计算机视觉中的多视图几何D射影几何和变换ppt课件.ppt

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1、3D射影几何和变换射影几何和变换篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统点与直线点与直线n直线的齐次表示：直线的齐次表示：ax+by+c=0n(a,b,c)看做矢量，看做矢量，(ka,kb,kc)也是矢量；也是矢量；n上述两个矢量是等价的，因为只差一个全上述两个矢量是等价的，因为只差一个全局缩放因子，却都表示相同的直线；局缩放因子，却都表示相同的直线；n这种等价关系下的等价类叫做齐次矢量；这种等价关系下的等价类叫做齐次矢量；n在在IR中的矢量等价类的集合组成射影空间中的矢量等价类的集合组成射影空间IP，(0,0,0)；2篮球比

2、赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统点的齐次表示点的齐次表示 表示：点，表示：点，x=(x,y)；直线；直线I=(a,b,c)；ax+by+c=0;方法：把方法：把“1”作为增加在点中的最后一个作为增加在点中的最后一个坐坐 标使标使IR变成一个齐次矢量；变成一个齐次矢量；充要条件：充要条件：(x,y,1)与与(a,b,c)的内积是的内积是 ax+by+c=0；通式：点的齐次表示为通式：点的齐次表示为x=(x1,x2,x3)x=(x1/x3,x2/x3)；3篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛

3、的计时计分系统是一种得分类型的系统理想点与无穷远线理想点与无穷远线n两条平行线两条平行线L1：ax+by+c=0n L2：ax+by+c=0n可以求得两条直线的交点为（可以求得两条直线的交点为（bc-bc,0,0）n这是点的齐次表示，当我们用非其次点来这是点的齐次表示，当我们用非其次点来表示时会出现表示时会出现bc-bc/0的问题，这就是说两的问题，这就是说两条线的交点在无穷远处条线的交点在无穷远处4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统理想点与无穷远点理想点与无穷远点nIR是包含了那些在坐标齐次表示下是包含了那些在坐标齐次

4、表示下x3!=0的点，当我们把的点，当我们把x3=0的点与的点与IR集集合起来，形成合起来，形成IP，我们称，我们称IP为射影空间。为射影空间。nX3=0的点叫理想点的点叫理想点,或无穷远点，无穷远或无穷远点，无穷远点的集合是一条直线，即无穷远线。点的集合是一条直线，即无穷远线。nI=（0,0,1）表示无穷远线）表示无穷远线n任意直线与无穷远线的交点都是任意直线与无穷远线的交点都是(b,-a,0)，所以无穷远线可以看作是平面上所有，所以无穷远线可以看作是平面上所有直线方向的集合直线方向的集合5篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型

5、的系统 点和射影变换点和射影变换n2D射影几何中点的非齐次表示射影几何中点的非齐次表示(X,Y)，齐，齐次表示次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量矢量(a,b,c).n3D射影几何中点射影几何中点X用齐次表示时需要一用齐次表示时需要一个个4维矢量，齐次矢量维矢量，齐次矢量X=(x1,x2,x3,x4),对对应非齐次坐标应非齐次坐标(X,Y,Z),当当X=x1/x4,Y=x2/x4,Z=x3/x4。在在x4=0时，齐次点时，齐次点X表示无穷远表示无穷远点。点。6篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统平面、直线和二次曲

6、面的表示和变换平面、直线和二次曲面的表示和变换n直线公式：直线公式：ax+by+c=0,矢量矢量(a,b,c).n平面公式：平面公式：1X+2Y+3Z+4=0,矢量矢量(1,2,3,4).n齐次化齐次化,X=x1/x4,Y=x2/x4,Z=x3/x4.n得到得到1x1+2x2+3x3+4x4=0 或简记为或简记为X=0.表示点表示点X在在上上.7篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统联合与关联关系联合与关联关系(1)平面可由一般位置的三个点或一条直线与一平面可由一般位置的三个点或一条直线与一个点的联合来唯一确定个点的联合来唯

7、一确定(2)两张不同的平面交于唯一的直线两张不同的平面交于唯一的直线(3)三张不同的平面相较于一点三张不同的平面相较于一点8篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 三点确定一张平面三点确定一张平面(1)设三点设三点Xi在平面在平面上上,那么每点满足那么每点满足X=0 x1 1 x2 =0 2 x=0 x3 3 因为一般位置，所以它们线性无关因为一般位置，所以它们线性无关(2)矩阵矩阵M=X,X1,X2,X3,它由一般位置的点它由一般位置的点X和和确定平面确定平面的三点的三点Xi组成组成.当当X在在上时，上时，IMI=0 因为

