浙大高中数学竞赛培训ppt《数论》课件.ppt

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统数论试题中的概念和方法数论试题中的概念和方法篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统竞赛中常用的定理：竞赛中常用的定理：欧拉定理欧拉定理 费马小定理费马小定理 中国剩余定理中国剩余定理 基本研究对象：基本研究对象：整数整数涉及的范围：涉及的范围：整除问题整除问题 同余问题同余问题 不定方程不定方程 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1、已知a、b、

2、c为正整数，且 是有理数.求证：是整数.证明：因为 为无理数，故 bc0，于是 上式表示有理数，则有b2-ac=0.从而a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca =(a+b+c)2-2(ab+bc+b2)=(a+b+c)(a-b+c).故篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统整除有如下的一些性质：若a|b，b|c，则a|c；若c|a，d|b，则cd|ab；若c|a，c|b，则c|（manb）；若a|b，则ma|mb，反之亦成立；a、b互质，若a|c，b|c，则ab|c；p为质数，若p|a1a2an，则p必能

3、整除a1，a2，an中的某一个；特别地，若p为质数，p|an，则p|a.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2、证明：当n为任何整数时，36|(2n6 n4 n2).证明：2n6n4n2=n2(2n21)(n21)，当n为偶数时，4|n2；当n为奇数时，n2被4除余数为1，故4|(n21).故4|n2(2n21)(n21).当n3k（kZ）时，9|n2(2n21)(n21)；当n3k1（kZ）时，n2被3除余数总是1，所以3|(n21)，且2n2被3除余数为2，所以3|(2n21)，于是9|(n21)(2n21)，故9|n

4、2(n21)(2n21).所以36|(2n6 n4 n2).篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3、对任意正整数n，求证：(n+2)(12005+22005+n2005).分析：分析：按底数之和为（n2）进行配对计算.k2005(n2k)2005(n2)k2004k2003(n2k)+(n2k)2004，k2005(n2k)2005能被n2整除（k2，3，）.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统因式分解公式：对大于1的整数n有xnyn=(xy)(xn-

5、1+xn-2y+xn-3y2+xyn-2+yn-1)；对大于1的奇数n有xn+yn=(x+y)(xn-1xn-2y+xn-3y2xyn-2+yn-1)；对大于1的偶数n有xnyn=(x+y)(xn-1xn-2y+xn-3y2+xyn-2yn-1).篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统同余问题同余问题定义定义:设m是一个给定的正整数.如果两个整数a、b用 m除所得的余数相同，则称a、b对模m同余，记 为ab(modm).若m|(ab)，则称a、b对模m同余.若a=b+mt(tZ)，则称a、b对模m同余.篮球比赛是根据运动队在

6、规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统性质：性质：aa（mod m）若ab（mod m），则ba（mod m）若ab（mod m）,bc（mod m）,则ac（mod m）若ab（mod m）,cd（mod m）,则acbd（mod m），acbd（mod m）,a nb n（mod m）若n|m，ab（mod m），则ab（mod n）若(m，n)1，ab（mod m），ab（mod n），则ab（mod mn）篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统欧拉定理：若（a,m）=1

7、，则费尔马小定理：p是素数，则apa（mod p）若另上条件（a，p）1，则ap-11（mod p）威尔逊定理：设p素数，则（p1）！-1（mod p）.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统4 4、一个数的各位数字的和被、一个数的各位数字的和被9 9除的余数等于这个数除的余数等于这个数被被9 9除的余数除的余数.证证明明 设设a=an1010n+an-1-11010n-1-1+a1 110+10+a0 0，101(101(mod9)9)，1010n1(1(mod9)9)，an1010n+an-1-11010n-1-1+a1

8、 110+10+a0 0 an+an-1-1+a1 1+a0 0(mod9)9)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统5、试求出一切可使 被3整除的自然数.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统6、求 除以13的余数.解：解：1031（mod13）1061（mod13）1021010（mod6）10310210（mod6）10n10n-1104（mo

9、d6）10n6k4 106k+4(106)k1041k1041043（mod13）篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统不定方程不定方程 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.对于二元一次不定方程问题，我们有两个定理：二元一次不定方程ax+by=c(a，b，c为整数)有整数解的充分必要条件是(a,b)|c.若(a,b)=1，且x0，y0为上述方程的一组解，则方程的全部解为x=x0+bt，y=y0-at(t为整数).对于非二元一次不定方程问题，常用的求解方法有：

10、恒等变形;构造法;奇偶分析法;不等式估计法.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统7、求满足方程2x2+5y2=11(xy11)的正整数数组(x，y).(2xy)(x5y)=112.8、求不定方程14x224 xy+21y2+4x12y18=0的整数解.解解 原式变形为：2(x3y+1)2+3(2xy)2=20，故 3(2xy)220，即平方数(2xy)24，当(2xy)2=0，1时，(x3y+1)2=10或2(x3y+1)2=17，均不可能，故(2xy)2=4，从而(x3y+1)2=4，由此得方程有唯一整数解：（1，0）.

