第6章计算机的运算方法2013(V1.21).ppt

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1、第六章第六章 计算机的运算计算机的运算方法与运算器方法与运算器计计 算算 机机 组组 成成 原原 理理2013年3月16日6.1.1非数值数据表示法o字符表示法o汉字表示法1、ASCII码o使用7bit表示128个字符nFrom0000000to111111127=128o注意：ASCII中的数字字符和数字本身不相等o几乎所有计算机均支持该代码集o但不是所有语言都能用128个字符表示1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 o计算机利用寄存器存储数据o寄存器中每个位称bit(BinaryDigiT)o最高有效

2、位(MSB)最低有效位(LSB)MSBMostsignificantbitLSBLeastsignificantbit专用名词2、汉字表示法o8bit数据仅能表示256个字符，常用汉字6000多个，故其无法表示汉字oGB2312国家标准采用16位表示o与ASCII字符的区别，最高有效位MSB=1o内码，外码(输入法)，字模码(显示用)GB2312-80国家标准o1981年，GB2312-80国家标准，包括6763个汉字/682个非汉字字符，称为国标码或国际交换码oGB2312字符集的构成：n一级常用汉字3755个，按汉语拼音排列n二级常用汉字3008个，按偏旁部首排列n非汉字字符682个汉字标

3、准oGB2312-1980(GB0)(简体)n6763个汉字oGB13000-1993n20902个汉字(Unicode1.1版本)o汉字扩展规范GBK1.0标准1995（非国家标准）n21003个字符（兼容GB2312）oGB18030-2000(1/2/4字节编码)n27484汉字（向下兼容GB2312GBK，GB13000）字模码介绍o字模码是用点阵表示的汉字字型代码，是汉字的输出形式。o字模点阵的信息量是很大的，所占存储空间也很大。以16*16为例，每个汉字要占用32个字节，o因此字模点阵只能用来构成汉字库，而不能用于机内存储。6.1.2进制转换o二进制数转八进制o二进制数转十六进制o

4、二进制数转十进制o十进制数转二进制1、二到八或十六进制转换 o二进制转到八进制 从小数点向左右三位一分组(10011100.01)2=(234.2)8010o二进制转十六进制 从小数点向左右四位一分组(10011100.01)2=(9C.4)160100 说明：整数部分不足位数对转换无影响，小数部分不足位数要补零凑足，则出错。2、二进制转十进制从二进制数求其十进制的值，逐位码权累加求和o10010001127026025124023022021120-=mkiiirDN*3、十进制转二进制整数部分除2取余小数部分乘2取整2 1 1222521011010.625*210.25 *200.5 *

5、21 0.0 除尽为止 1011低高高低求得位数满足要求为止4、进制转换的简单运算方法o17/128的二进制表示方法?o大数的转换方法，记住几个常用的2的幂2532 2664 27128 28256 29512 2101024(1Kilo)2112048 2124096 2138182 21416364 21532728 21665536 2201048576(1Mega)2301073741824(1Giga)2401Tera 更大的单位是多少？2501 Peta 2601 Exa 2701 Zetta 2801 Yotta 6.26.2数据的表示方法数据的表示方法 6.2.1 6.2.1

6、数据格式数据格式计算机中常用的数据表示格式有两种：计算机中常用的数据表示格式有两种：（1 1）定点格式）定点格式（2 2）浮点格式）浮点格式 定点格式（定点格式（小数点位小数点位置固定置固定）容许的数值范围）容许的数值范围有限，但要求的处理硬件有限，但要求的处理硬件比较简单比较简单。浮点格式（浮点格式（小数点位置浮动小数点位置浮动）容许的数值范围很大，但要求的处容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂理硬件比较复杂 。1.1.定点数的表示方法定点数的表示方法定点表示定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是按约按约定固定不变定固定不变的，小数点就不再使用记号“.”来表示。定点数据的形式：纯

7、小数纯小数或纯整数纯整数。（设：（设：定点数表示为定点数表示为0 01 12 2n n 其中：其中：0 0符号位，符号位，0 0代表正号，代表正号，1 1代表负号）代表负号）小数点的位置约定在符号小数点的位置约定在符号位位x x0 0的后面的后面（不显示不显示）小数点的位置约定在数值小数点的位置约定在数值位位x xn n的后面的后面（不显示不显示）例：例：X=+1010110.X=+1010110.纯整数：纯整数：X=X=0 01010110.1010110.正数，符号位取正数，符号位取0 0Y=-1101001.Y=-1101001.纯整数：纯整数：Y=Y=1 11101001.110100