8、三点确定一个平面，再多一点，肯定可因为三点确定一个平面，再多一点，肯定可以用以用X1,X2,X3线性表示，所以不是满秩的。线性表示，所以不是满秩的。IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123 =(D234,D134,D124,D123)是是(1)的解矢量的解矢量,零空间零空间9篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n射影变换射影变换 在点变换在点变换X=HX下，平面变换为下，平面变换为=H 平面上的点的参数表示平面上的点的参数表示 在平面在平面上的点上的点X可以写成可以写成X=Mx 其中其中M是是4*3矩

9、阵，设平面矩阵，设平面=(a,b,c,d)且且a非零，那么非零，那么M可以写成可以写成M=PII3*3，其中其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)10篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n直线的表示直线的表示n两点的连线或两平面的相交定义一条直线，每两点的连线或两平面的相交定义一条直线，每个交点由两个参数确定，两个交点有四个参数，个交点由两个参数确定，两个交点有四个参数，故有四个自由度故有四个自由度.问题，问题，4个自由度得个自由度得5个变量个变量表示。表示。n(1)零空间与生成子空间表示零空间与生成子空间表示11篮球比

10、赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(2)Plucker矩阵矩阵 将一条直线由将一条直线由4*4的反对称齐次矩阵表示，连的反对称齐次矩阵表示，连接两点接两点A,B的直线的直线L的矢量表示：的矢量表示：L=AB-BA L有若干如下性质：有若干如下性质：1、L的秩为的秩为2 2、该表示具有描述一条直线所需要的、该表示具有描述一条直线所需要的4个自由个自由度，度，6-2 3、矩阵、矩阵L与用来确定它的点与用来确定它的点A,B无关无关,C=A+aB代替时代替时,那么得到的矩阵是那么得到的矩阵是L=AC-CA=A(A+aB)-(A+aB)

11、A=AB-BA=L12篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设A,B分别是原点和分别是原点和X-方向的理想点方向的理想点L=(0,0,0,1)(1,0,0,0)-(1,0,0,0)(0,0,0,1)=4行行4列的矩阵反对称矩阵，左下角列的矩阵反对称矩阵，左下角1 由两平面由两平面P,Q的交线确定的直线的对偶的交线确定的直线的对偶Plucker表示为表示为L*=PQ-QP并与并与L有相似有相似的性质。在点变换下，的性质。在点变换下，L*=HL*H,矩矩阵阵L*可由可由L通过简单的重写规则得到：通过简单的重写规则得到：l12:

12、l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12 对偶的原则是对偶的原则是1234的集合的集合13篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Plucker直线坐标直线坐标(1)是是Plucker反对乘矩阵的六个非零元素反对乘矩阵的六个非零元素的集合，即的集合，即l=l12,l13,l14,l23,l42,l34 l的行列式值为的行列式值为0，故有，故有l12*l34+l13*l42+l14*l23=0 (2)假定两条直线假定两条直线l1和和l2分别由连接分别由连接A,B和和连接连

13、接A1，B1所产生的，这些直线相交的所产生的，这些直线相交的充要条件是四点共面，所以行列式值为充要条件是四点共面，所以行列式值为零零,即即IA,B,A1,B1I=0.14篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 二次曲面与对偶二次曲面二次曲面与对偶二次曲面 XQX=0，X是点，是点，Q是是4*4的对称矩阵。的对称矩阵。二次曲面的分类二次曲面的分类二次曲面的矩阵二次曲面的矩阵Q是对称的，它可以分解为是对称的，它可以分解为Q=UDU,U是正交矩阵，是正交矩阵，D是实对角矩阵，通过是实对角矩阵，通过对对U的缩放，可以得到的缩放，可以

