第12章结构的动力计算.ppt

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1、第第12章结构的动力计算章结构的动力计算 本章教学基本要求：掌握动力分析的基本方法及体系动力自本章教学基本要求：掌握动力分析的基本方法及体系动力自由度数的判别方法；掌握单自由度和两个自由度体系运动方由度数的判别方法；掌握单自由度和两个自由度体系运动方程的建立方法，及其自由振动和在简谐荷载作用下强迫振动程的建立方法，及其自由振动和在简谐荷载作用下强迫振动的计算方法；了解阻尼的作用；了解多自由度体系在一般动的计算方法；了解阻尼的作用；了解多自由度体系在一般动荷载作用下的强迫振动；了解频率的近似计算方法。荷载作用下的强迫振动；了解频率的近似计算方法。本章教学内容的重点：动力自由度数的判别方法；单自本

2、章教学内容的重点：动力自由度数的判别方法；单自由度体系运动方程的建立；单自由度及有限自由度（重由度体系运动方程的建立；单自由度及有限自由度（重点是两个自由度）体系动力特性的计算；单自由度、有点是两个自由度）体系动力特性的计算；单自由度、有限自由度体系在简谐荷载作用下内力、位移的计算；阻限自由度体系在简谐荷载作用下内力、位移的计算；阻尼对振动的影响。尼对振动的影响。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 本章教学内容的难点：用刚度法和柔度法建立单自由度本章教学内容的难点：用刚度法和柔度法建立单自由度体系的运动方程；在动力特性和动力反应计算中，刚度系体系的运动方程；在动力特性和

3、动力反应计算中，刚度系数和柔度系数的计算；单自由度和两个自由度体系在简谐数和柔度系数的计算；单自由度和两个自由度体系在简谐荷载作用下动力反应的计算。荷载作用下动力反应的计算。本章内容简介本章内容简介:12.1概述概述12.2单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程12.3单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动12.4单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动12.5阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.6 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动12.7 主振型的正交性主振型的正交性12.8 多自由度体系在简谐荷载作用

4、下的强迫振动多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动12.9 多自由度体系在一般动力荷载作用下的强迫振动多自由度体系在一般动力荷载作用下的强迫振动*12.10 无限自由度体系的自由振动无限自由度体系的自由振动12.11 近似法计算自振频率近似法计算自振频率All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.1概概 述述12.1.1 结构动力计算的任务结构动力计算的任务1、基本任务、基本任务 结构静力学结构静力学：主要研究结构在静力荷载作用下的静力反应。：主要研究结构在静力荷载作用下的静力反应。静内力静内力静位移静位移（均有惟一性解答）（均有惟一性解答）作为结构设计的依据作为结构设计的

5、依据 结构动力学结构动力学：主要研究结构在动力荷载作用下的动力反应：主要研究结构在动力荷载作用下的动力反应 (即强迫振动即强迫振动)。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院动内力动内力：求最大动内力：求最大动内力 ，进行强度设计，使之满足强度进行强度设计，使之满足强度 要求。要求。动位移动位移:求最大动位移求最大动位移,进行刚度设计进行刚度设计,使之保证振动情况使之保证振动情况 能为人体和生产能为人体和生产(产品产品)所允许。所允许。其他其他(速度和加速度速度和加速度):最大速度最大加速度最大速度最大加速度,不超过其允许不超过其允许值值 使之保证振动情况能为人体和生产使之保

6、证振动情况能为人体和生产(产产 品品)所允许。所允许。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、研究动力反应的前提和基础：须先分析结构的自由振动、研究动力反应的前提和基础：须先分析结构的自由振动自振频率（自振频率（2秒内振动的次数）秒内振动的次数）自振周期（振动一次所需的时间）自振周期（振动一次所需的时间）自振型式（对应于每个自振频率，结构自身所保持的不变的自振型式（对应于每个自振频率，结构自身所保持的不变的 振动形式）振动形式）阻尼常数（反映阻尼情况的基本参数；阻尼：使振动衰减的阻尼常数（反映阻尼情况的基本参数；阻尼：使振动衰减的 因素）因素）以上为结构本身的动力特性以上

