概率论中条件期望与停时ppt课件.pptx

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1、Conditionality and stopping times in probabilityMark Osegard,Ben Speidel,Megan Mark Osegard,Ben Speidel,Megan Silberhorn,and Dickens Nyabuti Silberhorn,and Dickens Nyabuti Conditional Expectation篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Conditional ProbabilityDiscrete:Conditional Probabi

2、lity Mass Function Continuous:Conditional Probability Density Function篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Conditional ExpectationDiscrete:Continuous:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Note:of y.We write this asis a functioni.e.(Conditional Expectation Function)篮球

3、比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Theorem:Clearly,when Y is discrete,When Y is continuous,篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Proof:Continuous CaseRecall,if X,Y are jointly continuous with joint pdfDefine:and篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统No

4、te:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continuous Case Cont.(Fubinis Theorem)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统So,Therefore,concluding篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Summary:When Y is discrete,When Y is continuous,Conditional Variance篮球比赛是根

5、据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Definition篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Proof篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Note as well 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统addinggStopping times篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计

6、分系统是一种得分类型的系统Stopping TimesnDefinitionnApplication to ProbabilitynApplications of Stopping Times to other formulas篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Stopping TimesnBasic Definition:A Stopping Time for a process does exactly that,it tells the process when to stop.Ex)while(x!=4)The

7、stopping time for this code fragment would be the instance where x does equal 4.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Stopping times in SequencesnDefine:Suppose we have a sequence of Random Variables(all independent of each other)Our sequence then would be:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜

8、负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Stopping Times:A Discrete CasenFrom our previous slide we have the sequence:nA discrete Random Variable N is a stopping time for this sequence if:N=n Where n is independent of all following items in the sequence 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Indepen

9、denceSummarizing the idea of stopping times with Random Variables we see that the decision made to stop the sequence at Random Variable N depends solely on the values of the sequence Because of this,we then can see that N is independent of all remaining values 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计

10、时计分系统是一种得分类型的系统Applications of Stopping TimesDoes Stopping Times affect expectation?No!Consider this statement:This formula,the formula used for Conditional Expectation does remain unchanged 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Applying Stopping TimesFor an example of how to use sto

11、pping times to solve a problem,we will now introduce to you Walds EquationWalds Equation篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统PropositionIf X1,X2,X3,are independent identically distributed(iid)random variables having a finite expectation EX,and N is a stopping time for the sequence h

12、aving finite expectation EN,then:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Walds ProofLet N1=N represent the stopping time for the sequence X1,X2,XN1Let N2=the stopping time for the sequence X(N1+1),X(N1+2),X(N1+N2)Let N3=the stopping time for the sequence X(N1+N2+1),X(N1+N2+2),X(N1+N2+N

13、3)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Walds Proof.We can now define the sequence of stopping times as where Ni clearly represents,and see the sequence is iid篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Walds ProofIf we define a sequence Si as,where,Note:Si are iid篮球比赛是根据运动

14、队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Walds Proofwhich are iid because the Xis are.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Walds ProofBy the Strong Law of Large Numbers,篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Walds ProofAlso 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时

15、计分系统是一种得分类型的系统ConcludingSo as we letWhich can be manipulated into our preposition:Miners ProblemSample Conditional and Stopping times in probability problem篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统The problemA miner is trapped in a room containing three doors.Door one leads to a tunnel

16、that returns to the same room after 4 days;door two leads to a tunnel that returns to the same room after 7 days;door three leads to freedom after a 3 day journey.If the miner is at all times equally likely to choose any of the doors,find the expected value and the variance of the time it takes the

17、miner to become free篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Expected ValueUsing Walds Equation:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continue.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continue.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Expected va

18、lue Conclusion篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Variance篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continue.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continue.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continue.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球

19、比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Thus far|?篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continue.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continue.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Continue.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统In conclusion|篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Thanks to:Dr.Steve DeckelmanDr.Ayub HossainWho helped make this a success!