=2时，函数时，函数f f(x x)有最小值有最小值1.1.D二、填空题二、填空题7.7.若正数若正数a a、b b满足满足 则则a a+b b的最小值为的最小值为_._.解析解析8.8.函数函数y y=a ax x-1-1(a a0,0,且且a a1)1)的图象恒过定点的图象恒过定点A A,若点若点 A A在一次函数在一次函数y y=mxmx+n n的图象上，其中的图象上，其中m m,n n0,0,则则 的最小值为的最小值为_._.解析解析 由题知由题知A A（1 1，1 1），），m m+n n=1=1，m m,n n0.0.4 49.9.若实数若实数a a,

9、b b满足满足abab-4-4a a-b b+1=0(+1=0(a a1)1)，则，则(a a+1)(+1)(b b+2)+2)的最小值为的最小值为_._.解析解析 abab-4-4a a-b b+1=0,+1=0,abab=4=4a a+b b-1,-1,(a a+1)(+1)(b b+2)=+2)=abab+2+2a a+b b+2=6+2=6a a+2+2b b+1+1 a a1,1,a a-10.-10.当且仅当当且仅当(a a-1)-1)2 2=1,=1,即即a a=2=2时成立时成立.最小值为最小值为27.27.答案答案 2727三、解答题三、解答题 10.(1)10.(1)求函数

10、求函数y y=x x(a a-2-2x x)()(x x00，a a为大于为大于2 2x x的常数的常数)的的 最大值；最大值；(2)(2)设设x x-1,-1,求函数求函数 的最值的最值.解解 （1 1）x x0,0,a a22x x,当且仅当当且仅当 时取等号，故函数的最大值为时取等号，故函数的最大值为 （2 2）x x-1,-1,x x+10.+10.设设x x+1=+1=z z0,0,则则x x=z z-1-1当且仅当当且仅当z z=2,=2,即即x x=1=1时上式取等号时上式取等号.x x=1=1时时,函数函数y y有最小值有最小值9,9,无最大值无最大值.11.(1)11.(1)

11、已知已知a a0,0,b b0,0,c c00且且a a+b b+c c=1.=1.求证求证:（2 2）已知）已知a a0,0,b b0,0,求证：求证：证明证明 （1 1）a a+b b+c c=1,=1,=3+2+2+2=9.=3+2+2+2=9.等号成立的条件是等号成立的条件是a a=b b=c c,故故 （2 2）方法一方法一 方法二方法二 a a0,0,b b0,0,由不等式的性质由不等式的性质+得得12.12.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销对生产的羊皮手套进行促销.在在1 1年内年内,据测算年销售据测算年

12、销售 量量S S（万双）与广告费（万双）与广告费x x（万元）之间的函数关系为（万元）之间的函数关系为 (x x00),),已知羊皮手套的固定投入为已知羊皮手套的固定投入为3 3万元万元,每生产每生产1 1万元羊皮手套仍需再投入万元羊皮手套仍需再投入1616万元万元.（年销售（年销售 收入收入=年生产成本的年生产成本的150%+150%+年广告费的年广告费的50%50%）(1)(1)试将羊皮手套的年利润试将羊皮手套的年利润L L（万元）表示为年广告（万元）表示为年广告 费费x x(万元万元)的函数；的函数；(2)(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利当年广告费投入为多少万元时，此公司的

13、年利 润最大润最大,最大利润为多少？（年利润最大利润为多少？（年利润=年销售收入年销售收入-年广告费）年广告费）解解 (1)(1)由题意知由题意知,羊皮手套的年成本为羊皮手套的年成本为(16(16S S+3)+3)万元万元,年销售收入为（年销售收入为（1616S S+3+3）150%+150%+x x50%50%，年利润年利润L L=（1616S S+3+3）150%+150%+x x50%-50%-（1616S S+3+3）-x x，当且仅当当且仅当 即即x x=4=4时，时，L L有最大值为有最大值为21.521.5，因此，当年广告费投入为因此，当年广告费投入为4 4万元时，此公司的年利润万元时，此公司的年利润 最大，最大利润为最大，最大利润为21.521.5万元万元.返回返回