7、为结构本身的动力特性，与荷载无关。，与荷载无关。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3、土木工程中常见结构振动计算问题、土木工程中常见结构振动计算问题 高层建筑、高耸结构和大跨度桥梁的风振分析高层建筑、高耸结构和大跨度桥梁的风振分析各类工程结构的抗地震设计各类工程结构的抗地震设计 各类工程结构的抗地震设计各类工程结构的抗地震设计 高速行驶的车辆对桥梁结构的振动影响高速行驶的车辆对桥梁结构的振动影响 动力设备基础上的振动计算和减振隔振设计等动力设备基础上的振动计算和减振隔振设计等多层厂房中由于动力机器引起的楼面振动计算多层厂房中由于动力机器引起的楼面振动计算4、本课程主要介

8、绍具有线弹性特征的杆件结构在非随机荷载、本课程主要介绍具有线弹性特征的杆件结构在非随机荷载 作用下的动力计算方法；对随机荷载作用（如地震、风作用下的动力计算方法；对随机荷载作用（如地震、风 振振），也将作简要介绍。），也将作简要介绍。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.1.2 结构动力计算的特点（三个方面）结构动力计算的特点（三个方面）1、动力荷载的特点、动力荷载的特点（1）静力荷载：荷载（大小、方向、作用位置）不随时）静力荷载：荷载（大小、方向、作用位置）不随时间而变化，或随时间极其缓慢地变化（质点被近似地视为间而变化，或随时间极其缓慢地变化（质点被近似地视为在常

9、力作用下作匀速运动，适用于惯性定律，即牛顿第二在常力作用下作匀速运动，适用于惯性定律，即牛顿第二定律），以致所引起的结构质量的加速度（定律），以致所引起的结构质量的加速度（）及其惯性）及其惯性力（力（）可以忽略不计。）可以忽略不计。2、动力荷载、动力荷载(也称干扰力也称干扰力)：荷载（大小、方向、作用位置）：荷载（大小、方向、作用位置）随时间而明显变化（质点在变力作用下作加速运动），以随时间而明显变化（质点在变力作用下作加速运动），以致所引起的结构质量的加速度（致所引起的结构质量的加速度（）及其惯性力（）及其惯性力（）是不可忽略的。）是不可忽略的。All Rights Reserved重庆大学

10、土木工程学院2、动力反应的特点、动力反应的特点动力反应与结构本身的动力特性有关。因此，在计算动力反动力反应与结构本身的动力特性有关。因此，在计算动力反应之前，必须先分析结构的自由振动，以确定结构的动力特应之前，必须先分析结构的自由振动，以确定结构的动力特性。性。3、动力计算方法的特点、动力计算方法的特点采用动静法或惯性力法，即采用动静法或惯性力法，即 动力计算动力计算 转化为静力计算转化为静力计算 根据达朗伯原理根据达朗伯原理(引入附加惯性力，考虑瞬间动平衡）引入附加惯性力，考虑瞬间动平衡）All Rights Reserved重庆大学土木工程学院动力计算所建立的运动方程为微分方程：动力计算所

11、建立的运动方程为微分方程：1)单自由度体系：对于时间单自由度体系：对于时间t的常微分方程。的常微分方程。2)多自由度体系：常微分方程组。多自由度体系：常微分方程组。3)无限自由度体系：偏微分方程。无限自由度体系：偏微分方程。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.1.3 动力荷载的分类动力荷载的分类1、周期荷载、周期荷载随时间按周期变化的荷载。随时间按周期变化的荷载。（1）简谐荷载：是周期荷载中最简单和最重要的一种。其随）简谐荷载：是周期荷载中最简单和最重要的一种。其随时间时间t 的变化规律可用正弦（图的变化规律可用正弦（图12-1a）或余弦函数表示。）或余弦函数表示。

