数学教学典型案例分析.ppt

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1、数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析西华师范大学数学与信息学院西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌杨孝斌 孔子曰：知之者孔子曰：知之者不如好知者，好知不如好知者，好知者不如乐知者者不如乐知者.如何培养学生的数学学习兴趣如何培养学生的数学学习兴趣？数学教学案例分析之一数学教学案例分析之一 “糖水浓度与数学发现糖水浓度与数学发现”系列活动系列活动课课 道道 具：一缸清水具：一缸清水 一罐白糖一罐白糖 大大小小的玻璃杯若干个大大小小的玻璃杯若干个大家都知道：大家都知道：活动课之一活动课之一等比定理的发现等比定理的发现分成三小杯分成三小杯请问：三小杯糖水的浓度有何关系？请问：三小杯糖水的浓度有何关系

2、？由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：倒入一个大杯倒入一个大杯请问：混合后糖水的浓度与原三个小请问：混合后糖水的浓度与原三个小杯糖水的浓度有何关系？杯糖水的浓度有何关系？学生学生1：混合后的糖水浓度为：混合后的糖水浓度为由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖水浓度相等，即是：水浓度相等，即是：这就是等比定理：这就是等比定理：若若 即即 .从从“糖水情境糖水情境”到到“等比定理等比定理”，这中间有一，这中间有一个从具体事实到形式化抽

3、象的数学过程，前个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是者是“具体的模型具体的模型”，后者是，后者是“抽象的模式抽象的模式”，两者之间有，两者之间有“质质”的区别的区别.把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！但是，？不是！但是，我们一旦舍去糖、水、浓度我们一旦舍去糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系等比定理，这就是数学了等比定理，这就是数学了.这中间的过程就是一个这中间的过程就是一个“数学化数学化”的过程！的过程！问题：问题：“糖水情境糖水情境”中的中的 与与“等比等比定理定理”中的中的 有

4、区别吗？有区别吗？学生学生2：“糖水情境糖水情境”中的中的 只能是只能是正数，并且正数，并且 .而而“等比定理等比定理”中的中的 不需要这么多限不需要这么多限制，只要有制，只要有 就够了就够了.老师转问学生老师转问学生1 1：为什么说：为什么说式是混合后的浓度？式是混合后的浓度？学生学生1 1：学生学生3 3：老师问学生老师问学生3 3：为什么？有何依据？：为什么？有何依据？学生学生3 3：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分，比如：可能有约分，比如：2121克糖水中有克糖水中有3 3克糖，克糖，其浓度是其浓度是 .老师：老师：学生学生4：还是！：还是！

5、老师问：老师问：学生学生4 4：此时式子：此时式子虽然不是混合糖水浓度定义虽然不是混合糖水浓度定义的直接式子，但在数值上并没有变！的直接式子，但在数值上并没有变！学生学生4 4：这是因为：这是因为学生学生5 5：学生学生6 6：于是我们一共得到于是我们一共得到了等比定理的三种等价了等比定理的三种等价形式！形式！大家都知道，在糖水未达到饱和之前，大家都知道，在糖水未达到饱和之前，给糖水加糖，糖水就会变甜！给糖水加糖，糖水就会变甜！活动课之二活动课之二真分数不等式的发现真分数不等式的发现老师问：老师问：加糖后糖水就会变甜，能不能一个加糖后糖水就会变甜，能不能一个不等式来表达这个结论？不等式来表达这

6、个结论？学生：学生：老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来.学生：学生：老师问：很好！这里的老师问：很好！这里的c 表示什么？表示什么？学生：表示加糖了！学生：表示加糖了！老师问：老师问：c 表示所加的糖的质量吗？浓度与质量表示所加的糖的质量吗？浓度与质量可以直接相加吗？可以直接相加吗？学生：学生：c不是糖的质量，而是浓度的增加量不是糖的质量，而是浓度的增加量.老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，并没有反映出浓度增加的原因糖的增加并没有反映出浓度增加的原因糖的增加.那那么如何把么如何把“因为糖的增加而

7、使糖水浓度增加因为糖的增加而使糖水浓度增加”这这个事实反映出来呢？个事实反映出来呢？学生：老师，我明白了！学生：老师，我明白了！学生：同样可以考虑约分的情形！学生：同样可以考虑约分的情形！学生学生1010：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：新的发现：新的发现：关于糖水的浓度问题，我们还可以从中发现关于糖水的浓度问题，我们还可以从中发现“中间不等式中间不等式”并由此得出并由此得出“定比分点公式定比分点公式”，并可以从中找到很多很有意义的数学模型，并可以从中找到很多很有意义的数学模型.感兴趣的老师可以参阅感兴趣的老师可以参阅中学数学课例中学数学课例分析

