数学物理方法第十章-格林函数法ppt课件.ppt

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1、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程10.3 10.3 无界空间的格林函数无界空间的格林函数 基本解基本解无界区域无界区域中格林积分公式中的中格林积分公式中的面积分面积分应为应为零零，故有，故有 选取选取和和分别满足下列方程分别满足下列方程 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、三维球对称一、三维球对称对于对于三维球对称三维球对称情形，我们选取情形，我们选取 两边在球内积分两边在球内积分 利用利用高斯定理高斯定理得到得到 病原体侵入机体，消弱机体

2、防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 故有故有 使上式恒成立使上式恒成立，有，有 因此因此，,故得到故得到 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为代入代入 得到得到三维无界区域问题的解三维无界区域问题的解为为上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过

3、程二、二维轴对称情形二、二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即，即因为由于由于 只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的圆柱体上、下底的面积分为零面积分为零，只剩下沿，只剩下沿侧面的积分侧面的积分，即，即 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程选取的选取的圆柱的高度圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果为单位长，则很容易得到下面的结果 令令积分常数为积分常数为0 0，得到，得到 因此二维轴

4、对称情形的格林函数为因此二维轴对称情形的格林函数为得到得到二维无界区域的解二维无界区域的解为为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程10.4 10.4 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的用格林函数法求解的主要困难主要困难还在于还在于如何确定格林函数本身如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 一、电像法定义一、电像

5、法定义 考虑一个具体的考虑一个具体的物理模型物理模型：设在一接地导体球内的：设在一接地导体球内的 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点点病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对于对于第一类边值问题第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解，其格林函数可定义为下列定解问题的解 为了满足边界条件：电势为零，所以还得在为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点边界外像点（或对称点）（或对称点）放置放置一个合适的负电荷，这样才能使这两

6、个电一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零荷在界面上产生的电势之和为零 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所，所以我们称这种构建方法为以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）电像法（也称为镜像法）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、二、上半平面区域第一边值问题的格林函数构建上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型物理模型：若在：若在 处放置一处放置一正单位点电荷正单位点电

7、荷 则虚设的则虚设的负负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy xoy 的上半平面的的上半平面的电位分布电位分布也就是本问题的格林函数，即为也就是本问题的格林函数，即为 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程据上述据上述物理模型物理模型可求解下列定解问题可求解下列定解问题 例例1 1 定解问题：定解问题：解：解：根据根据第一边值问题第一边值问题，构建的格林函数满足，构建的格林函数满足 处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构建格林函数为构

8、建格林函数为 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程边界外法线方向为负边界外法线方向为负轴，故有轴，故有 代入到代入到拉普拉斯第一边值问题拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的解的公式，拉普拉斯方程的自由自由项项,则则由由得得 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程或代入拉普拉斯方程的或代入拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题的解公式的解公式得到称为称为上半平面的拉普拉斯积分公式上半平面的拉普拉斯积分公式病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机

9、体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程三、三、泊松方程的第一边值问题求解泊松方程的第一边值问题求解 例例2 2 定解问题：定解问题：根据第一类边值问题的解公式第一类边值问题的解公式得到 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程根据根据半平面区域第一类边值问题的格林函数式半平面区域第一类边值问题的格林函数式，得到，得到 因为边界上的法线为负因为边界上的法线为负y y轴，故轴，故 得到泊松方程在得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解半平面区域第一边值问题的解病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏

10、机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例.3.3 在上半空间内求解拉普拉斯方程的内求解拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题 解：构建格林函数解：构建格林函数满足满足四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程根据根据物理模型和无界区域的格林函数物理模型和无界区域的格林函数可以构建为可以构建为即有 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程

11、为了把为了把代入代入拉普拉斯第一边值问题拉普拉斯第一边值问题的解的公式，的解的公式，需要先计算需要先计算即为即为 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程代入即得到代入即得到 这公式叫作这公式叫作上半空间的拉普拉斯积分上半空间的拉普拉斯积分病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程五、五、圆形区域第一边值问题的格林函数构建圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型物理模型：在圆内任找一点 放置一个单位电荷圆外圆外M1放置另一个单位电荷病原体侵入机体，消弱机体

12、防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程根据图，这两电荷在圆内任一观察点根据图，这两电荷在圆内任一观察点所产生的所产生的电势电势为为当观察点当观察点位于圆周上位于圆周上时，应该有时，应该有，即满足即满足第一类齐次边值条件第一类齐次边值条件,即为即为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程上式应对任何上式应对任何值成立，所以上式对值成立，所以上式对的的导数应为零导数应为零，即，即即得到即得到 要求上式对要求上式对任意任意的的值要成立，故提供了确定值要成立，故提供了确定的方程的方程病

13、原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 联立解得联立解得 于是圆形区域于是圆形区域的第一类边值问题的格林函数为的第一类边值问题的格林函数为即为即为 .其中其中病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例.4.4 求解如下泊松方程定解问题求解如下泊松方程定解问题 根据根据第一类边值问题解的公式第一类边值问题解的公式 ，并取沿垂直于圆的方，并取沿垂直于圆的方向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分，原来的向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分，原来的面积分化为线积分故得到面积分化为线积分故得到 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程根据构建的根据构建的圆内第一边值问题的格林函数圆内第一边值问题的格林函数代入得到代入得到圆内第一边值问题的解圆内第一边值问题的解为为 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例.5.5 在圆在圆内求解拉普拉斯方程的第一边值问题内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 解：解：