8、1.负数，符号位取负数，符号位取1 1X=+0.11011X=+0.11011Y=-0.10101Y=-0.10101符号位取符号位取0 0纯小数：纯小数：X=X=0 0.11011.11011符号位取符号位取1 1纯小数：纯小数：X=X=1 1.10101.10101纯整数：纯整数：X=X=0 010101101010110符号位取符号位取0 0纯整数：纯整数：Y=Y=1 111010011101001符号位取符号位取1 1符号位取符号位取0 0纯小数：纯小数：X=X=0.0.1101111011符号位取符号位取1 1纯小数：纯小数：X=X=1.1.1010110101注意到注意到：无论是整

9、数或无论是整数或是小数，在是小数，在机器数的表机器数的表示中，都不示中，都不出现小数点出现小数点“.”,.”,只是约只是约定其位置。定其位置。2 2、浮点数的表示方法、浮点数的表示方法 例：例：156.78 156.78 =15.67810=15.678101 1 =1.5678101.5678102 2 =0.1567810=0.15678103 3=MR=MRE E其中：其中：MM为为尾数尾数；R R为为基数基数；E E为为阶码阶码（指数）。（指数）。二进制数二进制数在定点计算机中，在定点计算机中，一般约定一般约定:尾数尾数|M|1.0|M|1 x x 001-1-x=x=1 1+|x|+

10、|x|0 0 x x -1-1定点小数符号位 小数点位置 数值部分 X X0 0X X1 1X X2 2X X3 3 X Xn nX X0 01 1 1 1 1 1 1 1 X X0 00 0 0 0 0 0 1 1 2-n|X|1-2-n下溢/上溢最低有效位最低有效位最高有效位最高有效位对于对于定点整数定点整数 x x=1 122n n，则原码的定义是则原码的定义是:对于对于定点整数定点整数，其原码形式为：其原码形式为：原原=0 01 12 2n n,注意到注意到：原码机器中：原码机器中“+0”+0”、“-0”-0”有两种形式：有两种形式：对于对于定点小数定点小数：+0+0原原 =0.000

11、0 -0=0.0000 -0原原 =1.00001.0000对于对于定点整数定点整数：+0+0原原 =00000.-0=00000.-0原原 =10000.10000.2 2n n0 0 2 2n n2 2n n|002 2n n符号符号数值数值定点整数符号位 小数点位置 数值部分 X X0 0X X1 1X X2 2X X3 3 X Xn nX X0 01 1 1 1 1 1 1 1 X X0 00 0 0 0 0 0 1 1 1|X|2n-1上溢最高有效位最高有效位最低有效位最低有效位2.2.补码表示法补码表示法 补码的概念补码的概念（以钟表对时为例）（以钟表对时为例）假设现在的标准时间为

12、假设现在的标准时间为4 4点正；点正；而有一只表已经而有一只表已经7 7点了，为点了，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退 7-4=3 7-4=3 格；一格；一是将时针向前拨是将时针向前拨12-3=912-3=9格。格。显然：这两种方法都能对准到显然：这两种方法都能对准到4 4点，由此可以看出，减点，由此可以看出，减3 3和加和加9 9是等价的。所以称：当模数是等价的。所以称：当模数Mod=12Mod=12时，时，9 9是是(-3)(-3)补码。补码。用数学公式表示：用数学公式表示：-3-3+9+9（mod12mod12）“模模”表示被丢掉的数

13、值。上式在数学上称为同余式。表示被丢掉的数值。上式在数学上称为同余式。设某数为设某数为x x，当，当Mod=12Mod=12时，时，x-3=x+9x-3=x+9、x+7=x-5 x+7=x-5 都是等价都是等价的。的。从这里可以得到一个启示，就是从这里可以得到一个启示，就是负数用补码表示时，可以把减负数用补码表示时，可以把减法转化为加法法转化为加法。补码的定义补码的定义：1 1、定点小数、定点小数例如例如+0.1011+0.1011，则，则 补补0.10110.1011；-0.1011-0.1011，则，则 补补10+10+10.0000-0.101110.0000-0.1011 1.0101