12、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院（2）非简谐周期荷载：凡有曲柄连杆的机器（如活塞式空气）非简谐周期荷载：凡有曲柄连杆的机器（如活塞式空气压缩机、柴油机、锯机等）在匀速运转时都会产生这种荷载。压缩机、柴油机、锯机等）在匀速运转时都会产生这种荷载。2、冲击荷载、冲击荷载在很短时间内骤然增减的集度很大的荷载。在很短时间内骤然增减的集度很大的荷载。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3、突加常量荷载、突加常量荷载以某一恒值突然施加于结构上并在较长时间内基本保持不以某一恒值突然施加于结构上并在较长时间内基本保持不变的荷载。变的荷载。4、随机荷载、随机荷载在

13、将来任一时刻的数值无法事先确定的荷载。不能用数学在将来任一时刻的数值无法事先确定的荷载。不能用数学式定义，但可采用概率论和数理统计的方法，从统计方面式定义，但可采用概率论和数理统计的方法，从统计方面来进行定义。地震、脉冲风压和波浪所产生的荷载是其典来进行定义。地震、脉冲风压和波浪所产生的荷载是其典型例子。型例子。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院随随 机机 荷荷 载载All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.1.4 动力分析中体系的自由度动力分析中体系的自由度1、动力自由度的定义、动力自由度的定义为了确定体系在运动过程中任一时刻全部质量的位置或变形

14、为了确定体系在运动过程中任一时刻全部质量的位置或变形状态，所需的独立几何参数的数目，称为体系的动力自由度状态，所需的独立几何参数的数目，称为体系的动力自由度（动力分析的基本未知量是质点的位移）。（动力分析的基本未知量是质点的位移）。2、体系动力自由度的简化、体系动力自由度的简化 常用的简化方法有下列三种常用的简化方法有下列三种：（1）集中质量法）集中质量法该方法把连续分布的质量（根据静力等效原则）集中为几个该方法把连续分布的质量（根据静力等效原则）集中为几个质点（质点，无大小、几何点，但有质量），这样，就把无质点（质点，无大小、几何点，但有质量），这样，就把无限自由度体系，简化成有限自由度体系

15、。限自由度体系，简化成有限自由度体系。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院a)具有均布质量的简支梁具有均布质量的简支梁 b)无穷多个无穷多个 集中质量集中质量All Rights Reserved重庆大学土木工程学院All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、广义坐标法、广义坐标法广义坐标法是从数学的角度提供的一个减少动力自由度的简广义坐标法是从数学的角度提供的一个减少动力自由度的简化方法。例如，具有分布质量的简支梁的振动曲线（位移曲化方法。例如，具有分布质量的简支梁的振动曲线（位移曲线），可近似地用三角级数表示为线），可近似地用三角级数表示为式中，式中

16、，是一组给定的函数，称作位移函数或形状函是一组给定的函数，称作位移函数或形状函数，与时间无关；数，与时间无关；是一组待定参数，是一组待定参数，称作广义坐标，称作广义坐标，随时间而变化。因此，体系在任一时刻的位置，是由广义坐随时间而变化。因此，体系在任一时刻的位置，是由广义坐标来确定的。注意：这里的形状函数只要满足位移边界条件，标来确定的。注意：这里的形状函数只要满足位移边界条件，所选的函数形式可以是任意的连续函数。所选的函数形式可以是任意的连续函数。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院也可写成更一般的形式也可写成更一般的形式：式中，式中，是自动满足位移边界条件的函数集合中

17、任意选是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取的取的n个函数，因此，体系简化为个函数，因此，体系简化为n个自由度体系。广义坐标个自由度体系。广义坐标法将应用于后面的振型叠加法和能量法。法将应用于后面的振型叠加法和能量法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院（3）有限单元法）有限单元法有限单元法可看作是广义坐标法的一种特殊应用。把体系有限单元法可看作是广义坐标法的一种特殊应用。把体系的离散化和单元的广义坐标法二者结合起来，就构成了有的离散化和单元的广义坐标法二者结合起来，就构成了有限单元法的概念。限单元法的概念。有限单元法其具体作法是：有限单元法其具体作法是：第一，将结构