14、得到Q=HDH,则则D等价于矩阵等价于矩阵H进行了射影变换。令对角矩阵符号差进行了射影变换。令对角矩阵符号差(D),定义定义为为D中中+1与与-1个数的差值。如表个数的差值。如表 15篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 秩秩 对角线对角线 方程方程 实现实现 4 4 (1,1,1,1)X+Y+Z+1=0 无实点无实点 2 (1,1,1,-1)X+Y+Z=1 球面球面 0 (1,1,-1,-1)X+Y=Z+1 单叶双曲面单叶双曲面 3 3 (1,1,1,0)X+Y+Z=0 点点(0,0,0,1)1 (1,1,-1,0)X+

15、Y=Z 过原点的圆锥过原点的圆锥 2 2 (1,1,0,0)X+Y=0 单条直线单条直线(Z轴轴)0 (1,-1,0,0)X=Y 两平面两平面X=+-Y 1 1 (1,0,0,0)X=0 平面平面X=0n三次绕线三次绕线16篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 变换的层次变换的层次群群 矩阵矩阵 失真失真 变换性质变换性质射影射影 h11 h12 h13 仿射变换的推广仿射变换的推广 h21 h22 h23 h31 h32 h33 仿射仿射 a11 a12 tx 平移平移+旋转旋转 a21 a22 ty 非均匀缩放非均匀缩

16、放 0 0 1 相似相似 sr11 sr12 tx 平移平移+旋转旋转 sr21 sr22 ty 均匀缩放均匀缩放 0 0 1 欧式欧式 r11 r12 tx 平移平移+旋转旋转 r21 r22 ty 0 0 1 17篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 变换的层次变换的层次群群 矩阵矩阵 失真失真 不变性质不变性质射影射影 A t 接触表面接触表面 15dof v v 的相交和相切的相交和相切仿射仿射 A t 平面的平行平面的平行12dof 0 1 体积比，形心体积比，形心相似相似 sR t 绝对二次曲线绝对二次曲线7d

17、of 0 1欧式欧式 R t 体积体积6dof 0 1A是是3*3的可逆矩阵，的可逆矩阵，R是是3D旋转，旋转，t是平移是平移18篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 移动分解移动分解结论结论2.6 任何具体的平移加旋转运动都等价于绕任何具体的平移加旋转运动都等价于绕一根转动轴的旋转加沿该转动轴的平移一根转动轴的旋转加沿该转动轴的平移00 xyyx00 xyyxs19篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 3D欧式运动与转动分解欧式运动与转动分解转动轴转

18、动轴aoostooss转动轴转动轴o垂直垂直t平行平行20篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 无穷远平面无穷远平面(1)在平面射影几何中，辨认无穷远线就能测量在平面射影几何中，辨认无穷远线就能测量平面的仿射性质，辨认其虚原点就能测量其度平面的仿射性质，辨认其虚原点就能测量其度量性质：量性质：两张平面相平行的充要条件是他们的交线在两张平面相平行的充要条件是他们的交线在上上 如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在上，上，则他们平行则他们平行(2)在射影变换在射影变换H下，无穷远平面下

19、，无穷远平面是不动平面是不动平面的充要条件是的充要条件是H是一个仿射变换（类似于是一个仿射变换（类似于P20无穷远线的推导）无穷远线的推导）在放射变换下平面在放射变换下平面是整个集合不动，而不是点点不动是整个集合不动，而不是点点不动在某个具体的放射变换中，可能还存在除在某个具体的放射变换中，可能还存在除外的某些平外的某些平面保持不动，但仅有面保持不动，但仅有在任何仿射变换下保持不变在任何仿射变换下保持不变21篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 绝对二次曲线绝对二次曲线(1)绝对二次曲线是在绝对二次曲线是在上的一条二次曲线

20、，满足上的一条二次曲线，满足 X1+X2+X3 =0 X4 值得注意的是定义一条二次曲线需要定义两个方程值得注意的是定义一条二次曲线需要定义两个方程 可以写成可以写成(x1,x2,x3)I(x1,x2,x3)=0形式形式 绝对对偶二次曲线绝对对偶二次曲线(1)绝对二次曲线的对偶是绝对二次曲线的对偶是3维空间中一种退化的对偶二维空间中一种退化的对偶二次曲面，从几何上说，绝对对偶二次曲线由对偶二次次曲面，从几何上说，绝对对偶二次曲线由对偶二次曲线的平面组成。想象一个椭球面的所有切平面的集曲线的平面组成。想象一个椭球面的所有切平面的集合，然后把椭球面压成饼的情况。合，然后把椭球面压成饼的情况。2223