14、1.0101正数的补码就是本身正数的补码就是本身负数的补码需作运算负数的补码需作运算 x x 1 1 x x 00 2+x=2-|x|2+x=2-|x|0 0 x x-1 -1 (mod 2)(mod 2)10.0000 10.0000 -0.1011-0.1011 1.0101 1.0101小数：X 1-2-(n-1)X0 x补=2+X=2-|X|0X-1 完成下列数的真值到补码的转换X1 =+0.1011011 X2 =-0.1011011 X1 1补补=01011011X2 2补补=10100101 根据补码定义，求负数的补码时需作一次减法运算，这显然不根据补码定义，求负数的补码时需作一

15、次减法运算，这显然不是补码方法的初衷。后面将介绍反码表示法可以解决负数的求补是补码方法的初衷。后面将介绍反码表示法可以解决负数的求补问题。问题。2 2、定点整数、定点整数例：已知例：已知x=+10111,x=+10111,y=-11011,y=-11011,求求 xx补、补、yy补补 (n=5)(n=5)按定义：按定义：xx补补 =0 01011110111yy补补 =2 25+15+1+y=+y=10000001000000-1101111011=1 10010100101 x x 2 2n n x x 00 2 2n+1n+1+x+x=2 2n+1n+1 -|x|-|x|0 0 x x -

16、2 2n n(mod(mod 2 2n+1n+1)1000000 1000000-11011 11011 100101 100101注：上式注：上式机器数机器数的位数为的位数为n+1n+1整数：X2(n-1)-1X0 x补=2n+X=2n-|X|0X-2(n-1)完成下列数的真值到补码的转换X1=+01011011X2=-01011011X1 1补补=01011011X2 2补补=10100101注注：0 0的补码只有一种形式的补码只有一种形式 对于对于定点小数定点小数:00补补 00补补0.00000.0000 对于对于定点整数定点整数:00补补 00补补00000.00000.因此，补码的

17、表示范围相对于原码、反码来因此，补码的表示范围相对于原码、反码来讲多一种，讲多一种，定点小数定点小数可以表示可以表示-1-1，n+1n+1位位定点整定点整数数可以表示可以表示-2-2n n。3.3.反码表示反码表示法法二进制数求反二进制数求反：就是二进制的各位数码：就是二进制的各位数码0 0变为变为1 1，1 1变为变为0 0。即：若即：若 x xi i=0=0，则则 =1=1。若若 x xi i=1=1，则则 =0.=0.对对定点小数定点小数，反码的定义参见书。反码的定义参见书。正数的反码就是本身正数的反码就是本身负数的反码则是符号负数的反码则是符号位为位为1 1，数值位求反。，数值位求反。

18、x x 1 1 x x 00(2-(2-2 2-n-n)+x=+x=(2-(2-2 2-n-n)_ _|x|x|0 0 x -1 x -1 ixix由上式可以得出：由上式可以得出：xx反反+|x|=1.1111=+|x|=1.1111=10.0010.00-0.0010.001 =2-2-2 2-n-n得出：得出：反反(2(22 2n n)0 0 x x -1 -1比较反码与补码的公式比较反码与补码的公式 反反(2(22 2n n)补补2 2可得到：可得到：补补 反反2 2n n由此可知一个由反码求补码的重要公式，即：由此可知一个由反码求补码的重要公式，即：一个一个负数负数的补码，可以通过将该

19、数的补码，可以通过将该数 符号位置符号位置1 1，其，其余取反，然后在最末位（余取反，然后在最末位（2 2-n-n）上加上加1 1 的方法直接的方法直接获得。获得。4.4.移码表示法移码表示法 在计算机中，移码通常用于表示浮点在计算机中，移码通常用于表示浮点数的阶码。由于阶码一般取整数，所以数的阶码。由于阶码一般取整数，所以移码通常只用于移码通常只用于整数整数的表示。的表示。对定点整数对定点整数,移码的定义是：移码的定义是：移移2 2n n2 2n n2 2n n （n n为移码数值部分的位数）为移码数值部分的位数）移码表示法X移=2n-1+X 2n-1-1 X-2n-1 X X1 1=010