8、分析 （罗增儒（罗增儒 著著 陕西师大出版社陕西师大出版社 2001.72001.7出版）出版）数学教学案例分析之二数学教学案例分析之二 一个不等式的证明与变式一个不等式的证明与变式 例：设 ，求证：思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观仔细观察上式中三个根式的结构特征，可以发现：察上式中三个根式的结构特征，可以发现：所以，可以看作以所以，可以看作以为边夹角为的三角形的第三边为边夹角为的三角形的第三边.另两个根式类似地可视为一个三另两个根式类似地可视为一个三角形的第三边角形的第三边.于是可构造满足条件的于是可构造满足条件的三棱锥帮助证明

9、此题三棱锥帮助证明此题.构造相应的几何图形：构造相应的几何图形：证明：如图证明：如图.构造三棱锥构造三棱锥S-ABCS-ABC，依余弦定理得：依余弦定理得：因为三角形两边之和大于第三边，因为三角形两边之和大于第三边，所以在所以在ABCABC中，有中，有很显然，同样有下面两个不等式成立很显然，同样有下面两个不等式成立：到这里不仅要想，我们适当增大最后一个根到这里不仅要想，我们适当增大最后一个根号内的值，不等式是否成立？即是下述不号内的值，不等式是否成立？即是下述不等式是否成立？等式是否成立？受前面数形结合证法的启示，我们作类似的处理.这次作出的图形会是什么样子的呢这次作出的图形会是什么样子的呢？

10、一共有几种情形呢？一共有几种情形呢？由以上三图知，不等式由以上三图知，不等式应修正为：应修正为：同理有类似的结论：同理有类似的结论：我们现在把不等式前面的两个根号的值变大，我们现在把不等式前面的两个根号的值变大，显然有以下三个不等式成立：显然有以下三个不等式成立：现在以现在以x x、y y、z z为边的三个夹角都是为边的三个夹角都是120120，恰好拼成一个周角，作图如下：恰好拼成一个周角，作图如下：同样我们有与同样我们有与 类似的共类似的共9 9个不等式（即个不等式（即“前两个根式中有一个的前两个根式中有一个的交叉项为负、其余为正交叉项为负、其余为正”或者或者“前两个根式中有前两个根式中有一

11、个的交叉项为正、其余为负一个的交叉项为正、其余为负”）成立）成立.那么，如那么，如果要仿上作出图形利用果要仿上作出图形利用“余弦定理余弦定理”和和“三角形三角形两边之和大于第三边两边之和大于第三边”来证明它们，所作的图形来证明它们，所作的图形又是怎么样的呢？又是怎么样的呢？请大家仔细思考这个问题！请大家仔细思考这个问题！1.1.问题的提出问题的提出已知图形如下：已知图形如下：请记住这道题请记住这道题目，并根据排列组合目，并根据排列组合的知识推算这样的不的知识推算这样的不同图形共有多少个？同图形共有多少个？数学教学案例分析之三数学教学案例分析之三 一道有趣的开放题一道有趣的开放题 现保持阴影部分

12、的面积大小，该图现保持阴影部分的面积大小，该图形可以变化为如下一系列图形形可以变化为如下一系列图形：假设规定正方形的边长不变，相假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为角为9090的扇形去分割这个正方形并的扇形去分割这个正方形并保持阴影部分的面积不变保持阴影部分的面积不变.画出尽可画出尽可能多的不同分法，选出你喜欢的图形能多的不同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由并说明你喜欢的理由.2.2.问题解决的思路问题解决的思路 为了解决这个问题，我们还得回到最为了解决这个问

13、题，我们还得回到最初的图形初的图形.先将原图分成四部分，如下：先将原图分成四部分，如下：思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下的四个小正方形去填充一个转化为用以下的四个小正方形去填充一个空白正方形的问题空白正方形的问题.填充填充 a b c d 事实上，上面的四个小正方形（通过旋事实上，上面的四个小正方形（通过旋转后）是完全一样的转后）是完全一样的.但为了说明问题，我但为了说明问题，我们将它们的位置固定下来，看作四个不同们将它们的位置固定下来，看作四个不同的图形，分别记为的图形，分别记为a a，b b，c c，d d，现在用这，现在用这四个小正方形去填