18、离散为有限个单元第一，将结构离散为有限个单元 第二，取结点的位移参数第二，取结点的位移参数 和和 ，即，即y1，q1和和y2，q2为为广义坐标。广义坐标。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院第三，分别给出与结点的位移参数（均为第三，分别给出与结点的位移参数（均为1时）相应的形状时）相应的形状函数函数 ，即，即 、和和 ，称作插值函数（它们，称作插值函数（它们确定了指定结点位移之间的形状）。确定了指定结点位移之间的形状）。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院第四，仿照公式第四，仿照公式(b)，体系的位移曲线可用四个广义坐标及，体系的位移曲线可用四个广义

19、坐标及其相应的四个插值函数表示为其相应的四个插值函数表示为 可事先给定，让其满足边界条件。这样，就把无限自可事先给定，让其满足边界条件。这样，就把无限自由度体系简化为四个自由度（由度体系简化为四个自由度（y1，q1，y2，q2）体系。有限）体系。有限单元法综合了前面集中质量法和广义坐标法的某些特点。单元法综合了前面集中质量法和广义坐标法的某些特点。须强调的是：动力分析中的自由度，一般是变形体体系中质须强调的是：动力分析中的自由度，一般是变形体体系中质量的动力自由度。而前面第量的动力自由度。而前面第2章几何组成分析中的自由度，章几何组成分析中的自由度，是不考虑杆件弹性变形的体系的自由度。是不考虑

20、杆件弹性变形的体系的自由度。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3、动力自由度的确定、动力自由度的确定（1）用广义坐标法或有限元法将无限自由度体系简化为有限）用广义坐标法或有限元法将无限自由度体系简化为有限自由度体系时，体系的自由度数等于广义坐标数或独立结点自由度体系时，体系的自由度数等于广义坐标数或独立结点位移数。位移数。（2）用集中质量法简化得到的有限自由度体系，在确定体）用集中质量法简化得到的有限自由度体系，在确定体系的自由度数目时，应注意以下两点：系的自由度数目时，应注意以下两点：1)一般受弯结构的轴向变形忽略不计。一般受弯结构的轴向变形忽略不计。2)动力自由度数

21、不一定等于集中质量数，也与体系是否超动力自由度数不一定等于集中质量数，也与体系是否超静定和超静定次数无关，但往往与计算精度有关。静定和超静定次数无关，但往往与计算精度有关。确定动力自由度的方法：一般可根据定义直接确定；对于对确定动力自由度的方法：一般可根据定义直接确定；对于对于比较复杂的体系，则可用限制集中质量运动的方法（即附于比较复杂的体系，则可用限制集中质量运动的方法（即附加支杆的方法）来确定。加支杆的方法）来确定。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1)单自由度体系单自由度体系 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2)多自由度体系多自由度体系

22、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.2单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程描述体系振动时质点动位移的数学表达式，称为动力体系的描述体系振动时质点动位移的数学表达式，称为动力体系的运动方程（亦称振动方程）。运动方程（亦称振动方程）。单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振动）。动）。根据达朗伯原理建立运动方程的方法称为动静法（或惯性根据达朗伯原理

23、建立运动方程的方法称为动静法（或惯性力法）。具体作法有两种：刚度法和柔度法。力法）。具体作法有两种：刚度法和柔度法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院刚度法：刚度法：将力写成位移的函数，按平衡条件列出外力（包括将力写成位移的函数，按平衡条件列出外力（包括 假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗 力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方 程），类似于位移法。程），类似于位移法。柔度法：柔度法：将位移写成力的函数，按位移协调条件列出位移将位移写成力的函数，按位移协调条件列出位移 方程（柔度方程

24、），类似于力法。方程（柔度方程），类似于力法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1、单自由度体系的振动模型、单自由度体系的振动模型 12.2.1 按平衡条件建立运动方程按平衡条件建立运动方程 刚度法刚度法2、取质量、取质量m为隔离体，其上有四种力作用为隔离体，其上有四种力作用 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院（1）动力荷载：）动力荷载：（2）弹性恢复力：）弹性恢复力：(12-1)（3）阻尼力：）阻尼力：(12-2)（4）惯性力：）惯性力：(12-1)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3、建立运动方程、建立运动方程根据达朗