20、1 0101=0101 0101XX1 1 补补=0101=0101 01010101XX1 1 移移=1101 0101=1101 0101X X2 2=-0101 0101=-0101 0101XX2 2 补补=1010 1011=1010 1011XX2 2 移移=0010 1011=0010 1011移码在数轴上的表示p 定点小数没有移码定义 p 平行移动 p 移码为全0时表示真值最小，为-8；移码为全1时，表示真值最大，为+7 数值 15 7-8 0 0 编码 例例：若阶码：若阶码数值数值部分为部分为5 5位位,以以表示真值，则表示真值，则 移移2 25 5 2 25 5 2 25

21、5 又例又例：当正数当正数10101 10101 时时,移移1,101011,10101 当负数当负数10101 10101 时时,移移2 25 52 25 510101101010,010110,01011。注意到注意到：移码中的移码中的逗号逗号不是小数点不是小数点,而是表示左边一位而是表示左边一位是符号位。显然是符号位。显然,移码中符号位移码中符号位0 0表示的规律与原码、表示的规律与原码、补码、反码相反。移码的表示范围和补码一致，补码、反码相反。移码的表示范围和补码一致，0 0只只有一种表示方式，只是符号位正好相反。有一种表示方式，只是符号位正好相反。机器码表示法小结：在数据的四种机器表

22、示法中，正数的原码、反码、补在数据的四种机器表示法中，正数的原码、反码、补码等于真值，只有负数才分别有不同的表示方法。码等于真值，只有负数才分别有不同的表示方法。补码和移码的补码和移码的0 0只有一种表示方法只有一种表示方法，因此其表示范围因此其表示范围相对于原码和反码多一种，定点小数可表示相对于原码和反码多一种，定点小数可表示-1-1（移码（移码没有小数形式），正数可表示没有小数形式），正数可表示-2-2n n。移码表示法主要用于表示浮点数的阶码，可以直接移码表示法主要用于表示浮点数的阶码，可以直接比较大小。表示范围和补码相同，只有最高位相反。比较大小。表示范围和补码相同，只有最高位相反。4

23、2各种编码+3-1-0-3111+2-2-1-2110+1-3-2-11010-4-3-0100-1+3+3+3011-2+2+2+2010-3+1+1+1001-40+0+0000移码补码反码原码BinaryNumber StoredNumber StoredNumber RepresentedNumber Represented由于补码表示对加减法运算十分方便，因此目前机由于补码表示对加减法运算十分方便，因此目前机器中广泛采用补码表示法。在这类机器中数用补码器中广泛采用补码表示法。在这类机器中数用补码表示，补码存储，补码运算。（也有些机器，数用表示，补码存储，补码运算。（也有些机器，数用原

24、码进行存储和传送，运算时改用补码。还有些机原码进行存储和传送，运算时改用补码。还有些机器在做加减法时用补码运算，在做乘除法时用原码器在做加减法时用补码运算，在做乘除法时用原码运算）运算）6.3 6.3 定定 点点 运运 算算6.3.1 6.3.1 移位运算移位运算1.1.移位的意义移位的意义15 15 米米 =1500 =1500 厘米厘米 小数点右移小数点右移 2 2 位位机器用语机器用语15 15 相对于小数点相对于小数点 左移左移 2 2 位位（小数点不动小数点不动 ）.左移左移 绝对值扩大绝对值扩大右移右移 绝对值缩小绝对值缩小在计算机中，在计算机中，移位与加减配合，能够实现乘除运算移

25、位与加减配合，能够实现乘除运算2.2.算术移位规则算术移位规则1 1右移右移 添添 1 1左移左移 添添 0 00 0反反 码码补补 码码原原 码码负数负数0 0原码、补码、反码原码、补码、反码正数正数添补代码添补代码码码 制制符号位不变符号位不变例例6.166.16设机器数字长为设机器数字长为 8 8 位（含一位符号位位（含一位符号位），），写出写出A A=+26=+26时，三种机器数左、右移一位和两位后的时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。解：解：A A=+26=+26则则 A A 原原 =A A 补补 =

26、A A 反反 =0,0011010=0,0011010 +6 60,0,00000011000110 +13+130,0,0 0001101001101+104+1040,110100,110100000 +52520,0110100,0110100 0 +26+260,00110100,0011010移位前移位前 A A 原原=A A 补补=A A 反反对应的真值对应的真值机机 器器 数数移位操作移位操作1 12 21 12 2=+11010=+11010 例例6.176.17设机器数字长为设机器数字长为 8 8 位（含一位符号位位（含一位符号位），），写出写出A A=2626时，三种机器数

