常微分方程3.5.ppt
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1、3.5 数值解数值解 实际中,很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是,只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。常微分方程作为微分方程的基本类型之一,在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题,也可以化为常微分方程问题来近似求解。本章讨论常微分方程的数值解法对于一个常微分方程:通常会有无穷个解。如:因此,我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出,如下面的初值问题:为了使解存在唯一,一般,要加限制条件在f上,要求f对y满足Lipschitz条件:常微分方程的解是一个函数,但是,计算机
2、没有办法对函数进行运算。因此,常微分方程的数值解并不是求函数的近似,而是求解函数在某些节点的近似值。例:我们对区间做等距分割:设解函数在节点的近似为由数值微分公式,我们有,则:向前差商公式可以看到,给出初值,就可以用上式求出所有的基本步骤如下:解差分方程,求出格点函数 对区间作分割:求 在 上的近似值 。称为分割上的格点函数 由微分方程出发,建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足:A、解存在唯一;B、稳定,收敛;C、相容数值方法,主要研究步骤,即如何建立差分方程,并研究差分方程的性质。这种方法,称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上,求未知函数y在这些点上的值的近似。我们的目的,就是求
3、这个格点函数为了考察数值方法提供的数值解,是否有实用价值,需要知道如下几个结论:步长充分小时,所得到的数值解能否逼近问题得真解;即收敛性问题 误差估计 产生得舍入误差,在以后得各步计算中,是否会无限制扩大;稳定性问题8.1 Euler公式公式做等距分割,利用数值微分代替导数项,建立差分方程。1、向前差商公式所以,可以构造差分方程称为局部截断误差。显然,这个误差在逐步计算过程中会传播,积累。因此还要估计这种积累在在假假设设 yi=y(xi),即即第第 i 步步计计算算是是精精确确的的前前提提下下,考考虑虑的的截截断断误误差差 Ri=y(xi+1)yi+1 称称为为局局部部截截断断误误差差/*lo
4、cal truncation error*/。若若某某算算法法的的局局部部截截断断误误差差为为O(hp+1),则则称称该该算算法法有有p 阶精度。阶精度。记为2、收敛性考察局部误差的传播和积累称为整体截断误差是1阶方法3、稳定性误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用我们考虑一种简单情况,即仅初值有误差,而其他计算步骤无误差。设是初值有误差后的计算值,则所以,我们有:可以看出,向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小,以后各步的误差也充分小4、向后差商公式是隐格式,要迭代求解可以由向前差商公式求出5、中心差商公式是多步,2阶格式,该格式不稳定6、梯形法基于数值积分
5、的公式对微分方程做积分,则:类似,可以算出其误差估计式:2阶的方法所以,有格式为:是个隐式的方法,要用迭代法求解局部截断误差8.2 RungeKutta法法由Taylor展开记为所以,可以构造格式这种格式使用到了各阶偏导数,使用不便。从另一个角度看,取(x,y)及其附近的点做线性组合,表示F,问题就好办了。当然,要求此时的展开精度相同。这种方法称为RungeKutta法在(x,y)处展开,比较以2阶为例,设有:1、改进的Euler公式2、Heun公式一般的RungeKutta法构造常见的为3阶,4阶公式8.3 线性多步法线性多步法用用若干若干节点处的节点处的 y 及及 y 值的值的线性组合线性
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