14、充，考虑一共能组成多四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案少种不同的图案.由排列组合的知识知道，这是一个由排列组合的知识知道，这是一个可重复排列的问题，应有可重复排列的问题，应有4 44 4=256=256种不同种不同的情形的情形.是不是有这么多呢？这是不是有这么多呢？这256256个不同的图案中有没有重个不同的图案中有没有重复的呢？为了说明问题，再来看思路二复的呢？为了说明问题，再来看思路二.思路二：思路二：（1）如下图，先将三个小正方形的位置固定，旋转带*的小正方形.这样就得到三个不同于初始图案的图案.（2 2）那么，运用排列组合的知识，）那么，运用排列组合的知识，如果有两个小

15、正方形同时按不同方如果有两个小正方形同时按不同方向（旋转方向互不关联）分别旋转向（旋转方向互不关联）分别旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转的情形的情形.否则回到（否则回到（1 1）.这里分为这里分为同时旋转两个相邻的小正方形和同同时旋转两个相邻的小正方形和同时旋转两个对角的小正方形两种情时旋转两个对角的小正方形两种情形，共有形，共有332=18332=18种不同的图种不同的图案案.（3 3）类似的，固定一个同时旋转另三个小）类似的，固定一个同时旋转另三个小正方形，又可以得到正方形，又可以得到3 33 3=27=27种不同的图案种不同的图案.（4 4）现在让四个小正

16、方形同时旋转（旋转）现在让四个小正方形同时旋转（旋转方向互不关联），都不保持原来的位置，又方向互不关联），都不保持原来的位置，又可以得到可以得到3 34 4=81=81种不同的图案种不同的图案.加上原来的初始图案，则共有加上原来的初始图案，则共有1 13 31818272781=13081=130种不同的图案种不同的图案.由此可见，思路由此可见，思路一中的一中的256256个图案中有很多是重复的个图案中有很多是重复的.接下来的问题是：这接下来的问题是：这130130种图案中有没种图案中有没有重复的？如果有，重复了几种？这个问有重复的？如果有，重复了几种？这个问题的最终结果应该是多少种不同的图案

17、？题的最终结果应该是多少种不同的图案？请读者自行解决请读者自行解决.3.3.教学与反思教学与反思 笔者曾经在小学笔者曾经在小学4 4、5 5、6 6年级的年级的数学课外数学课外活动活动中运用该题进行过数学活动课教学，让学中运用该题进行过数学活动课教学，让学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果.通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体会，会，让学生体验到数学活

18、动的乐趣、欣赏到几让学生体验到数学活动的乐趣、欣赏到几何图形的美何图形的美.相信经历过这样的数学活动的学相信经历过这样的数学活动的学生，等到他将来长大以后购买地板砖生，等到他将来长大以后购买地板砖准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课中所设计的美丽图起当年他在这堂课中所设计的美丽图案案.如果是这样的话，如果是这样的话，作为一个数学教作为一个数学教育工作者，应该开心微笑了育工作者，应该开心微笑了.以下是一些学生自己画出的并且是他们最喜欢的图案以下是一些学生自己画出的并且是他们最喜欢的图案:笔者也曾在初二的数学课外活动中运用过该笔者也曾在初二的数学课外活动

19、中运用过该题，并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透题，并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透给他们给他们.事实证明，如果处理得当，教学中深入事实证明，如果处理得当，教学中深入浅出，给学生充裕的时间思考领会，初二的学生浅出，给学生充裕的时间思考领会，初二的学生在一定程度上也是可以接受这些知识的在一定程度上也是可以接受这些知识的.当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤其是刚刚学完排列组合知识的学生，不论他们能其是刚刚学完排列组合知识的学生，不论他们能够得到什么样的结果，最起码，对于他们对排列够得到什么样的结果，最起码，对于他们对排列组合知识的理解是大有益处的

20、组合知识的理解是大有益处的.同时，这道题目还可以扩展为：同时，这道题目还可以扩展为：(1)如果用9块 拼成33的大正方形情形又是怎样的？(2)如果用6块 作为正方体的6个侧面，那么围成的正方体的侧面展开图有多少种不同的图案？(3)用正多边形地板砖铺满房间，有哪些不同的铺设方案？An Interesting Open-end ProblemAn Interesting Open-end ProblemYANG Xiao-binYANG Xiao-bin（Department of Mathematics and Information ScienceDepartment of Mathemati

21、cs and Information Science，China West Normal UniversityChina West Normal University，NanchongNanchong，Sichuan Sichuan，China China，637002637002）Abstract:Abstract:Through an open-end problem,we find that mathematics open-end problem studyingand mathematics activities teaching beneficial to students mathematics studying.Key words:Key words:mathematics;open-end problem;mathematics activities谢谢大家！请多指教！谢谢大家！请多指教！