11、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统证明由于251=32，2131=52，5131=82，因此，只需证明2d1，5d1，13d1中 至少有一个不是完全平方数.假设它们都是完全平方数，令 2d1=x2 5d1=y2 13d1=z2 x,y,zN*由知，x是奇数，设x=2k1，于是2d1=(2k1)2，即d=2k22k+1，这说明d也是奇数.因此，再由，知，y,z均是偶数.9、（第27届IMO试题）设正整数d不等于2，5，13.证明在集合2，5，13，d中可以找到两个元素a,b，使得ab1不是完全平方数.反证法反证法篮球比赛是

12、根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设y=2m，z=2n，代入，相减，除以4得，2d=n2m2=(n+m)(nm)，从而n2m2为偶数，n，m必同是偶数或同是奇数，于是m+n与mn都是偶数，这样2d就是4的倍数，即d为偶数，这与上述d为奇数矛盾.故命题得证.2d1=x2 5d1=y2 13d1=z2 d是奇数，y,z均是偶数篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解 52m=n21=(n+1)(n-1)，其中n+1与n-1同为偶数，则n为奇数，设n=2k-1(kN+

13、)，10、（2006澳大利亚数学奥林匹克）求所有的正整数m、n，使得1+52m=n2.所以52m=4k(k-1),即52m-2=k(k-1),故m2,k1，因k与k-1一奇一偶，故 或或解得k=5，m=4，所以m=4，n=9满足条件.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统11、（2004年中国西部数学奥林匹克）求所有的整数n，使得n4+6n3+11n2+3n+31是完全平方数 解 设An4+6n3+11n2+3n+31是完全平方数，则配方后A(n2+3n+1)23(n10)是完全平方数 当n=10时，A(102+310+1)

14、2=1312是完全平方数.当n10时，A(n2+3n+1)2，所以A(n2+3n)2，A(n2+3n)2 (n2+3n+1)23(n10)(n2+3n)20，即(n2+3n+1)2(n2+3n)23(n10)，2n2+3n+310，这不可能 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统于是A(n2+3n+2)2，化简得2n2+9n270，n=6，5，4，3，2，1，0，1，2，此时对应的A=409，166，67，40，37，34，31，52，145都不是完全平方数A(n2+3n+1)23(n10)当n10时，A(n2+3n+1)2

15、，所以，只有当n=10时，A是完全平方数篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(1)平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；(2)偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1；(3)奇数平方的十位数字是偶数；(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；(5)不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除，因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7；(6)平方数的约数的个数为奇数；(7)任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数；(8)在两个相邻的整数的平方数

16、之间的所有整数都不是完 全平方数.完全平方数的性质完全平方数的性质 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统算算术术基本定理：基本定理：任何一个大于任何一个大于1 1的整数均可分解的整数均可分解为为素数素数的乘的乘积积，若不考，若不考虑虑素数相乘的前后素数相乘的前后顺顺序，序，则则分解式是惟分解式是惟一的即大于一的即大于1 1的整数的整数a可以表示可以表示为为：a=，其中，其中i=li=l，2 2，s s为质为质数，数，为为非非负负整数整数.d是是a的正因数的正因数其中其中00ii，i=l=l，2 2，sa的正因数的个数的正因

17、数的个数为为d(a)=()=(1 1+1)(+1)(2 2+1)+1)(s+1)a的正因数的和的正因数的和篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统12、（2003年泰国数学奥林匹克）求所有使p2+2543具有少于16个不同正因数的质数p.解 当p=2时，p2+2543=2547=32283，283是质数，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，满足条件；当p=3时，p2+2543=2552=231119，此时共有正因数(3+1)(1+1)(1+1)=16个，不满足条件；当p3时，p2+2543=(p-1)(p+1)+2400

18、+144，(p-1)(p+1)是24的倍数，所以p2+2543是24的倍数，p2+2543=23+i31+jm，若m1，共有正因数(3+i+1)(1+j+1)(k+1)16个，若m=1，2i3j106，当j1，正因数个数不少于16，当j=1，i4，正因数个数不少于24，当j=0，i5，正因数个数不少于18，所以 p3不满足条件.综上所述，p2时，正因数个数至少有16个，而p=2时正因数个数为6，故所求的质数p是2.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统13、（2004土耳其数学奥林匹克）(1)对于每一个整数k=1,2,3，求