25、伯原理，由根据达朗伯原理，由Fx0，得，得将式将式(12-1)式式(12-3)代入，即得代入，即得(12-4)(12-5)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.2.2 按位移协调条件建立运动方程按位移协调条件建立运动方程柔度法柔度法 质量质量m所产生的水平位移，可视为由动力荷载所产生的水平位移，可视为由动力荷载FP(t)、惯性力、惯性力FI和和阻尼力阻尼力FC共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原理，得共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原理，得(12-6)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(12-6)11柔度系数。表示在质量的运动方向施加

26、单位力时，柔度系数。表示在质量的运动方向施加单位力时，在该运动方向所产生的静力位移。在该运动方向所产生的静力位移。将式将式(12-2)阻尼力和式阻尼力和式(12-3)惯性力代入上式，即得惯性力代入上式，即得(12-7)因为单自由度体系中因为单自由度体系中1/11k11（k11和和11互为倒数互为倒数)，故有，故有 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【注意注意】当当 不是直接作用在质量及其运动方向上时，不是直接作用在质量及其运动方向上时，则式则式(12-6)中右边第三项中右边第三项11FP(t)应改为应改为1PFP(t)。1P表示由于作用在质量运动方向所产生的位移。表示由

27、于作用在质量运动方向所产生的位移。相应地，式相应地，式(12-7)、式、式(12-5)中右边项中右边项FP(t)应改为应改为 称等效动力荷载。同时，它与由于作用而在质点处添加的附称等效动力荷载。同时，它与由于作用而在质点处添加的附加约束上所产生的支座反力大小相等。加约束上所产生的支座反力大小相等。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-1】试用刚度法建立图试用刚度法建立图12-12a所示刚架受动力荷载所示刚架受动力荷载FP(t)作用的运动方程。作用的运动方程。解：解：(1)确定自由度（建模）：结构的质量确定自由度（建模）：结构的质量m分布于刚性横梁，分布于刚性横梁

28、，只能产生水平位移，属单自由度体系。只能产生水平位移，属单自由度体系。(2)确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为，向右为正确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为，向右为正。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)绘隔离体受力图：取出隔离体，如图绘隔离体受力图：取出隔离体，如图12-12b所示。图中给出所示。图中给出了惯性力、阻尼力和弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。了惯性力、阻尼力和弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。(4)列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院式中

29、，式中，将式将式(b)代入式代入式(a)，经整理，可得运动方程，经整理，可得运动方程(a)(b)(b)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院式中，刚度系数式中，刚度系数 k又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（1）时，楼层中各柱剪力之和，如图）时，楼层中各柱剪力之和，如图12-12c所示）。所示）。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-2】试用刚度法建立图试用刚度法建立图12-13a所示静定梁的运动方程。所示静定梁的运动方程。解：本例为单自解：本例为单自由度体系。取由度体系。取a为坐标。在

30、某一为坐标。在某一时刻时刻t，体系位，体系位移如图移如图12-13b所所示。受力如图示。受力如图12-13c所示所示All Rights Reserved重庆大学土木工程学院解：由解：由MA0，得，得整理后，得运动方程整理后，得运动方程All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-3】试用柔度法建立图试用柔度法建立图12-14a所示静定刚架受动力荷载所示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。作用的运动方程。解：本题为单自由度体系的振动。取质量解：本题为单自由度体系的振动。取质量m水平方向的位水平方向的位 移移y为坐标为坐标。运动方程为运动方程为 All Rights Res

