第12章 结构的动力计算(2).ppt

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1、12.5阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响12.5.1 关于阻尼的定义关于阻尼的定义阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。振动中的阻尼力有多种来源，例如振动中的阻尼力有多种来源，例如:1)结构与支承之间的摩擦。结构与支承之间的摩擦。2)结构材料之间的内摩擦。结构材料之间的内摩擦。3)周围介质的阻力等。周围介质的阻力等。12.5.2 粘滞阻尼理论粘滞阻尼理论该理论最初用于考虑物体以不大的速度在粘性液体中运动时所遇到该理论最初用于考虑物体以不大的速度在粘性液体中运动时所遇到的抗力，因此称为粘滞阻尼力。该理论假设阻尼力其大小与质点速的抗力，因此称为粘滞

2、阻尼力。该理论假设阻尼力其大小与质点速度成正比，其方向与质点速度的方向相反。即阻尼力度成正比，其方向与质点速度的方向相反。即阻尼力式中，式中，c为阻尼系数；为阻尼系数；为质点速度。负号表明为质点速度。负号表明 的方向恒与质点的方向恒与质点速度速度 的方向相反，它在振动时作负功，因而造成能量耗散的方向相反，它在振动时作负功，因而造成能量耗散。运动方程为运动方程为12.5.3 有阻尼的自由振动（单自由度体系）有阻尼的自由振动（单自由度体系）研究有阻尼的自由振动，其目的在于：研究有阻尼的自由振动，其目的在于：1)求考虑阻尼的自振频率求考虑阻尼的自振频率r或自振周期或自振周期Tr。2)求阻尼比求阻尼比

3、，由其大小可知道结构会不会产生振动（，由其大小可知道结构会不会产生振动（1，结构才考虑振动），振动衰减的快慢（结构才考虑振动），振动衰减的快慢（越大，衰减速度越快）越大，衰减速度越快）。令令 ，即得，即得有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程 令令 ，有，有则则 称阻尼比。设微分方程的解为设微分方程的解为则则由下列特征方程所确定由下列特征方程所确定 其解为其解为 根据根据 1、=1、1三种情况，可得出三种运动状态，现三种情况，可得出三种运动状态，现分析如下：分析如下：1.考虑考虑 1的情况（即低阻尼情况）的情况（即低阻尼情况）则则（二共轭虚根）（二共轭虚根）此时，微分方程的解为此时，微分方程的解

4、为再引入初始条件（当再引入初始条件（当t0时时 ，），即得，），即得称为衰减系数。称为衰减系数。设设则则 可见，低阻尼时（可见，低阻尼时（1时）仍属周期运时）仍属周期运动，但不是简谐运动动，但不是简谐运动（因为不是常数，（因为不是常数，t是是变量），是周期性的变量），是周期性的衰减运动。衰减运动。【讨论讨论】下面讨论两个问题：下面讨论两个问题：(1)阻尼对自振频率的影响阻尼对自振频率的影响（随（随 的增大而减小的增大而减小)当当 0.2时（一般建筑结构时（一般建筑结构 0.1），），阻尼，阻尼对自振频率的影响可以忽略不计，故取对自振频率的影响可以忽略不计，故取(2)阻尼对振幅阻尼对振幅 的影响

5、的影响振幅振幅 按照等比级数按照等比级数 或或 逐渐衰减的波动曲线。逐渐衰减的波动曲线。经过一个周期经过一个周期T ，相，相邻两个振幅邻两个振幅yk+1与与yk的比值为的比值为由此可见，振幅是按几何级数由此可见，振幅是按几何级数衰减的，而且衰减的，而且值越大（阻尼越值越大（阻尼越大），则衰减速度越快。大），则衰减速度越快。对上式等号两边倒数（分子与分母换位后）取自然对数，对上式等号两边倒数（分子与分母换位后）取自然对数，因此因此如果如果 0.2，则，则 ，于是可取，于是可取 令令 ，称为振幅的对数递减率，则，称为振幅的对数递减率，则同样，相隔同样，相隔n个周期个周期令令 ，则，则工程上通过实测

6、工程上通过实测yk及及yk+n来计算来计算。关于求体系振动关于求体系振动n周后的振幅周后的振幅 ，其计算式为，其计算式为（当（当n=1）当振动当振动n周后周后2.考虑考虑=1的情况（即临界阻尼情况）的情况（即临界阻尼情况）由由 ，得，得因此，微分方程因此，微分方程 的解为的解为再引入初始条件，得再引入初始条件，得其曲线如图所示。这条曲线仍然具有衰减性质，但不具有波动性质。其曲线如图所示。这条曲线仍然具有衰减性质，但不具有波动性质。综合以上的讨论可知：当综合以上的讨论可知：当 1时，体系在自由反应中是会引时，体系在自由反应中是会引起振动的；而当阻尼增大到起振动的；而当阻尼增大到 1时，体系在自由