19、一个整数n，使n2-k的正 因数个数为10.(2)证明：对于所有整数n，n2-4的正因数个数不是10.(1)解：k=1,243+1=72 k=2,7423+2=2352 k=3,37413+3=49362篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(2)证明：假设存在n，使n2-4有10个因数.若n2-4=p9(p为质数)，即(n-2)(n+2)=p9,令n-2=pi,n+2=pj (i4,所以无解.若n2-4=p14 p2，（p1,p2为质数，且p1p2），即(n-2)(n+2)=p14 p2，当(n-2,n+2)=1时，n-2

20、=1，则n+2=5，无解.n-2=p14，n+2=p2，则p2-p14=4.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统如果p1=5，则p2=629=1737，矛盾.如果p15，则p141(mod5),p2p14+40(mod5).故p2=5，p14=1无解.n-2=p2,n+2=p14，则p14-p2=4，所以(p12-2)(p12+2)=p2所以，p12-2=1，p12=3，无解.当(n-2,n+2)1时,又(n+2)-(n-2)=4，则p1=2，所以p2为奇数.故n2=16 p2+4，所以2|n.设n=2m，则m2=4p2+

21、15(mod8)，矛盾.因此，不存在整数n，使得n2-4的正因数个数是10.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统14、（2006澳大利亚数学奥林匹克）对于任意正整数n，设a(n)是n的各位数的乘积.(1)证明：对所有正整数n，有na(n)；(2)求所有的n，使得n2-17n+56=a(n)成立.(1)证明 令则(2)解 由n2-17n+56=a(n),及a(n)n 得n2-17n+56n，即n2-18n+560，解得 4n14.又由n2-17n+560,得n4,或n13,则n4,13,14 逐一检验得 n4.篮球比赛是根据

22、运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统15、（2005德国数学奥林匹克）设Q(n)表示正整数n的各位数字之和，证明：Q(Q(Q(20052005)=7.证明 因为Q(n)n(mod9)，而20052005(9222+7)200572005(mod9)，由欧拉定理所以2005200572005=76334+1(mod9)7(mod9)，故Q(Q(Q(20052005)200520057(mod9).又20052005(104)2005=108020，所以，20052005至多有8020位，故Q(20052005)98020=72180于是Q

23、(20052005)至多只有5位，因此Q(Q(20052005)95=45,从而Q(Q(Q(20052005)3+9=12,又Q(Q(Q(20052005)7(mod9)，所以Q(Q(Q(20052005)7.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统16、(2004年西部数学奥林匹克)设nN*，用d(n)表示n的所有正约数的个数，(n)表示1，2，n中与n互质的数的个数求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足 d(n)(n)nc，并且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.分析分析 d(n)表示n的所有正约数的个数，(

24、n)是1，2，n中与n互质的数的个数，两类数中的公共部分只有1，如果1，2，n中的数恰好是大于1的正约数与第二类中大于1的某数的乘积，该数不在这两类数中，把这种数称为第三类数.当没有第三类数时c=1；当有1个第三类数时c=0；当第三类数的个数大于1时c0.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统17、(2004-2005匈牙利数学奥林匹克)已知n是正整数，如果存在整数a1,a2,an（不一定是不同的），使得a1+a2+an=a1a2an=n，则称n是“迷人的”.求迷人的整数.解：解：若k=4t+1,tN，显然满足要求，取4t+

25、1及2t个1，2t个-1即可.若k=4，则a1a2 a3a4=4，只可能a4=4或a4=a3=2，显然无解.若k=4t，t2，分两种情况讨论.当t为奇数时，取2t，-2，x个1，y个-1（x，y待定）.则x+y=4t-2，x-y+2t-2=4t.解得x=3t，y=t-2.显然这样一组数满足题设要求.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统当t为偶数时，类似地取2t，2，x个 1，y个-1，则x+y=4t-2，x-y=2t-2.解得x=3t-2，y=t.这一组数比满足题设要求.综上，4t(t2)型数是迷人的.下面证明4t+2，4

26、t+3型数是不迷人的.若4t+2型数是迷人的，设4t+2=a1+a2+a4t+2=a1a2a4t+2.易知，ai中有且仅有一个偶数，其余4t+1个数均为奇数，故a1+a2+a4t+2必为奇数，矛盾.因此4t+2型数是不迷人的.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统若4t+3型数是迷人的，设4t+3=a1+a2+a4t+3=a1a2a4t+3.其中模4余1的有x个，模4余3的有4t+3-x个.故x+3(4t+3-x)3（mod4），所以2x2（mod4），于是x是奇数，4t+3-x为偶数，则34t+31x34t+3-x1（mod4），矛盾.因此4t+3型数是不迷人的.综上所述，全部的迷人数为4t+1，tN；4t，t2的类型.