27、左、右移一位和两位后的时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。解：解：A A=2626 6 61,1,00000011000110 13 131,1,0 0001101001101 104 1041,110101,110100000 52 521,0110101,0110100 0 26 261,00110101,0011010移位前移位前对应的真值对应的真值机机 器器 数数移位操作移位操作1 12 21 12 2原码原码=11010 11010 6 61,1,11 111100111001 13 131,1,1

28、1110010110010 104 1041,001011,0010111 11 52 521,1001011,1001011 1 26 261,11001011,1100101移位前移位前对应的真值对应的真值机机 器器 数数移位操作移位操作1 12 21 12 2 7 71,1,11 111100111001 13 131,1,1 1110011110011 104 1041,001101,001100000 52 521,1001101,1001100 0 26 261,11001101,1100110移位前移位前对应的真值对应的真值机机 器器 数数移位操作移位操作1 12 21 12 2

29、补码补码反码反码3.3.算术移位的硬件实现算术移位的硬件实现（a a）真值为正真值为正 （b b）负数的原码负数的原码（c c）负数的补码负数的补码（d d）负数的反码负数的反码0 00 00 01 10 00 0丢丢 1 1丢丢 1 1出错出错影响精度影响精度出错出错影响精度影响精度正确正确影响精度影响精度正确正确正确正确4.4.算术移位和逻辑移位的区别算术移位和逻辑移位的区别算术移位算术移位有符号数的移位有符号数的移位逻辑移位逻辑移位无符号数的移位无符号数的移位逻辑左移逻辑左移逻辑右移逻辑右移低位添低位添 0 0，高位移丢，高位移丢高位添高位添 0 0，低位移丢，低位移丢例如例如 0101

30、001101010011逻辑左移逻辑左移101001110100110 0逻辑右移逻辑右移0 010110011011001算术左移算术左移算术右移算术右移001001100100110 011 11011001011001（补码）（补码）高位高位 1 1 移丢移丢0 01 0 1 0 0 1 1 01 0 1 0 0 1 1 0C Cy y0 1 0 1 0 0 1 10 1 0 1 0 0 1 10 00 010110010101100106.3.26.3.2 定点补码加/减法运算o运算方法及实现 n补码加减法运算公式 n溢出检测 n补码加减法逻辑实现 o快速加法器补码加减法的实现oX+Y

31、补=X补+Y补 n两数和的补码等于两数补码之和 oX Y 补=X补+-Y补=X补-Y补 n两数差的补码等于两数补码之差 n减法变加法，关键是求-Y补 o-Y补=Y补补 n对 Y补逐位取反,再在最低位加 1 补码加法公式证明oX+YX+Y补=X=X补+Y+Y补 1.x0 y0 (无需证明)2.x0 y0 3.x0 (2/3证明相同)4.x0 y0 y0 x补=x y补=2+y x补+y补=x+2+y=2+(x+y)当x+y0时 2+(x+y)2 进位位舍去 x补+y补=2+(x+y)=x+y (mod 2)=x+y补 (mod 2)(4)x0 y0 x+y0 x补=2+x y补=2+y x补+y

32、补=2+x+2+y=2+(2+x+y)mod 2 -1x+y0 故 02+x+y2 2+(2+x+y)mod 2=(2+x+y)=x+y补 mod 2 补码减法公式证明X-YX-Y补=XX补 -Y-Y补?X-YX-Y补=X=X补+-Y+-Y补 (加法公式加法公式)-Y-Y补=-Y=-Y补?-Y-Y补+Y+Y补=Y+(-Y)=Y+(-Y)补=0=0补=0=0 故故-Y-Y补=-Y=-Y补成立成立 -Y-Y-Y-Y补补=Y=Y=Y=Y补补 补补 X-YX-Y补=X=X补+-Y+-Y补=XX补 -Y-Y补补码加法的几种情况0.1 0 1 0 10.1 0 1 0 1+0.0 1 0 0 00.0 1