7、反应中即不时，体系在自由反应中即不引起振动，这时的阻尼常数称为临界阻尼常数，用引起振动，这时的阻尼常数称为临界阻尼常数，用cr表示表示 在在 中，令中，令 1，则，则 故故称为称为阻尼比阻尼比，是反映阻尼情况的基本参数，是反映阻尼情况的基本参数 3.对于对于 1的情形的情形体系在自由反应中，仍不出现振动现象。由于在实际问题中很少体系在自由反应中，仍不出现振动现象。由于在实际问题中很少遇到这种情况，故不作进一步讨论。遇到这种情况，故不作进一步讨论。【小结小结】关于低阻尼的自由振动计算公式关于低阻尼的自由振动计算公式1)求阻尼比求阻尼比2)求振动周期数求振动周期数3)求振动时间求振动时间4)求结构

8、刚度求结构刚度式中，式中，5)求阻尼系数求阻尼系数6)求振动求振动n周后的振幅周后的振幅【小结小结】关于低阻尼的自由振动计算公式关于低阻尼的自由振动计算公式【例例12-20】图示刚架，它的横梁为无限刚性，质量为图示刚架，它的横梁为无限刚性，质量为2500kg，由于柱顶施，由于柱顶施以水平位移以水平位移y0（初始振幅）作有阻尼自由振动。已测得对数递减率（初始振幅）作有阻尼自由振动。已测得对数递减率g=0.1。(1)振幅衰减至初始振幅振幅衰减至初始振幅5%时，所需的周期数时，所需的周期数n。(2)若在若在25s内振幅衰减到初始振幅的内振幅衰减到初始振幅的5%时，柱子的总抗剪时，柱子的总抗剪刚度刚度

9、k11是多少？是多少？(3)阻尼比阻尼比x x是多少？是多少？解：解：(1)求阻尼比求阻尼比x x 试求：试求：(2)求周期数求周期数n取取n30(周周)。(3求柱子的总抗剪刚度求柱子的总抗剪刚度k11由由有有【例例12-21】图所示门架横梁图所示门架横梁EI0，质量集中在横梁上，设总质量为，质量集中在横梁上，设总质量为m（未（未知）。为了确定水平振动时门架的动力特性，进行了以下振动实验：知）。为了确定水平振动时门架的动力特性，进行了以下振动实验：解：解：(1)求阻尼系数求阻尼系数c 取取TTr（低阻尼），则有（低阻尼），则有在横梁处加一水平力在横梁处加一水平力FP9.8kN，门架发生侧移，门

10、架发生侧移y00.5cm，然后，然后，突然释放，使结构作自由振动。此时，测得周期突然释放，使结构作自由振动。此时，测得周期T 1.5s，并测，并测得一个周期后横梁摆回的侧移为得一个周期后横梁摆回的侧移为y1=0.4cm。试计算：试计算：(1)门架的阻尼系数门架的阻尼系数c；(2)振动振动5周后的振幅周后的振幅y5。(2)求振动求振动5周后的振幅周后的振幅y5 由此可得由此可得(1)求阻尼系数求阻尼系数c 12.5.4 有阻尼的强迫振动（有阻尼的强迫振动（x x 1）运动方程为运动方程为1.任意荷载作用下的有阻尼强迫振动任意荷载作用下的有阻尼强迫振动可仿照相应的无阻尼强迫振动的方法（冲量法）推导

11、如下：可仿照相应的无阻尼强迫振动的方法（冲量法）推导如下：1)由式由式 可知，单独由可知，单独由v02)（y0为二阶微量，被忽略）所引起的振动为为二阶微量，被忽略）所引起的振动为由于冲量由于冲量 ，故在初始时刻由冲量，故在初始时刻由冲量S引起的振动为引起的振动为在由在由t=t 到到t=t+dt 的时段内，荷载的微分冲量的时段内，荷载的微分冲量 。此此dS引起的动力反应引起的动力反应(对于对于tt t)为为3)对式对式(c)进行积分，即得总反应为进行积分，即得总反应为这就是开始处于静止状态的单自由度体系，在任意荷载这就是开始处于静止状态的单自由度体系，在任意荷载FP(t)作用作用下，所引起的有阻

