数列的概念 学案--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、21届学案 选择性必修第二册A2022-2023学年 承德县一中学案 数列的概念与简单表示法重点数列的概念，数列的通项公式，数列的前n项和难点数列的通项公式以及前n项和之间的关系考试要求考试题型 选择题、填空题 难度 简单核心知识点一：数列定义、分类及其表示方法1. 数列及其有关概念数列按照确定的顺序排列着的一列数称为数列项数列中的每一个数叫做这个数列的项表示数列的一般形式可以写成，简记为数列2. 数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数为有限的数列1，2，3，100无穷数列项数为无限的数列1，2，3，100，按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列1，2，3

2、，100递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列1，2，3，100常数列各项相等的数列1，1，1，1摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列1，2，3，4，3. 数列的简单表示法表示法含义通项公式用一个式子来表示数列的第n项与项数n之间的关系图象法数列的图象是以（n，f（n）为坐标的一系列无限或有限的孤立的点列表法列出表格来表示序号与项的关系核心知识点二：数列的性质1. 数列的函数性质（1）数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，.，n）为定义域的函数anf（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。（2）在数列an中，若

3、an1an，则an是递增数列；若an11时，an的表达式，最后要注意检验n1的表达式对于n=1是否也成立。【答案】an=【解析】由Sn=2n2-3n+1，得Sn-1=2（n-1）2-3（n-1）+1（n2），两式相减，得an=Sn-Sn-1=4n-5，当n=1时，a1=0，不满足上式，an=。【总结提升】在用求得数列的通项公式后，要检验这个条件是否成立，只有当适合的表达式时，的通项公式才可以用表述；当不满足时，通项公式必须表述为类型四：数列通项的应用例题4 数列an的通项公式为ann25n4，则(1)数列中有多少项为负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值【思路分析】数列的通项an与

4、n之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识进行探求【解析】(1)由n25n40，解得1n4.nN*，n2,3.数列中有两项是负数(2)ann25n4(n)2.对称轴方程为n2.5.又nN*，故n2或3时，an有最小值其最小值为225242.【总结提升】数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，数列的通项公式就是函数的解析式，因此用函数的思想方法去解决数列问题，同时要注意函数的定义域常见易错问题剖析已知数列1, 4, 7, 10, , 3n+7,其中后一项比前一项大3。(1) 指出这个数列的通项公式；(2) 指出1+4+7+ (3n5)是该数列的前几项之和。【错解】(1)an=3n+7;(2) 1+

5、4+7+(3n5)是该数列的前n项之和。【错因分析】错把最后一项看成了数列的通项公式【正解】(1)an=3n2; (2) 1+4+7+(3n5)是该数列的前n1项之和。【总结提升】 在求解数列问题时，一定要弄清该数列的项数或某一值在数列中对应的项。1. an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式。而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系。2. 数列的表示方法：图象法；列表法；通项公式法；递推公式法。3. 由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系。同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联

6、想、转化而达到问题的解决。（答题时间：40分钟）一、选择题1. 数列1，3，7，15，的一个通项公式可以是（ ）A. an（1）n（2n1）B. an（1）n（2n1）C. an（1）n1（2n1）D. an（1）n1（2n1）2. 若数列an满足a1+a2+a3+an=3n-2，则数列an的通项公式为（）A. an=23n-1 B. an=3C. an=3n-2 D. 3. 现有这么一列数：2，（），按照规律，（）中的数应为（）A. B. C. D. 二、填空题4. 已知数列的最大项是第k项，则k=。 5. 已知数列an的前n项和Sn332n，nN*，则an_。6. 数列an满足+=2n+1

7、，则数列an的通项公式为。 三、解答题*7. 已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn。（1）求数列bn的通项公式；（2）判断数列cn的增减性。答案1.【答案】A【解析】数列各项正、负交替，故可用（1）n来调节，又1211，3221，7231，15241，所以通项公式为an（1）n（2n1）。2.【答案】D【解析】因为a1+a2+a3+an=3n-2，所以a1+a2+a3+an-1=3n-1-2（n2），两式相减，得an=23n-1，当n=1时，a1=1，不满足上式，所以an=故选D。3.【答案】B【解析】分母为2n，nN，分子为连续的质数，所以