33、 0 0 00.1 1 1 0 10.1 1 1 0 1 0.1 0 1 0 10.1 0 1 0 1+0.1 1 0 0 00.1 1 0 0 0 .0 1 1 0 1.0 1 1 0 1 1 11.1 0 1 0 11.1 0 1 0 1+1.1 1 0 0 01.1 1 0 0 01.0 1 1 0 11.0 1 1 0 1 1 11.0 0 1 0 11.0 0 1 0 1+1.1 1 0 0 01.1 1 0 0 0 .1 1 1 0 1.1 1 1 0 1 0 01 1正正得负，正溢出负负得正，负溢出正常结果符号位进位舍去，正常结果计算机如何识别运算结果是否溢出单符号数溢出检测1o

34、正正得负负负得正结果溢出o设两数符号位为f0 f1 o和数符号位fs s10s10ffffffV+=单符号数溢出检测20.1 0 1 0 10.1 0 1 0 1+0.0 1 0 0 00.0 1 0 0 00.1 1 1 0 10.1 1 1 0 1 0.1 0 1 0 10.1 0 1 0 1+0.1 1 0 0 00.1 1 0 0 0 .0 1 1 0 1.0 1 1 0 1 1 11.1 0 1 0 11.1 0 1 0 1+1.1 1 0 0 01.1 1 0 0 01.0 1 1 0 11.0 1 1 0 1 1 11.0 0 1 0 11.0 0 1 0 1+1.1 1 0 0

35、 01.1 1 0 0 0 .1 1 1 0 1.1 1 1 0 1 0 01 1符号位进位Cf，最高位进位CnCf=0，Cn=0Cf=1，Cn=1Cf=0，Cn=1Cf=1，Cn=0单符号数溢出检测2 溢出信号V对应的真值表 110101011000VCnCfnfCCV=双符号数溢出检测0 0.1 0 1 0 10 0.1 0 1 0 1+0 0.0 1 0 0 00 0.0 1 0 0 00 0.1 1 1 0 10 0.1 1 1 0 1 0 0.1 0 1 0 10 0.1 0 1 0 1+0 0.1 1 0 0 00 0.1 1 0 0 0 .0 1 1 0.0 1 1 0 1 1

36、0 10 11 1.1 0 1 0 11 1.1 0 1 0 1+1 1.1 1 0 0 01 1.1 1 0 0 01 1.0 1 1 0 11 1.0 1 1 0 1 1 11 1.0 0 1 0 11 1.0 0 1 0 1+1 1.1 1 0 0 01 1.1 1 0 0 0 .1 1 1 0 1.1 1 1 0 1 1 01 01 1非正常符号位，溢出符号位进位舍去，正常结果正常结果非正常符号位，溢出双符号数溢出检测溢出信号V对应的真值表 110101011000Vf2f121ffV=单符号补码加/减器电路实现方式控制MM0加M=1减C0FAn-1Sn-1FAn-2FA1FA0Cn1

37、Cn2C1Sn-2S1S0CnXn-1Yn-1Xn-2Yn-2X1Y1X0Y0p 减法的避免减少了逻辑器件 控制信号M如何产生？符 号 位溢出位V=1=1=1=1=14.4.补码加减法的硬件配置补码加减法的硬件配置V V0 0 A A n nG GA AG GS S 加法器（加法器（n n+1+1）溢出溢出判断判断求补控制求补控制 逻逻 辑辑0 0 X X n nA A、X X 均均 n n+1+1 位位用减法标记用减法标记 G GS S 控制求补逻辑控制求补逻辑6.3.3 6.3.3 乘法运算乘法运算1.1.分析笔算乘法分析笔算乘法A A=0.1101 0.1101 B B=0.1011=0

38、.1011A AB B=0.10001111 0.100011110.1 1 0 10.1 1 0 10.1 0 1 10.1 0 1 11 1 0 11 1 0 11 1 0 11 1 0 10 0 0 00 0 0 01 1 0 11 1 0 10.1 0 0 0 1 1 1 10.1 0 0 0 1 1 1 1符号位单独处理符号位单独处理乘数的某一位决定是否加被乘数乘数的某一位决定是否加被乘数 4 4个位积一起相加个位积一起相加乘积的位数扩大一倍乘积的位数扩大一倍乘积的符号心算求得乘积的符号心算求得？1.1.人工算法与机器算法的同异性人工算法与机器算法的同异性 在定点计算机中在定点计算机

