近世代数教学--ppt课件.ppt

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 近世代数课程是现代数学的基础,既是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生必修的重要基础课。同学应当具备有初等代数，高等代数的背景，此外还有初等数论等方面的知识背景。近近 世世 代代 数数1PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的

2、，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加深对概念的正确理解。近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。2PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比

3、赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统主要参考书主要参考书1 1B BL L瓦德瓦尔登著：代数学瓦德瓦尔登著：代数学、卷，卷，科学出版社，科学出版社，19641964年版年版2 2N N贾柯勃逊著：抽象代数贾柯勃逊著：抽象代数1 1、2 2、3 3卷，卷，科学出版社，科学出版社，19871987年出版年出版3.3.，张禾瑞张禾瑞 ，高等教，高等教育出版，育出版，19781978年修订本。年修订本。4 4刘绍学著：近世代数基础，高等教育出刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社，版社，19991999年出版年出版 3PPT课件课件篮球

4、比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统5 5石生明著：近世代数初步、高等教育出版石生明著：近世代数初步、高等教育出版社，社，20022002年出版年出版6.6.近世代数，吴品山，人民教育出版社，近世代数，吴品山，人民教育出版社，19791979。7.7.抽象代数学，谢邦杰，上海科学技术出抽象代数学，谢邦杰，上海科学技术出版社，版社，1982 1982。8.抽象代数基础，刘云英，北京师范大学抽象代数基础，刘云英，北京师范大学

5、出版出版 社，社，19901990年。年。4PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 近世代数理论的三个来源(1)代数方程的解(2)Hamilton四元数的发(3)Kummer理想数的发现5PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分

6、类型的系统（1）代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 方法解二次方程axax2 2+bx+c=+bx+c=0 0 。16161616世纪初欧洲世纪初欧洲世纪初欧洲世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。数学研究的一个中心问题。数学研究的一个中心问题。数学研究的一个中心问题。1545154515451545年意大利数学年意大利数学年意大利数学年意大利数学家家家家 G.Cardano(1501-1576)G.Cardano(150

7、1-1576)G.Cardano(1501-1576)G.Cardano(1501-1576)在他的著作大术在他的著作大术在他的著作大术在他的著作大术（Ars MagnaArs MagnaArs MagnaArs Magna）中给出了三、四次多项式的求根）中给出了三、四次多项式的求根）中给出了三、四次多项式的求根）中给出了三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。次方程的一般求解方法，但是都失败了。次方程的一般求解方法，但

8、是都失败了。次方程的一般求解方法，但是都失败了。6PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel(1802-1829)才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。最终解决这一问题的是一位法国年青数学家E.Galois(18111832)

9、，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。7PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统加罗华加罗华阿贝尔阿贝尔 被誉为天才数学家的伽罗瓦（被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-18321811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研）是近世代数的创始人之一。

10、他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域伽罗瓦域”、“伽伽罗瓦群罗瓦群”和和“伽罗瓦理论伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般

11、判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对

12、于二十世纪结构主义了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。8PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(2)Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2=-1。二元数按(a,b)(c,d)=(ac,bd)，(a,b)(c,d

13、)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。9PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规

14、定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 （3）Kummer理想数的发现17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665）研究整数方程时发现当n3时，方程 xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数

15、学家都对此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。10PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 Kummer的想法是：如果上面的方程有正整数解，假定是一个n次本原单位根，那么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+y)(x+n-1y),象整数中的因子分解一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,进行适当的变换之后有

16、可能得到更小的整数x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。11PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 KummerKummer方法的前提是形如方法的前提是形如a+b的复整数也象的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解，其中整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与与b是通是通常整数。并不是对于每个整数常整数。并不是对

17、于每个整数n,复整数复整数a+b都具都具有唯一分解性，有唯一分解性，KummerKummer把这种复整数的因子分解把这种复整数的因子分解称为理想数的分解。称为理想数的分解。用这种方法用这种方法 KummerKummer证明了证明了n100时费马大定时费马大定理成立理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研理想数的方法不但能用于费马问题研,实实际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学家家R.Dedekind(1831-1916)R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的一般

18、的理想论，使它成为近世代数的一个重要的研究领域。研究领域。12PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 近世代数是在近世代数是在19世纪末至世纪末至20世纪初发展起来的世纪初发展起来的数学分支。数学分支。1930年荷兰数学家范德瓦尔登（年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996）根据该学科领域几位创始根据该学科领域几位创始人的演讲报告人的演讲报告,综合了当时近世代数的研

