概率论第五章2.ppt

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1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率统计课程组概率论与数理统计概率论与数理统计5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理定理定理1 1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列设随机变量序列相互相互独立，服从同一分布，且有期望和方差：独立，服从同一分布，且有期望和方差：则对于任意实数则对于任意实数 x,注：注：则则 Y n 为为的标准化随机变量的标准化随机变量.即即 n 足够大时，足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数随机变量的分布函数记记近似近似近似服从近似服从定理定理2 2 李雅普诺夫李雅普诺夫(LiapunovLiap

2、unov)定理定理 设随机变量序列设随机变量序列相互相互独立，且有有限的期望和方差：独立，且有有限的期望和方差：记记若若则对于任意实数则对于任意实数 x,定理定理3 3 德莫佛德莫佛 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-LaplaceDeMoivre-Laplace ）设设 Y n B(n,p),0 p 1,n=1,2,则对任一实数则对任一实数 x，有有即对任意的即对任意的 a b,Y n N(np,np(1-p)(近似近似)正态分布的概率密度的图形正态分布的概率密度的图形xmm+sm-s 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0

3、-10-1分布的随机变量之和分布的随机变量之和,下面是当下面是当x x-B B(20,0.5)(20,0.5)时时,x x的概率分布图的概率分布图 普阿松分布相当于二项分布中普阿松分布相当于二项分布中p p很小很小n n很大的分很大的分布布,因此因此,参数参数l l=npnp当很大时也相当于当很大时也相当于n n特别大特别大,这个时候普阿松分布也近似服从正态分布这个时候普阿松分布也近似服从正态分布,下面是下面是l l=30=30时的普阿松概率分布图时的普阿松概率分布图.例例1 设有一大批种子，其中良种占设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计试估计 在任选的在任选的6000粒种子中，良种所占比

4、例与粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过比较上下不超过1%的概率的概率.解解 设设 X 表示表示6000粒种子中的良种数粒种子中的良种数,则则X B(6000,1/6)近似比较几个近似计算的结果比较几个近似计算的结果用中心极限定理用中心极限定理用二项分布用二项分布(精确结果精确结果)用用Poisson 分布分布用用Chebyshev 不等式不等式例例2 某车间有某车间有200台车床，每台独立工作，开工台车床，每台独立工作，开工 率为率为0.6.开工时每台耗电量为开工时每台耗电量为 r 千瓦千瓦.问供问供 电所至少要供给这个车间多少电力电所至少要供给这个车间多少电力,才能以才能以 99

5、.9%的概率保证这个车间不会因供电不足的概率保证这个车间不会因供电不足 而影响生产？而影响生产？解解 设至少要供给这个车间设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力千瓦的电力设设 X 为为200 台车床的开工数台车床的开工数.X B(200,0.6),问题转化为求问题转化为求 a,使使X N(120,48)(近似近似)由于将由于将 X 近似地看成正态分布，故近似地看成正态分布，故反查标准正态函数分布表，得反查标准正态函数分布表，得令令解得解得(千瓦千瓦)例例3 检查员逐个地检查某种产品检查员逐个地检查某种产品,每检查一只每检查一只 产品需要用产品需要用10秒钟秒钟.但有的产品需重复检但有的产品需重复

6、检 查一次，再用去查一次，再用去10秒钟秒钟.假设产品需要重假设产品需要重 复检查的概率为复检查的概率为 0.5,求检验员在求检验员在 8 小时内小时内 检查的产品多于检查的产品多于1900个的概率个的概率.解解 检验员在检验员在 8 小时内检查的产品多于小时内检查的产品多于1900个个 即检查即检查1900个产品所用的时间小于个产品所用的时间小于 8 小时小时.设设 X 为检查为检查1900 个产品所用的时间个产品所用的时间(单位：单位：秒秒)设设 Xk 为检查第为检查第 k 个产品所用的时间个产品所用的时间(单位：秒单位：秒),k=1,2,1900 XkP 10 200.5 0.5相互独立

7、相互独立,且同分布且同分布,解法二解法二 1900个产品中需重复检查的个数个产品中需重复检查的个数例例5 售报员在报摊上卖报售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在已知每个过路人在报摊上买报的概率为报摊上买报的概率为1/3.令令X 是出售了是出售了100份份报时过路人的数目，求报时过路人的数目，求 P(280 X 320).解解 令令Xi 为售出了第为售出了第 i 1 份报纸后到售出第份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数份报纸时的过路人数,i=1,2,100(几何分布几何分布)相互独立,中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在实际问题中，若某随机变量可以看在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相

8、互独立的大量随机变量综合作用作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分都很微小，则综合作用的结果服从正态分布布.练习2(2001年数学四考研试题十一题)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.(2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数)练习1(2002年数学四考研试题)设随机变量 相互独立，则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，近似服从正态分布，只要 ().(A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差(C)服从同一指数分布 (D)服从同一离散型分布 作业作业*补充：设某农贸市场某种商品每日的价格的变化补充：设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是均值为是均值为0，方差为，方差为 2=2的随机变量，即的随机变量，即其中其中Yn是第是第n天该商品的价格。如果今天的价格为天该商品的价格。如果今天的价格为100，求，求18天后该商品的价格在天后该商品的价格在96与与104之间的概之间的概率。率。