31、erved重庆大学土木工程学院绘出绘出 、图如图所示。由图乘法得图如图所示。由图乘法得得运动方程得运动方程 图图图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院也可写作也可写作 为等效动力荷载为等效动力荷载 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.2.3刚度法的三种形式刚度法的三种形式1、方法一：发生位移所需施加、方法一：发生位移所需施加之力等于全部外力（包括之力等于全部外力（包括FI和和FC）。由图）。由图12-15a、b，可知，可知上式可改写为上式可改写为All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、方法二：取质点为隔离体，列动力平衡方

32、程（已如前述）、方法二：取质点为隔离体，列动力平衡方程（已如前述）3、方法三：添加附加约束。、方法三：添加附加约束。其概念与静力计算中位移法相其概念与静力计算中位移法相似，仅在外力中须引入惯性力，似，仅在外力中须引入惯性力，同时所有反力均假设为正。考同时所有反力均假设为正。考虑到在真正的动平衡位置上，虑到在真正的动平衡位置上，体系必然恢复自然的运动状态，体系必然恢复自然的运动状态，因而附加约束反力因而附加约束反力R1应等于零应等于零。可得。可得 亦即亦即All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.2.4 建立运动方程小结建立运动方程小结1)判断动力自由度数目，标出质量未知位

33、移正向。判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。2)沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以负号。负号。3)根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔度方程还是写刚度方程。柔度方程还是写刚度方程。4)刚度方程几种写法的选择：刚度方程几种写法的选择：当结构给质体的反力亦即弹性恢复力当结构给质体的反力亦即弹性恢复力 容易求时，宜以容易求时，宜以质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方程（方法一）。程（方法一）。当用上述

34、方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加约当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加约束的方法列方程（方法三）。束的方法列方程（方法三）。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 12.3.1 自由振动自由振动1.自由振动自由振动 由于外界的干扰，质点由于外界的干扰，质点m离开静力平衡位置，而当干扰力消失离开静力平衡位置，而当干扰力消失后，由于弹性恢复力的作用，质点将在静平衡位置附近作往后，由于弹性恢复力的作用，质点将在静平衡位置附近作往返运动。这种在运动过程中不受干扰力的作用，而由返运动。这种在运动过程中不受干扰力的作

35、用，而由初位移初位移y0或初速度或初速度v0（即）或者两者共同作用下所引起的振动，称为自（即）或者两者共同作用下所引起的振动，称为自由振动或固有振动。由振动或固有振动。2.强迫振动强迫振动 体系质点在外部干扰力作用下的振动，称为强迫振动。体系质点在外部干扰力作用下的振动，称为强迫振动。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.3.2 运动方程的建立及求解运动方程的建立及求解根据式根据式(2-5)令令 得体系无阻尼自由振动方程为得体系无阻尼自由振动方程为 可得可得(12-9)令令(12-8)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院这是一个二阶常系数齐次线性

36、微分方程。其特征方程为这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。其特征方程为(12-9)故通解为故通解为(12-10)(12-10)当当t0时，时，（初位移），可求出（初位移），可求出 而而 （初速度），可求出（初速度），可求出 。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院故有故有 (12-12)第一部分：单独由引起，质点按规律振动第一部分：单独由引起，质点按规律振动；第二部分：单独由引起，质点按规律振动第二部分：单独由引起，质点按规律振动。为将位移方程写成更简单的单项形式，引入符号为将位移方程写成更简单的单项形式，引入符号a和和a。使之满。使之满足足 即即(12-14)(简谐振动简

37、谐振动)代入式代入式(12-12)，得，得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院由由 可得可得All Rights Reserved重庆大学土木工程学院为了进一步说明为了进一步说明、a和和a的物理意义，考查一个比拟的匀速圆的物理意义，考查一个比拟的匀速圆周运动周运动 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院质点作自由振动时其位移随时间变化的规律，与图质点作自由振动时其位移随时间变化的规律，与图12-18a中中质点作匀速圆周运动时其竖标的改变规律相同。质点作匀速圆周运动时其竖标的改变规律相同。、a和和a的物理意义为：的物理意义为：自振频率或圆频率。自振频率