12、尼强迫振动的位移公式。下，所引起的有阻尼强迫振动的位移公式。2)任意荷载任意荷载FP(t)的加载过程可以看作由一系列瞬时冲量所组成。的加载过程可以看作由一系列瞬时冲量所组成。4)如果当如果当t=0时，时，则总位移为，则总位移为式中，第一项为式中，第一项为自由振动部分自由振动部分，第二项为，第二项为伴生自由振动和纯强迫振动伴生自由振动和纯强迫振动。2.突加长期荷载突加长期荷载FP0相应的动力位移图如图所示（此图可与无阻尼体系的动力位移图相应的动力位移图如图所示（此图可与无阻尼体系的动力位移图相对照）。由图看出，最初引起的最大位移可能接近最大相对照）。由图看出，最初引起的最大位移可能接近最大“静静

13、”位移位移 的两倍，然后经过衰减振动，最后停留在静力平衡的两倍，然后经过衰减振动，最后停留在静力平衡位置上。位置上。3.简谐荷载简谐荷载令令则运动方程则运动方程(1)齐次解齐次解这与有阻尼自由振动的运动微分方程的解相同。这与有阻尼自由振动的运动微分方程的解相同。(2)特解特解用待定系数法求解，设用待定系数法求解，设 于是有于是有代入式，使方程在任意时刻得到满足。分别令等式两代入式，使方程在任意时刻得到满足。分别令等式两侧和的相应系数相等，整理后，得侧和的相应系数相等，整理后，得解出解出通解通解y其中两个常数其中两个常数C1和和C2由初始条件确定。由初始条件确定。由于阻尼的存在，频率为由于阻尼的

14、存在，频率为w w r的第一部分（含有阻尼的自由的第一部分（含有阻尼的自由振动和伴生自由振动），含有衰减系数，将很快衰减而消振动和伴生自由振动），含有衰减系数，将很快衰减而消失；频率为失；频率为q q 的第二部分，由于受到荷载的周期影响而不衰的第二部分，由于受到荷载的周期影响而不衰减，这部分振动称为平稳振动（或纯受迫振动）减，这部分振动称为平稳振动（或纯受迫振动）(4)关于平稳振动（有阻尼）的讨论关于平稳振动（有阻尼）的讨论任一时刻的动力位移任一时刻的动力位移可改写为单项形式：可改写为单项形式：式中，式中，yP为有阻尼的纯受迫振动的振幅为有阻尼的纯受迫振动的振幅:为位移与干扰力之间的相位角为位

15、移与干扰力之间的相位角 振幅振幅:为相应的动力系数为相应的动力系数现对式推证如下：现对式推证如下：A、B计算式中的分母提出公因子计算式中的分母提出公因子4，则，则于是有于是有 设设 A中分子：中分子：B中分子中分子:即即故故即即令令则则再令再令 ，则，则(证毕证毕)【讨论讨论1】关于动力系数关于动力系数 的分析结论的分析结论动力系数动力系数 不仅与频率不仅与频率比值比值 有关，而且与有关，而且与阻尼比阻尼比x x 有关。对于不有关。对于不同的值同的值x x，所画出相应，所画出相应的的 与与 之间的关系之间的关系曲线，称为曲线，称为振幅频率振幅频率特性曲线特性曲线。1)当当x x 由由01时，相

16、应时，相应曲线变得更为平缓。曲线变得更为平缓。2)由于有阻尼，且由于有阻尼，且 总是一个总是一个有限值，即有两种极端情况，有限值，即有两种极端情况，一种最危险情况：一种最危险情况：，可看作静力；，可看作静力；，相当于无干扰力；，相当于无干扰力；实际结构实际结构x x0(有阻尼有阻尼)，不可能达到不可能达到，此时为共振。，此时为共振。为了研究共振时动力反应，为了研究共振时动力反应，阻尼的影响是不容忽视的。阻尼的影响是不容忽视的。3)有阻尼时有阻尼时，但二者数值比较接近。，但二者数值比较接近。一般把一般把 作为共振点，并取作为共振点，并取 不发生不发生 处处 ，而稍偏左。，而稍偏左。即可求得即可求