39、中,两个原码表示的数相乘的运算规则是两个原码表示的数相乘的运算规则是:乘积的符号位由两数的符号位按异或运算得到乘积的符号位由两数的符号位按异或运算得到,而乘积的数而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积值部分则是两个正数相乘之积。设设n n位被乘数和乘数用定点小数表示位被乘数和乘数用定点小数表示(定点整数也同样适用定点整数也同样适用)被乘数被乘数 原原f f.n n1 11 10 0乘数乘数 原原f f.n n1 11 10 0 则乘积则乘积:原原(f f f f)(0.(0.n n1 11 10 0)(0.)(0.n n1 11 10 0)式中式中,f f为被乘数符号为被乘数符号,f f为乘数符

40、号。为乘数符号。然而，人们习惯的算法对机器并不完全适用。然而，人们习惯的算法对机器并不完全适用。原原因之一因之一：机器通常只有：机器通常只有n n位长位长,两个两个n n位数相乘位数相乘,乘积可乘积可能为能为2n2n位。位。原因之二原因之二：只有只有两个两个操作数相加的加法器操作数相加的加法器难以胜任将难以胜任将n n个位积一次相加起来的运算。个位积一次相加起来的运算。早期计算机中为了简化硬件结构早期计算机中为了简化硬件结构,采用采用串行串行的的1 1位位乘法方案乘法方案,即多次执行即多次执行“加法加法移位移位”操作来实现。操作来实现。这这种方法并不需要很多器件。然而串行方法毕竟太慢。种方法并

41、不需要很多器件。然而串行方法毕竟太慢。随着大规模集成电路问世以来随着大规模集成电路问世以来,出现了各种形式的流出现了各种形式的流水式阵列乘法器水式阵列乘法器,它们属于它们属于并行乘法器并行乘法器。2.2.笔算乘法改进笔算乘法改进AB=A0.1011=0.1A+0.00A+0.001A+0.0001A=0.1A+0.00A+0.001(A+0.1A)=0.1A+0.010A+0.1(A+0.1A)=0.1A+0.10A+0.1(A+0.1A)=2-1A+2-10A+2-1(A+2-1(A+0)第一步第一步 被乘数被乘数A A +0 0第二步第二步 1 1，得新的部分积，得新的部分积第八步第八步

42、1 1，得结果，得结果第三步第三步 部分积部分积 +被乘数被乘数右移一位右移一位3.3.改进后的笔算乘法过程（竖式）改进后的笔算乘法过程（竖式）0.00000.11010.11010.11010.0000初态，部分积初态，部分积 =0=0乘数为乘数为 1 1，加被乘数，加被乘数乘数为乘数为 1 1，加被乘数，加被乘数乘数为乘数为 0 0，加，加 0 01.001110.1001111.00011110.1101乘数为乘数为 1 1，加，加 被乘数被乘数0.100011111 1，得结果，得结果1011=0.01101，形成新的部分积形成新的部分积1101=0.10011，形成新的部分积，形成新

43、的部分积1110=0.01001 1，形成新的部分积形成新的部分积1111=部部 分分 积积 乘乘 数数 说说 明明小结小结 被乘数只与部分积的高位相加被乘数只与部分积的高位相加 由乘数的末位决定被乘数是否与原部分积相加，由乘数的末位决定被乘数是否与原部分积相加，然后然后 1 1 形成新的部分积形成新的部分积，同时同时 乘数乘数 1 1（末（末 位移丢），空出高位存放部分积的低位。位移丢），空出高位存放部分积的低位。硬件硬件3 3个寄存器，具有移位功能个寄存器，具有移位功能一个全加器一个全加器 乘法乘法 运算运算加和移位。加和移位。n n=4=4，加加 4 4 次次，移移 4 4 次次4.4.