38、或圆频率。a振幅（自由振动时最大的幅度），振幅（自由振动时最大的幅度），ymax。a初始相位角，标志着初始相位角，标志着t0时质点的位置。时质点的位置。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.3.3 自由振动中位移、速度、加速度和惯性力的变化规律自由振动中位移、速度、加速度和惯性力的变化规律由位移由位移 ，可得，可得由速度由速度 ，可得，可得由加速度由加速度 ，可得，可得 由惯性力由惯性力 ，可得，可得(a)(b)(c)(d)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【注二注二】惯性力惯性力 ，永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系永远与位移

39、方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系数为数为 。【注一注一】由式由式(c)可知最大加速度的绝对值等于振幅可知最大加速度的绝对值等于振幅a与频率与频率平方平方w2乘积，将式乘积，将式(a)与式与式(c)对照，可见对照，可见 ，即加，即加速度与位移成比例，比例系数为速度与位移成比例，比例系数为w2，但方向相反（负号），但方向相反（负号），表示加速度永远指向平衡位置。表示加速度永远指向平衡位置。(c)(a)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.3.4 自振周期与自振频率自振周期与自振频率1.自振周期自振周期 所以自振周期所以自振周期因因表示体系振动一次所需要的时间，其单

40、位为表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒）（秒）。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.工程频率工程频率表示体系每秒振动的次数，其单位为表示体系每秒振动的次数，其单位为s-1（1/秒）或秒）或Hz（赫（赫兹）。一般建筑工程用钢为兹）。一般建筑工程用钢为78次次/s，钢筋混凝土为，钢筋混凝土为4次次/s，属低频；一般机器为高频。，属低频；一般机器为高频。3.自振频率自振频率 表示体系在表示体系在2 秒内振动的次数，因此也称圆频率。其单位秒内振动的次数，因此也称圆频率。其单位为为rad/s（弧度数（弧度数/秒），也常简写为秒），也常简写为s-1。动力计算中定义。动力

41、计算中定义参见式参见式(12-8)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院w是体系固有的非常重要的动力特性。在强迫振动中，当体系是体系固有的非常重要的动力特性。在强迫振动中，当体系的自频的自频w与强迫干扰力的扰频与强迫干扰力的扰频很接近时（很接近时（0.751.25区段），区段），将会产生共振。为避免共振，就必须使将会产生共振。为避免共振，就必须使w 与与 远离。远离。4.T 和和w 的一些重要性质的一些重要性质(1)T和和w只与结构的只与结构的m和和k11有关，而与外界的干扰因素无关。有关，而与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅干扰力的大小只能影响振幅a的大小。的

42、大小。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)结构的结构的T、w是结构动力性能的很重要的数量标志。两是结构动力性能的很重要的数量标志。两个外表相似的结构，如果个外表相似的结构，如果T、w相差很大，则动力性能相差相差很大，则动力性能相差很大；反之，两个外表看来并不相同的结构，如果其很大；反之，两个外表看来并不相同的结构，如果其T、w相近，则在动力荷载作用下其动力性能基本一致。地震中相近，则在动力荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常发现这样的现象。常发现这样的现象。(2)因此质量越大，因此质量越大，；要改变要改变T、w，只有从，只有从改变结构的质量或刚度（改变截面、改变结

43、构形式）着手。改变结构的质量或刚度（改变截面、改变结构形式）着手。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院5.T、w的计算公式小结的计算公式小结(1)自振周期自振周期式中，式中，g为重力加速度；为重力加速度；W=mg为质点的重力；为质点的重力；st=Wk11，表示，表示将重力将重力W=mg施加于振动方向所施加于振动方向所产生的静位移。产生的静位移。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)自振频自振频率率(12-20)(3)工程频率工程频率All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-4】试求图试求图12-19a所示等截面梁的自振

44、周期所示等截面梁的自振周期T和和自振频率自振频率w。已知。已知E206GPa206109N/m2，I245cm4=24510-8m4。解：采用柔度法。解：采用柔度法。b)图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-5】试求图试求图12-20a所示结构的所示结构的w。各杆。各杆EIC。图图解：解：All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-6】试求图试求图12-21a所示结构的自振频率所示结构的自振频率w。图图解：采用柔度法。解：采用柔度法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-7】求图求图12-22a所示结