17、得b bmax令令若若x x 0.1，则，则比较两式：比较两式：4)结论：在共振区范围内结论：在共振区范围内(0.75q q/w w1.25)，应考虑阻尼影，应考虑阻尼影响（减幅作用大）；在远离共振区的范围内，可以不考虑阻尼响（减幅作用大）；在远离共振区的范围内，可以不考虑阻尼的影响（偏安全）。的影响（偏安全）。【讨论讨论2】关于相位角关于相位角a 可以看出，有阻尼的位移可以看出，有阻尼的位移y比简谐荷载比简谐荷载FP(t)滞后一个相位角滞后一个相位角a。下面，通过相位角下面，通过相位角a 变化的三个典型情况，来分析振动时相变化的三个典型情况，来分析振动时相应诸力的平衡关系。应诸力的平衡关系。

18、1)当荷载频率很小，即当荷载频率很小，即 时，时，a 180。可知，位移与荷载。可知，位移与荷载趋于反向。此时，体系振动很快，惯性力很大，弹性力和阻尼力趋于反向。此时，体系振动很快，惯性力很大，弹性力和阻尼力相对比较小，故相对比较小，故动荷载主要与惯性力平衡动荷载主要与惯性力平衡。3)当荷载频率接近自振频率，即当荷载频率接近自振频率，即 时，时，a 90。说明位移落。说明位移落后于荷载后于荷载90。因此，当荷载最大时，位移和加速度都接近于零，。因此，当荷载最大时，位移和加速度都接近于零，故故动力荷载主要由阻尼力与之平衡动力荷载主要由阻尼力与之平衡。而在无阻尼振动中，因没有。而在无阻尼振动中，因

19、没有阻尼力去平衡动力荷载，故将会出现位移无限增大的情况。阻尼力去平衡动力荷载，故将会出现位移无限增大的情况。由此看出，在共振情况下，阻尼力起重要作用，它的影响是不容由此看出，在共振情况下，阻尼力起重要作用，它的影响是不容忽略的。在工程设计中，应该注意通过调整结构的刚度和质量来忽略的。在工程设计中，应该注意通过调整结构的刚度和质量来控制结构的自振频率控制结构的自振频率w w，使其不致与干扰力的频率，使其不致与干扰力的频率q q接近，以避免接近，以避免共振现象。一般常使最低自振频率共振现象。一般常使最低自振频率w w 至少较至少较q q 大大25%30%，这样，这样，可控制的比值小于可控制的比值小

20、于0.750.70，即不在共振区内，因而计算时也可，即不在共振区内，因而计算时也可不考虑阻尼影响。不考虑阻尼影响。有阻尼时，有阻尼时，与与 不是同时达到最大值，后者其不是同时达到最大值，后者其 ，即要比前者即要比前者 滞后一个时段滞后一个时段 ；而；而 与与 则是同时则是同时达到最大值。达到最大值。12.6多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动工程实例工程实例1)多层房屋的侧向振动，多层房屋的侧向振动，2)不等高排架的振动，不等高排架的振动，3)块式基础的水块式基础的水平回转振动，平回转振动，4)高耸结构高耸结构(如烟囱如烟囱)在地震作用下的振动，在地震作用下的振动，5)桥梁桥梁的振动，

21、的振动，6)拱坝和水闸的振动等，一般均化为多自由度体系计算。拱坝和水闸的振动等，一般均化为多自由度体系计算。目的目的1)计算自振频率，即计算自振频率，即 ，。2)确定振型（振动形式），即确定振型（振动形式），即 ，或振型常数，或振型常数r r1，r r2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性主振型的正交性。主振型的正交性。方法方法1)刚度法刚度法根据力的平衡条件建立运动微分方程。根据力的平衡条件建立运动微分方程。2)柔度法柔度法根据位移协调条件建立运动微分方程。根据位移协调条件建立运动微分方程。对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。对于多

22、自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。一、一、两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动1.刚度法刚度法(1)运动方程的建立运动方程的建立若不考虑阻尼，取质量若不考虑阻尼，取质量m1和和m2作隔离体，质点作隔离体，质点上作用惯性力和弹性恢上作用惯性力和弹性恢复力，根据达朗伯原理，复力，根据达朗伯原理，可列出平衡方程可列出平衡方程结构所受的力结构所受的力 、与结构的位移与结构的位移 、之间之间应满足刚度方程应满足刚度方程是结构的是结构的刚度系数刚度系数 可得运动方程可得运动方程 也可用矩阵表示为也可用矩阵表示为或缩写为或缩写为式中，式中，为质量矩阵；为质量矩阵；为加速度列阵；为加速度列阵；