44、原码乘法原码乘法(1)(1)原码一位乘运算规则原码一位乘运算规则以小数为例以小数为例设设 x x 原原 =x x0 0.x x1 1x x2 2 x xn n y y 原原 =y y0 0.y y1 1y y2 2 y yn n=(=(x x0 0 y y0 0).).x x*y y*x x y y 原原 =(=(x x0 0 y y0 0).(0.).(0.x x1 1x x2 2 x xn n)(0.)(0.y y1 1y y2 2 y yn n)式中式中 x x*=0.=0.x x1 1x x2 2 x xn n 为为 x x 的绝对值的绝对值 y y*=0.=0.y y1 1y y2

45、2 y yn n 为为 y y 的绝对值的绝对值 乘积的符号位单独处理乘积的符号位单独处理 x x0 0 y y0 0数值部分为绝对值相乘数值部分为绝对值相乘 x x*y y*(2)(2)原码一位乘递推公式原码一位乘递推公式x*y*=x*(0.y1y2yn)=x*(y12-1+y22-2+yn2-n)=2-1(y1x*+2-1(y2x*+2-1(ynx*+0)z1znz0=0z1=2-1(ynx*+z0)z2=2-1(yn-1x*+z1)zn=2-1(y1x*+zn-1)z0开始i=0,0Yn=1 +0 +X Y右移一位 i+1i i=nX0Y0P0 结束Y N N Y 原码乘法 算法流程图

46、o加法次数，n次 o作为加法，一定移位 o符号位单独计算例子o已知X=0.1101Y=-0.1011o计算X原Y原00.0000 00.1101 +00.1101 00.0110 00.1101 部分积 01.0011 1 00.1001 11 00.0000 00.1001 11 00.0100 111 00.1101 01.0001 111 00.1000 1111 乘数 1 Y0 Y0.1011 Y0.101 Y0.10 判断位 说明 P0=0 Y4=1,+|X|右移一位得P1 Y4=1,+|X|右移一位得P2 Y4=0,+0 右移一位得P3 Y4=1,+|X|右移一位得P4=|X|Y|

47、+Y0.1 +例题例题已知已知 x x=0.1110 0.1110 y y=0.1101 =0.1101 求求 x x y y 原原解：解：数值部分的运算数值部分的运算0.00000.11100.11100.00000.11100.1110部分积部分积初态初态z0=0 部部 分分 积积 乘乘 数数 说说 明明0.011101.0001101.01101100.101101101，得得z4逻辑右移逻辑右移逻辑右移逻辑右移1101=0.01111，得得z10110=0.00111，得得z21011=0.10001，得得z31101=数值部分按绝对值相乘数值部分按绝对值相乘 乘积的符号位乘积的符号位

48、 x x0 0 y y0 0=1 0=1=1 0=1x x*y y*=0.1 0 1 1 0 1 1 0*=0.1 0 1 1 0 1 1 0则则 x x y y 原原 =1.1 0 1 1 0 1 1 0=1.1 0 1 1 0 1 1 0特点特点绝对值运算绝对值运算逻辑移位逻辑移位例题例题 结果结果用移位的次数判断乘法是否结束用移位的次数判断乘法是否结束0 1 0 1 1部分积R0乘数R1 Yn 判断位0 1 0 1 11 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 0 1|X X|=0.1101=0.1101，|Y Y|=0.1011=0.1011+|X|X|X|X|+|X|X|X|X|

49、+0 0 0 0 +|X|X|X|X|1 1 1 1 00 0 0 0 00 1 1 0 10 1 1 0 10 0 1 1 00 1 1 0 11 0 0 1 10 1 0 0 10 0 0 0 00 1 0 0 10 0 1 0 00 1 1 0 11 0 0 0 10 1 0 0 0原码乘法逻辑结构 R0 +1计数器 移位控制 加法器 X0 被乘数X R2&R0 部分积计 数 器 R1 乘数Y Yn =+Yn|X|=/2控制电路 (4)(4)原码两位乘原码两位乘原码乘原码乘符号位符号位 和和 数值位数值位 部分部分 分开运算分开运算两位乘两位乘每次用每次用 乘数的乘数的 2 2 位判断位

50、判断 原部分积原部分积是否加是否加 和和 如何加如何加 被乘数被乘数1 11 11 01 00 10 10 00 0新的部分积新的部分积乘数乘数y yn n-1-1 y yn n加加“0”20”2加加 1 1 倍的被乘数倍的被乘数 2 2加加 2 2 倍的被乘数倍的被乘数 2 2加加 3 3 倍的被乘数倍的被乘数 2 23 3？先先 减减 1 1 倍倍 的被乘数的被乘数再再 加加 4 4 倍倍 的被乘数的被乘数4 4 1 13 3100100 01 0111 11(5)(5)原码两位乘运算规则原码两位乘运算规则11 111 010 110 001 101 000 100 0 操操 作作 内内