45、构的自振周期所示结构的自振周期T。解：采用刚度法。解：采用刚度法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院解：采用刚度法。解：采用刚度法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-8】试求图试求图12-23a所示结构的自振频率所示结构的自振频率w。已知弹簧刚。已知弹簧刚度系数度系数 。梁的弯曲刚度为。梁的弯曲刚度为EI。解：本题是静定结构，通解：本题是静定结构，通常用柔度法计算比较方便。常用柔度法计算比较方便。11=1+2All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-9】试求图试求图12-24a所示结构的自振周期所示结构的自

46、振周期T。解：解：All Rights Reserved重庆大学土木工程学院All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.3.5 多质点（包括均质刚性杆）的单自由度体系多质点（包括均质刚性杆）的单自由度体系这类体系各质点仍是平动，而质量杆一般有转动及平动，因这类体系各质点仍是平动，而质量杆一般有转动及平动，因此，不能再简单地用单质点平动公式和表示。此，不能再简单地用单质点平动公式和表示。w 的计算可以的计算可以有以下几种途径：有以下几种途径：1)直接平衡法；直接平衡法；2)等效质量法；等效质量法；3)旋转振旋转振动公式法等。动公式法等。关于直接平衡法：根据达朗伯原理，引入附加

47、惯性力，考虑关于直接平衡法：根据达朗伯原理，引入附加惯性力，考虑瞬间动平衡，建立运动方程，并与单自由度体系的微分方程瞬间动平衡，建立运动方程，并与单自由度体系的微分方程作比较，即可确定作比较，即可确定w 的表达式。其关键是适当选择质量独立的表达式。其关键是适当选择质量独立位移参数（坐标）。位移参数（坐标）。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-10】试求图试求图12-25a所示梁的自振频率所示梁的自振频率w。解：在例解：在例12-2中，按动静法已建中，按动静法已建立了运动方程立了运动方程 改写为改写为All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例

48、例12-11】求图求图12-26a所示梁的自振频率所示梁的自振频率w。解：由解：由MA0，列动力平衡方程，得，列动力平衡方程，得All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-12】求图求图12-27a所示静定梁的自振频率所示静定梁的自振频率w。解解:All Rights Reserved重庆大学土木工程学院取取CB梁段为隔离体图梁段为隔离体图(d)，由，由MB 0，列动力平衡方程，列动力平衡方程 亦即亦即All Rights Reserved重庆大学土木工程学院已知已知 ，代入式，代入式(a)，整理后，整理后,得动力平衡方程得得动力平衡方程得(a)对比对比 ，得，得所以

49、所以All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.4 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动结构在动力荷载（也称干扰力）作用下的振动称为强迫振动或结构在动力荷载（也称干扰力）作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。本节研究无阻尼的强迫振动。受迫振动。本节研究无阻尼的强迫振动。在公式在公式 中，若不考虑阻尼，则得单自由中，若不考虑阻尼，则得单自由度体系强迫振动的微分方程为度体系强迫振动的微分方程为或写成或写成All Rights Reserved重庆大学土木工程学院若若FP(t)不是直接作用在质点上时不是直接作用在质点上时(见图见图12-28a、d)，则可将，则可将其化为直接

50、作用在质点上的等效动力荷载其化为直接作用在质点上的等效动力荷载FE(t)，如图，如图12-28c、f所示。所示。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院等效动力荷载的幅值等效动力荷载的幅值式中，式中，FP为动力荷载的幅值，为动力荷载的幅值，1P为为FP作用下在质点振动方向作用下在质点振动方向产生的位移。产生的位移。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.4.1 简谐荷载简谐荷载(本节重点本节重点)设设式中，式中，为简谐荷载的频率（扰频）；为简谐荷载的频率（扰频）；F为荷载的最大值（动为荷载的最大值（动力荷载幅值）。将式力荷载幅值）。将式(a)代入式代入