第03节 齐次方程.ppt

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1、 一、一、预备预备知知识识齐齐次函数次函数 二、齐次方程二、齐次方程 三、可化为齐次方程的方程三、可化为齐次方程的方程第三节第三节 齐次方程齐次方程 华南理工大学数学科学学院华南理工大学数学科学学院 杨立洪杨立洪 博士博士一、预备知识一、预备知识齐次函数齐次函数如果函数如果函数 满足恒等式满足恒等式（1）则称则称 是是k k次齐次函数。次齐次函数。特别，当特别，当k=0k=0时，即有时，即有 （2）则称则称 是是零次齐次函数零次齐次函数（简称（简称齐次函数齐次函数）。）。例如，例如，是二次齐次函数，是二次齐次函数，又如，又如，是（零次）齐次函数是（零次）齐次函数，因为因为因为因为如果如果 为零

2、次齐次函数，则为零次齐次函数，则 一定能表示成一定能表示成 的形式。的形式。例如：例如：二、齐次方程二、齐次方程形如形如的一阶微分方程称为齐次的一阶微分方程称为齐次方程，怎样判断一阶微分方程是齐次方程呢？方程，怎样判断一阶微分方程是齐次方程呢？可以证明，一阶微分方程满足下列条件：可以证明，一阶微分方程满足下列条件：在在 中，中，是零次齐次函数；是零次齐次函数；是同次是同次 齐次函数时，该一阶微分方程是齐次方程。齐次函数时，该一阶微分方程是齐次方程。中中与与或在或在解法：解法：针对齐次方程针对齐次方程，作变量代换作变量代换 即即 ，则，则 将其代入原式，得：将其代入原式，得：，即，即 这是一个关

3、于变量这是一个关于变量u与与x的可分离变量的方程；的可分离变量的方程；然后，然后，利用分离变量法求得利用分离变量法求得 例题：例题：例例1 求方程求方程 满足满足 的特解的特解 解解 这是齐次方程。这是齐次方程。令令 则则，故，故代入原方程，得代入原方程，得：分离变量，并两边积分，得：分离变量，并两边积分，得：故故 即即将将 代回，得原方程的通解代回，得原方程的通解:再将初始条件再将初始条件 代入，得代入，得 于是，所求的特解为于是，所求的特解为 例例2 求方程求方程 的通解的通解 解解 原方程化为原方程化为,即即 这是齐次方程，这是齐次方程，令令,即即 故故 代入得：代入得：进行分离变进行分

4、离变量整理，并两边积分，量整理，并两边积分，故所求通解为：故所求通解为：这是关于变量这是关于变量u与与x的可分离变量方程，的可分离变量方程，得：得：例例3 求方程求方程 的通解的通解 解：解：这是一个齐次方程。先将方程变形为这是一个齐次方程。先将方程变形为令令,即即，故，故 代入得：代入得：这是关于变量这是关于变量u与与x的可分离变量方程，的可分离变量方程，分离变量分离变量，并，并两边积分，得：两边积分，得：故故 所以，原方程通解为所以，原方程通解为：三、可化为齐次方程的方程三、可化为齐次方程的方程形如形如的一阶的一阶微分方程微分方程,可通过适可通过适当的变换当的变换平移变平移变换，换，我们通

5、过下面的一个实例来介绍这种方法：我们通过下面的一个实例来介绍这种方法：化为齐次方程。化为齐次方程。例例 求方程求方程 的通解。的通解。解：解：由由 得：得：作变换作变换，则，则 分析：这不是齐次方程，如何作变换，分析：这不是齐次方程，如何作变换，使右端分式中使右端分式中的分母、分子都不含常数项，的分母、分子都不含常数项，呢？呢？办法是：平移变换。办法是：平移变换。而左端而左端这是一个齐次方程，令这是一个齐次方程，令，即，即 则则 代入并整理和积分，得代入并整理和积分，得：于是，原方程变为：于是，原方程变为：故故 于是，所求通解为：于是，所求通解为：五、小结五、小结本节主要内容是：本节主要内容是

6、：1齐次方程齐次方程 2齐次方程的解法：关键是令齐次方程的解法：关键是令，从而，从而 原方程转化为可分离原方程转化为可分离 变量方程去求解；变量方程去求解；，则，则，代入原方程后，代入原方程后，3可化为齐次方程的方程：可化为齐次方程的方程：其解法要点：令其解法要点：令 将原方程化为将原方程化为 齐次方程。齐次方程。六、重点六、重点齐次方程与相应的变量代换法。齐次方程与相应的变量代换法。七、难点七、难点对某些一阶微分方程，寻找恰当的变量对某些一阶微分方程，寻找恰当的变量代换，使其化为代换，使其化为可分离变量方程去求解。可分离变量方程去求解。八、主要题型八、主要题型1求方程求方程 的通解与特解。的

7、通解与特解。2求方程求方程 的解。的解。九、学习方法指导九、学习方法指导变量代换比较灵活，需逐步积累经验，变量代换比较灵活，需逐步积累经验，尤其注意一尤其注意一些常见的变量代换。些常见的变量代换。通过求解齐次方程，提出了选择合适的通过求解齐次方程，提出了选择合适的变量代换的变量代换的问题。问题。如：商代换如：商代换 积代换：积代换：，等等，等等；平移代换；平移代换 幂代换：幂代换：；和代换：；和代换：；十、课堂练习题十、课堂练习题1解方程解方程 2解方程解方程 十一、课堂练习题解十一、课堂练习题解 1解：解：原方程化为原方程化为 这是齐次方程，令这是齐次方程，令，即，即故故 代入得：代入得：分

8、离变量：分离变量：两边积分：两边积分：故故 从而从而 故所求通解为：故所求通解为：即即2解：解：先求解方程组：先求解方程组：得得 作变换作变换 则原方程化为：则原方程化为：这是一个齐次方程，令这是一个齐次方程，令 则有则有 这是可分离变量方程，通过分离变量，这是可分离变量方程，通过分离变量，故故 于是，原方程通解为于是，原方程通解为 两边积分，得：两边积分，得：十二、自测题十二、自测题 一、求下列齐次方程的通解：一、求下列齐次方程的通解：1 2 二、求下列齐次方程的特解二、求下列齐次方程的特解1 2 三、三、将方程将方程 化为齐次方程，化为齐次方程，并求通解并求通解.十三、自测题题解十三、自测

9、题题解一、一、1解解 设设，则，则 代入并整理计算得代入并整理计算得 故所求通解为：故所求通解为：，或，或2解解：原方程化为原方程化为 令令 则则代入并计算得：代入并计算得：故故 于是，所求通解为于是，所求通解为 二、二、1解解：原方程化为原方程化为令令,则则代入并计算得代入并计算得 即即 故故 所以所以 即即为通解为通解将将代入，得：代入，得：于是所求特解为：于是所求特解为：2解解 原方程化为原方程化为 令令，则，则代入并整理，得代入并整理，得 两边积分，得：两边积分，得：将将 代入，得代入，得 C=1 于是，所求特解为于是，所求特解为即即变量还原，得通解：变量还原，得通解：三、解三、解 令令 得得作变换作变换 原方程化为原方程化为 再令再令，则，则代入并整理，得代入并整理，得 两边积分得两边积分得将变量还原得将变量还原得化简得化简得