19、究成果综合了当时近世代数的研究成果,编编著了著了近世代数学近世代数学(Moderne Algebra）一书）一书,这是这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。的教科书。13PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 14PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛

20、是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 诺特诺特,1882年年3月月23日生于德国埃尔朗根，日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗年入埃朗根大学，根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已年，她已引入左模、右模的概念。引入左模、右模的概念。1921年写出的年写出的是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。证明了准素分解

21、定理。1926年发表年发表，给戴德金环一个公理刻画，指出，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也诺特的这套理论也就是现代数学中的就是现代数学中的“环环”和和“理想理想”的系统理论，一般认为抽的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的代数运算规律和各种代数结构，完成了

22、古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。之一。15PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第一章第一章 基本概念基本概念11 集集 合合2 2 映射与变换映射与变换3 3 代数运算代数运算4 4 运算率运算率5 5 同态与同构同态与同构6 6 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类16PPT课件课件篮球比赛是根据运

23、动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统11 集集 合合 表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如如“一队一队”、“一班一班”、“一筐一筐”.组成集合的东西组成集合的东西叫这个集合的元素叫这个集合的元素.我们常用大写拉丁字母我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用表示集合，用小写拉丁字母小写拉丁字母a，b，c，表示元素表示元素.如果如果a是集合是集合A的元素，就说的元素，就说a属于属

24、于A，记作，记作 ；如果；如果a不是集合不是集合A的元素，就说的元素，就说a不属于不属于A，记作，记作 ；例如，设例如，设A是一切偶数所成的集合，那么是一切偶数所成的集合，那么4A，而而 .17PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合有限集合.如，学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的，

25、就叫做无限集合无限集合.如，全体自然数的集合；全体实数的集合.不含任何元素的集合叫空集.表示为：18PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统枚举法枚举法:例如,我们把一个含有n个元素 的集合的有限集合表示成：.前五个正整数的集合就可以记作 .拟枚举：拟枚举：自然数的集合可以记作 ,拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合,像自然数、整数描述法描述法:如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号

26、来表示.19PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.常用的数集：常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C20PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因

27、此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的元素，那么就说是的子集子集，记作 ，或记作 .根据这个定义，是的的子集当且仅当对于每一个元素x，如果 ，就有 .A是B的子集，记作：记作：21PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的，就说A与B 相等，记作：A=B.即以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集幂集，记为

28、P(A).22PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统并并运运算算 设A，B是两个集合.由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并并集集（简称并），记作 .如图1所示.AB23PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型

29、的系统交运算交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集交集(简称交)，记作：，如图2所示.显然，显然，例如，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，则，则我们有我们有24PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统运算性质运算性质:交换律交换律:;分配律分配律:结合律结合律:;幂等率幂等率:;25PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时

30、计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设 是给定的集合.由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的一切公共元素所成的集合叫做 的交.的并和交分别记为：和 .我们有26PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统差运算：差运算：设A，B是两个集合，令也就是说，是由一切

31、属于A但不属于B 的元素所组成的，称为A与B 的差.注意：并没有要求注意：并没有要求B是是A的子集的子集.例如，例如，积运算：积运算：设A，B是两个集合，令称 为A与B的笛卡儿积（简称为积）.是一切元素对（a,b）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.可以定义多个集合的笛卡儿积27PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2 2 映射与变换映射与变换定义定义1 设设A，B 是两个

32、非空的集合，是两个非空的集合，A到到B 的一个映射的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合对于集合A中的中的每一个元素每一个元素 x，有集合，有集合B中一个惟一确定的元素中一个惟一确定的元素 y 与它与它对应对应.用字母用字母f，g，表示映射表示映射.用记号用记号 表示表示f 是是A到到B的一个映射的一个映射.如果通过映射如果通过映射f，与，与A中元素中元素x对应的对应的B中元素是中元素是y，那，那么就写作么就写作 这时这时y 叫做叫做 x 在在f 之下的象，记作之下的象，记作 .28PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决

33、定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例1 设 这是A到B的一个映射.例例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合.对于每一 ，令 与它对应.f 不是A到B的映射，因为当 时，不能由x唯一确定.29PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定义定义2 2 设f 是A到B的一个

34、映射，如果Imf=B，那么说称f 是A到B上上的一个映射，这里也称f 是一个满射。设 是一个映射.对于 ，x的像 .一切这样的象作成B的一个子集，用 表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.30PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定义定义3 设 是一个映射，如果对于A中任意两个元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就称f 是A到B的一个单射单射.或A到B的一一映射 如果既是满射，又是单射，即如果 f 满足