23、为刚度矩阵；为刚度矩阵；为位移列阵。为位移列阵。(2)运动方程的求解运动方程的求解设设 1)在振动过程中，两个质点同频率（在振动过程中，两个质点同频率（w w）、同相位（）、同相位（a a）。）。上式所表明的运动具有以下特点：上式所表明的运动具有以下特点：2)在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但二者的比值始终保持不变，即二者的比值始终保持不变，即常数常数这种结构位移形状保持不变的振动形式，称为这种结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型主振型或或振型振型。这样的。这样的振动称为按振型自振（单频振动，具有不变的振动形式），而实

24、际的振动称为按振型自振（单频振动，具有不变的振动形式），而实际的多自由度体系的自由振动是多频振动，振动形状随时间而变化，但可多自由度体系的自由振动是多频振动，振动形状随时间而变化，但可化为各个振型振动的叠加。化为各个振型振动的叠加。(3)求自振频率求自振频率w wi将将 代入运动方程代入运动方程 得得 或或为了要求得为了要求得Y1、Y2不全为零的解答，应使其不全为零的解答，应使其系数行列式系数行列式为零，即为零，即由此式可确定体系的自振频率由此式可确定体系的自振频率w wi，因此称，因此称频率方程频率方程或或特征方程特征方程。将将D展开，整理后，得展开，整理后，得由此可以解出由此可以解出w w

25、2的两个根，即的两个根，即由上式可见，由上式可见，w w只与体系本身的刚度系数及只与体系本身的刚度系数及其质量分布情形有关，而与外部荷载无关。其质量分布情形有关，而与外部荷载无关。约定约定w w1w w2，其中其中w w1称第一圆频率称第一圆频率（最小圆频率，基本圆频率）（最小圆频率，基本圆频率）w w2称第二圆频率。称第二圆频率。(4)求主振型求主振型第一第一,求第一主振型：求第一主振型：令令w w=w w1，则，则代入振型方程代入振型方程由于系数行列式由于系数行列式D0，此二方程是线性相关的（实际上只，此二方程是线性相关的（实际上只有一个独立的方程），不能求出有一个独立的方程），不能求出Y

26、11和和Y21的具体数值，而的具体数值，而只能求得二者的比值只能求得二者的比值 。第一振型（相对于第一振型（相对于w w1），可表示为），可表示为第二，求第二主振型：第二，求第二主振型：令令w w=w w2，则，则代入振型方程代入振型方程 得得同样，也可求得同样，也可求得可作出两个自由度体系的第一主振型和第二主振型，如图所示。可作出两个自由度体系的第一主振型和第二主振型，如图所示。第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 两个自由度体系两个自由度体系 在一般情况下，两个自由度体系的自由振动可以看作是两个频率在一般情况下，两个自由度体系的自由振动可以看作是两个频率及其主振型的组合振动。及其主振

27、型的组合振动。相应于相应于w w1，有一组特解（前述甲组特解），相应于，有一组特解（前述甲组特解），相应于w w2也有一组特解也有一组特解（乙组特解），它们是线性无关的。由这两组特解加以线性组合，（乙组特解），它们是线性无关的。由这两组特解加以线性组合，即得通解为即得通解为甲组特解甲组特解 乙组特解乙组特解式中，两对待定常数式中，两对待定常数A A1、a a1；A A2、a a2由初始条件由初始条件(y0和和v0)确定。确定。两个自由度体系可按第一主振型、第二主振型或二者的组合振动。两个自由度体系可按第一主振型、第二主振型或二者的组合振动。体系能按某个振型自振，其条件是：体系能按某个振型自振，

28、其条件是：y0和和v0应当与此主振型相对应。要想应当与此主振型相对应。要想引起按第一主振型的简谐自振，则所给引起按第一主振型的简谐自振，则所给y01/y02或或v01/v02必须等于必须等于r r1；要想；要想引起按第二主振型的简谐自振，则所给引起按第二主振型的简谐自振，则所给y01/y02或或v01/v02必须等于必须等于r r2。否则，。否则，将产生组合的非简谐的周期运动。将产生组合的非简谐的周期运动。(5)标准化（规一化）主振型标准化（规一化）主振型为了使主振型的振幅具有确定值，需要另外补充条件，这为了使主振型的振幅具有确定值，需要另外补充条件，这样得到的主振型，叫做样得到的主振型，叫做标准化主振型标准化主振型。一般可规定主振型。一般可规定主振型中某个元素为给定值，如规定某个元素中某个元素为给定值，如规定某个元素Yji等于等于1，或最大元，或最大元素等于素等于1。第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型