【数学】3.2.1 实际问题中导数的意义 课件(北师大版选修2-2).ppt

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1、 第三章 导数应用3.2.1 实际问题中导数的意义 导数来源于生活，服务于生活。导数来源于生活，服务于生活。实际生活中，有许多词语与导数有实际生活中，有许多词语与导数有关。如物理上的功率，线速度，加关。如物理上的功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降水强速度，还有生活中常听说的降水强度、边际成本等。这节课，我们就度、边际成本等。这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的含义。来研究一下实际问题中导数的含义。一复习引入：一复习引入：例例1、如图所示，某人拉动一个物体前进，、如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功他所做的功W（单位：（单位：J）是时间）是时间t（单（单位：位：s）的函数，设这

2、个函数可以表示为）的函数，设这个函数可以表示为W=W(t)=(1)求求t从从1s变到变到3s时，功时，功W关于时关于时间间t的平均变化率，并解释它的实际意义的平均变化率，并解释它的实际意义(2)求求W(1),W(2),并解释它们的实并解释它们的实际意义际意义二新课探析二新课探析1、功与功率、功与功率分析：分析：求功求功W关于时间关于时间t的的平均变化率平均变化率=所以需要找出自变量所以需要找出自变量t的变化量（从的变化量（从1s变到变到3s），函数值），函数值W的变化量（的变化量（W(1)到到W(3)），导数），导数W(t)表示在表示在t时刻的瞬时时刻的瞬时变化率变化率解：（解：（1）当）当t

3、从从1s变到变到3s时，功时，功W从从W(1)=11j变到变到W(3)=21j此时功此时功W关于时间关于时间t的平均变化率为的平均变化率为它表示它表示t从从1s变到变到3s这段时间，这这段时间，这个人平均每秒做功个人平均每秒做功5j。(2)W(t)=W(1)=7j/s,W(2)=4j/sW(1),W(2)分别表示分别表示t=1s和和t=2s时，时，这个人每秒做的功为这个人每秒做的功为7j和和4j在物理学中，通常称在物理学中，通常称力在单位时间力在单位时间内做的功叫做功率内做的功叫做功率，它的单位是，它的单位是瓦特瓦特。在气象部门发布的天气预报中，在气象部门发布的天气预报中，我们经常听到小雨、中

4、雨、暴雨等我们经常听到小雨、中雨、暴雨等专业术语，如何反映和区别它呢？专业术语，如何反映和区别它呢？在气象学中，通常把在气象学中，通常把单位时间单位时间内的降水量称为降水强度内的降水量称为降水强度。常用的。常用的单位是单位是毫米天、毫米小时毫米天、毫米小时。2、降雨强度：、降雨强度：小雨小雨是指是指24小时内降水量不超过小时内降水量不超过10毫米的雨；毫米的雨；小到中雨小到中雨是指是指24小时内降水量为小时内降水量为5毫米毫米18毫米；毫米；中雨中雨是指是指24小时内降水量为小时内降水量为10毫米毫米25毫米；毫米；中到大雨中到大雨是指是指24小时内降水量为小时内降水量为18毫米毫米38毫米毫

5、米大雨大雨是指是指24小时内降水量为小时内降水量为25毫米毫米50毫米；毫米；大到暴雨大到暴雨是指是指24小时内降水量为小时内降水量为38毫米毫米75毫米毫米 暴雨暴雨是指是指24小时内降水量超过小时内降水量超过50毫米；毫米；大暴雨大暴雨是指是指24小时内降水量超过小时内降水量超过100毫米；毫米；特大暴雨特大暴雨是指是指24小时内降雨量超过小时内降雨量超过200毫米；毫米；例例2、（降雨强度）（降雨强度）下表为一次降雨过程中一段时间内下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：记录下的降雨量的数据：时间时间时间时间t/mint/min0 0101020203030404050506

6、060降雨量降雨量降雨量降雨量y/mmy/mm0 0101014141717202022222424显然，降雨量显然，降雨量y是时间是时间t的函数，用的函数，用y=f(t)表示。表示。(1)分别计算当分别计算当t从从0变到变到10，从，从50变到变到60时，降雨量时，降雨量y关于时间关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；们的实际意义；(2)假设得到降雨量假设得到降雨量y关于时间关于时间t的函数的近似表达式为的函数的近似表达式为f(t)=，求，求并解释它的实际意义。并解释它的实际意义。解解 （1 1）当）当t t从从0 0变到变到10

7、10时，降雨量时，降雨量y y从从0 0变到变到1010，此时，此时，降雨量降雨量y y关于时间关于时间t t的平均变化率为的平均变化率为它表示从它表示从0min到到10min这段时间内，平均每分降雨量为这段时间内，平均每分降雨量为1mm.当当t从从50变到变到60时，降雨量时，降雨量y从从22变到变到24，此时，降雨量，此时，降雨量y关于时间关于时间t的平均变化率为的平均变化率为它表示从它表示从50min到到60min这段时间内，平均每分降雨这段时间内，平均每分降雨量为量为0.2mm.1 10.20.2，说明这次降雨过程中，刚开始的，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min10 min比以后

8、比以后10 min10 min的雨下的大的雨下的大.在气象学中，通常把在单位时间（如在气象学中，通常把在单位时间（如1 1时、时、1 1天等）天等）内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标一个重要指标.因此用气象学的知识解释，因此用气象学的知识解释，0 010 min10 min这段时间的平均降雨强度是这段时间的平均降雨强度是1 mm/min1 mm/min，而，而505060 min60 min这段时间的平均降雨强度为这段时间的平均降雨强度为0.2 mm/min.0.2 mm/min.（2）首先求导函数，根据导数公式可得）首先求

9、导函数，根据导数公式可得将将t=40代入可得代入可得它表示的是它表示的是t=40min时降雨量时降雨量y关于时间关于时间t的瞬时的瞬时变化率，即降雨强度变化率，即降雨强度.实际意义就是说实际意义就是说t=40min这个时刻的降雨强度这个时刻的降雨强度为为0.25mm/min.3.边际边际例例3、（边际成本）（边际成本）建造一幢面积为建造一幢面积为xm2的房屋需要成本的房屋需要成本y万元，万元，y是是x的函数：的函数：（1）当）当x从从100变到变到120时，建筑成本时，建筑成本y关于建筑面积关于建筑面积x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？（2）求）求并解释它的实际意义。并解释它的实际意义。具体详解请同学们自学教材5分钟，之后我们来看几个练习题.实际问题中导数的意义：实际问题中导数的意义：（1）明确实际问题中的函数）明确实际问题中的函数,自变量以及变自变量以及变化率；化率；（2）建立导数数学模型。）建立导数数学模型。（3）结合实际，明确在实际问题中导数的含）结合实际，明确在实际问题中导数的含义义以及需要用导数概念来理解的量。以及需要用导数概念来理解的量。请同学们仔细思考，结合实际问题讨论请同学们仔细思考，结合实际问题讨论交流交流导数的实际含义。导数的实际含义。思考总结：思考总结：