35、下面两个条件，就称f是A到B的一个双射双射.或或A到到B上的一一映射上的一一映射 31PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统32PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统33PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得

36、分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统34PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3令令 那么那么 .设 ，都是A到B的映射，如果对于每一 ，都有 ，那么就说映射f与g是相等的.记作35PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮

37、球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定义定义4：设 是A到B 的一个映射，是B 到C 的一个映射.那么对于每一个 ，是C中的一个元素.因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映射是由 和 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 .于是有 对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：fgABC（交换图）（交换图）36PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型

38、的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例4 4 设设那么那么 例例5 5 设设 A=1，2，3 那么那么 37PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 映射 ，有 .但是，一般情况下 .设A是非空集合 称为设A上的 恒等映射。设A，B是两个非空集合，用 和 表示A和B的恒等映射.设 是A到 B 的一个映射.显然有：，.38PPT课件篮

39、球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例6：f 是集合A到B的一个双射的充要条件是存在B到A的一个映射g，使得 ，且映射g是由f 唯一确定的,称为f 的逆映射,表示为证证:(必要性)因为f 是满射，所以对于B中每一个y，有 ，使得 又因为f 是单射，所以这个x 是由y唯一确定的：即如果还有 使得 ，那么 .则g是B 到A 的一个映射.我们规定39PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此

40、，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统任意 而 .我们有任 ，而 .那么 故#所以（充分性（充分性)任意 ,令 .由于 ，所以即f是满射.40PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设 而 由于 ，所以这说证明了f 是单射.因此，f 是A到B 的双射.最后，令 和 都具有性质:，41PPT课件篮球比

41、赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统有 所以 g 是由 f 唯一确定的.#，设f 是A到B 的一个映射，我们把满足例6条件的映射 叫做 f 的逆映射逆映射.一个映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的话，逆映射是由 f 唯一确定的，以后把 f 的逆映射记作 .有 因此，因此，也是一个双射，并且也是一个双射，并且f 就是就是 的逆映射，即的逆映射，即 .42PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决

42、定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例7:设A是一切非负实数所成的集合；f 是A到B 的一个映射，因为当 时，并且是由x 唯一确定的.证明，f 是一个双射.证：证：任意 .取 因为 ，所以 ，且 ，所以 .且有（f满）满）43PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设 而 .那么

43、由此 ，所以f 是单射.于是由例6，f 有逆映射.易验证，一般地，设一般地，设A是一个非空的是一个非空的集合，把集合，把AA到到A的一个映的一个映射叫做集合射叫做集合A的一个代数运的一个代数运算算.44PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定义定义5：集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换变换。单射变换、满射变换、双射变换、恒等变换单射变换、满射变换、双射变换、恒等变换45PPT课件课件篮球比赛是根据运动队

44、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统46PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统47PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多

45、少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3.代数运算代数运算注注(1)(1)为什么叫运算？不妨设为什么叫运算？不妨设是映射，若是映射，若，我们可以说，我们可以说a和和b在在的法则下运算得到的法则下运算得到d(2)(2)一个代数运算可以用一个代数运算可以用 表示，并将表示，并将(a,b)在在像记作像记作下的下的48PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一般映射的描述:作为运算的记号:

46、,.简记:49PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例A所有正整数，下列运算是不是A的代数运算?A=Z?A=Q?A=R50PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 例例4：Aa,b,c规定A的两个不同的代 数运算51PP

47、T课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 T(M)表示非空集合M的全体变换作成的集合。S(M)表示非空集合M的全体双射变换作成的集合。显然变换的合成（乘法）是显然变换的合成（乘法）是T(M)和和S(M)的一个代数运算。的一个代数运算。52PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜

48、负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 对有限集合的代数运算，常直观地列成一个表（乘法表）（乘法表）53PPT课件课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统？S(M)的乘法表的乘法表54PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型

49、的系统一、结合率4运算律运算律55PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统56PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果加括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步骤的个数总是

50、一个有限整数假定它是，我们把由这个步骤所得的结果用 ,来表示。这样得来的N个 ,当然未必相等,但是它们也可能都相等。我们规定:57PPT课件篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 假如对于 的 个固定的元 来说,所有的 都相等,我们就唯一的结果,用 来表示.问题:什么条件下,所有的 都相等?定理定理:假如一个集合假如一个集合 的代数运算适合结合律的代数运算适合结合律,那么对于那么对于 的任意的任意 个元个元 来说来说,