8、（）中的数应为，故选B。4.【答案】4【解析】数列的最大项为第k项，又kN*，k=4。5.【答案】32n1【解析】分情况讨论：当n1时，a1S133213；当n2时，anSnSn1（332n）（332n1）32n1。综合，得an32n1。6.【答案】an=【解析】当n2时，+=2n-1，与已知等式相减得=2，即an=2n+1。又当n=1时，由=3，得a1=6，不满足上式，故an=。7.【解析】（1）a12，anSnSn12n1（n2）。所以（2）因为cnbn1bn2b2n1，所以cn1cn0，所以cn1cn，所以数列cn为递减数列。2022-2023学年 承德县一中学案 数列的递推公式重点了解

9、数列的递推公式，会运用递推公式求数列的项难点数列的递推公式的应用考试要求考试 题型 选择题、填空题、解答题 难度 中等类型一：已知递推公式，求前几项及通项公式例题1 已知数列an的递推公式，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式。（1）数列an满足an+1=2an+1，nN*，且a1=-1；（2）在数列an中，。【思路分析】数列的递推公式不同于通项公式，递推公式体现的不是项与序号的关系，解题要注意。【解析】（1）由an+1=2an+1可知，由此可推测出an=-1。（2）由已知，得a1=1，可推测数列an的通项公式。【总结提升】根据首项及递推公式写出数列的前几项，然后归纳、猜想其通项公式，是本

10、节课的重点，我们必须熟练地掌握它，其中归纳猜想通项公式是难点，根据数列给出的前几项写出一个通项公式的方法来处理，不同的是在写出前几项时一般不对前几项化简，但有时化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，而没有定法。类型二：已知递推公式，用累加法求数列的通项公式例题2 已知数列中，求数列的通项公式。【思路分析】先对从2到n进行取值，得到n-1个式子，再把这n-1个式子相加，消去中间项。【解析】由递推关系得将以上（n-1）个式子左右两边同时相加，得整理得。因为所以。【总结提升】若数列形如的递推公式，且可以求解，可用累加法求通项公式。类型三：已知递推公式，用累乘法求数列的通项公式例题3 已知数列中，a

11、1=2，an+1=2an，求数列的通项公式。【思路分析】对an+1=2an从1到n-1进行取值，得到n-1个式子，再把式子相乘，消去中间项。【解析】由an+1=2an得an=2an-1，即，所以，所以。【总结提升】对于的形式，可以运用累乘法求解。常见易错问题剖析在数列an中，a1=2，则a10= 。 【常见解法】由，a1=2，得，。【原因分析】根据递推公式，求解数列的通项公式或者是求解数列的某一项，如果一一列举的话对于前几项还是可以的，但如果项数比较大的话就会造成计算困难，在计算的过程中容易出现错误，因此要根据递推公式的特点写出数列的通项公式，然后求解。【正解】由，两边取倒数得，即，又，。1.

12、 数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通项公式的区别及其用法。2. 递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项公式的关键。（答题时间：40分钟）一、选择题1. 符合递推关系式anan1的数列是（ ）A. 1，2，3，4， B. 1，2，2，C. ，2，2， D. 0，2，2，2. 数列an中an1an2an，a12，a25，则a5（ ）A. 3 B. 11C. 5 D. 193. 已知数列an的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则an=（ ）A. 2n-1 B.

13、 2nC. 2n+1 D. 3n4. 已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10等于（ ）A. 165 B. 33C. 30 D. 21二、填空题5. 数列an中，an1ann0，则a2 012a2 011_。6. 已知数列an，ananm（a0，nN*），满足a12，a24，则a3_。三、解答题*7. 设f（x）log2 xlogx4（0x1），又知数列an的通项an满足f（2an）2n。（1）求数列an的通项公式；（2）试判断数列an的增减性。 答案 1.【答案】B【解析】B中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式anan1。2.【答案】D【解析】由an1

14、an2an得an2anan1，由于a3a1a27，a4a2a312，a5a3a419。3.【答案】B【解析】a1=2，（n+1）an=nan+1，。故选B。4.【答案】C 【解析】由已知得a2a1a12a16，a13。a102a52（a2a3）2a22（a1a2）4a22a14（6）2（3）30。5.【答案】2 011【解析】an1ann0，a2 012a2 0112 0110，a2 012a2 0112 011。6.【答案】2【解析】an（1）n3，a3（1）332。7. 解：（1）f（x）log2xlogx4（0x1），f（2an）2n，log22anlog2an42n，由换底公式，得log22an2n，即an2n，a2nan20，ann。由0x1，有02an1，an0。由得ann，此即为数列an的通项公式。（2）an0，an1an，数列an是单调递增数列。第14页学科网（北京）股份有限公司