2019版高中数学 第2章 数列 2.2.1 第1课时 等差数列学案 新人教B版必修5.doc

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1、1第第 1 1 课时课时 等差数列等差数列1.理解等差数列的概念.难点2.掌握等差数列的通项公式及运用.重点、难点3.掌握等差数列的判定方法.重点)基础初探教材整理 1 等差数列的含义阅读教材 P35第一行P35例 1，完成下列问题.等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.(2)符号语言：an1and(d为常数，nN N).判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(2)如果一个无

2、穷数列an的前 4 项分别是 1,2,3,4，则它一定是等差数列.( )(3)当公差d0 时，数列不是等差数列.( )(4)若三个数a，b，c满足 2bac，则a，b，c一定是等差数列.( )【解析】 (1).因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列.(2).因为一个无穷数列前四项构成公差为 1 的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数 1.(3).因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列常数列.(4).因a，b，c满足 2bac，即bacb，故a，b，c为等差数列.【答案】 (1) (2) (3) (

3、4)教材整理 2 等差数列的通项公式及等差中项2阅读教材 P35倒数第 5 行P37例 3 以上部分，完成下列问题.1.等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列.(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是ab2A.2.等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列an的通项公式ana1(n1)d.3.从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf(n)a1(n1)dnd(a1d).(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上；(2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加d个单位.1.已知等差数列an中，首项a14，公差d2，则通项公式a

4、n_.【解析】 a14，d2，an4(n1)(2)62n.【答案】 62n2.等差数列 1，1，3，89 的项数是_.【解析】 由等差数列的通项公式ana1(n1)d可知891(n1)(2)，所以n46.【答案】 463.方程x26x10 的两根的等差中项为_.【解析】 设方程x26x10 的两根分别为x1，x2，则x1x26，所以x1，x2的等差中项为A3.x1x2 2【答案答案】 3小组合作型等差数列的判定与证明已知数列an的通项公式anpn2qn(p，qR R，且p，q为常数).(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列an1an是等差数列.3【

5、精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明an1an为一个常数即可.【自主解答】 (1)欲使an是等差数列，则an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq应是一个与n无关的常数，所以只有 2p0，即p0 时，数列an是等差数列.(2)因为an1an2pnpq，所以an2an12p(n1)pq.而(an2an1)(an1an)2p为一个常数，所以an1an是等差数列.等差数列的判定方法有以下三种：1定义法：an1and常数nN Nan为等差数列；2等差中项法：2an1anan2nN Nan为等差数列；3通项公式法：ananba，b是常数，nN Nan为等差数列.但如果要证明一个数列是等差

6、数列，则必须用定义法或等差中项法.再练一题1.判断下列数列是否是等差数列，并给出证明.(1)an42n；(2)ann2n.【解】 (1)是等差数列.证明如下：an1an42(n1)(42n)42n242n2(常数)，an是等差数列，且公差为2.(2)不是等差数列.证明如下：a12，a26，a312，a2a1a3a2，an不是等差数列.等差中项的应用已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN N，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值. 【导学号：18082021】【精彩点拨】 将x1，x4，x5用p，q表示出来，4由x1，x4，x5成等差数列，即 2x4x1x5列出

7、关于p，q的方程组求解.【自主解答】 由x13，得 2pq3，又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，由得q1，p1.三数a，b，c成等差数列的条件是bf(ac,2)或 2bac，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证an为等差数列，可证2an1anan2nN N.再练一题2.若m和 2n的等差中项为 4,2m和n的等差中项为 5，则m与n的等差中项是_.【解析】 由m和 2n的等差中项为 4，则m2n8，又由 2m和n的等差中项为 5，则 2mn10.两式相加，得mn6.m与n的等差中项为 3.mn 26 2【答案】 3探究共研型等差数

8、列的通项公式及其应用探究 1 某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第一盏后，往后每隔 50 米安装一盏，试问安装第 5 盏路灯时距离第一盏路灯有多少米？你能用第一盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？【提示】 设第一盏路灯到第一盏路灯的距离记为a1，第 2 盏路灯到第一盏路灯的距离记为a2，第n盏路灯到第一盏路灯的距离记为an，则a1，a2，an，构成一个以a10 为首项，以d50 为公差的一个等差数列.所以有a10，a2a1d05050，a3a2da12d0250100，a4a3da13d0350150，a5a4da14d0450200，ana1(n1)d50

9、n50，5所以，第 5 盏路灯距离第一盏路灯 200 米，第n盏路灯距离第一盏路灯(50n50)米.探究 2 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行，此后每 4 年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出 2016 年 8 月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？【提示】 设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，第n届的年份为an，则a1，a2，an，构成一个以a11 896 为首项，以d4 为公差的等差数列，其通项公式为ana1(n1)d1 8964(n1)4n1 892，即an4n1 892，由an2 016，知 4n1 8922 0

10、16，所以n31.故 2016 年举行的奥运会为第 31 届.已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式ana1(n1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量.探究 3 在等差数列an中，能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用an中任意一项am和d表示an?【提示】 由ana1(n1)d，ama1(m1)d，两式相减可得：anam(nm)d，则anam(nm)d.(1)在等差数列an中，已知a47，a1025，求通项公式an；(2)已知数列an为等差数列，a3 ，a7 ，求a15的值.5 47 4【精彩点拨】 设出基本量a1，d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差

11、数列的一般形式anam(nm)d求解.【自主解答】 (1)法一：a47，a1025，则Error!得Error!an2(n1)33n5，通项公式an3n5(nN N).法二：a47，a1025，a10a46d18，d3，ana4(n4)d3n5(nN N).(2)法一：由Error!得Error!解得a1，d .11 43 4a15a1(151)d614.11 4(3 4)31 4法二：由a7a3(73)d，即 4d，7 45 4解得d .3 4a15a3(153)d 12.5 4(3 4)31 41.应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可由ama，anb，得Error

12、!求出a1和d，从而确定通项公式.2.若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用aman(mn)d较为简捷.再练一题3.401 是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？【解】 由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1.由题意知，4014n1，得n100，即401 是这个数列的第 100 项.1.数列an的通项公式an2n5，则此数列( )A.是公差为 2 的等差数列B.是公差为 5 的等差数列C.是首项为 5 的等差数列D.是公差为n的等差数列【解析】 an1an2(n1)5(2n5)2，an是公差为 2 的等差数列.【答案】 A

13、72.等差数列的前 3 项依次是x1，x1,2x3，则其通项公式为( ) 【导学号：18082022】A.an2n5B.an2n3C.an2n1D.an2n1【解析】 x1，x1,2x3 是等差数列的前 3 项，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3，故选 B.【答案】 B3.等差数列的第 3 项是 7，第 11 项是1，则它的第 7 项是_.【解析】 设首项为a1，公差为d，由a37，a111，得a12d7，a110d1，所以a19，d1，则a73.【答案】 34.若 5，x，y，z,21 成等差数列，则xyz_.【解析】 5，x，y，z,2

14、1 成等差数列，y是 5 和 21 的等差中项也是x和z的等差中项，5212y，y13，xz2y26，xyz39.【答案】 395.若an是等差数列，a158，a6020，求a75的值.【解】 法一：因为an是等差数列，设公差为d，由a158，a6020，得Error!解得Error!所以a75a174d7424.64 154 15法二：因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列.设这个等差数列的公差为d，则a15为首项，a60为第 4 项，所以a60a153d，即 2083d，解得d4，所以a75a60d20424.法三：因为an是等差数列，设其公差为d.因为a60a15(6015)d，所以d，208 60154 158所以 a75a60(7560)d201524.415