2019版高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用（一）学案 苏教版选修2-3.doc

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1、- 1 -1.5.21.5.2 二项式系数的性质及应用二项式系数的性质及应用( (一一) )学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用知识点 二项式系数的性质(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？思考 2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？思考 3 二项式系数的最大值有何规律？梳理 (1)二项式系数表的特点在同一行中，每行两端都是_，与这两个 1 等距离的项的系数_每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(2)二

2、项式系数的性质一般地，(ab)n展开式的二项式系数 C ，C ，C 有如下性质：0n1nn n- 2 -C _；m nC C_；m nm1n当r时，C _；n1 2r n当r时，_C ；n1 2r nC C C C _.0n1n2nn n类型一 与二项式系数表有关的问题例 1 如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值反思与感悟 对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论跟踪训练 1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间

3、的数应是_类型二 求展开式的系数和- 3 -例 2 设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值3(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR R，m，nN N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1 即可；对(axby)n(a，bR R，nN N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(

4、x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，f1f12偶数项系数之和为a1a3a5.f1f12跟踪训练 2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；- 4 -(3)所有奇数项系数之和1在(2x )4的展开式中，各项的二项式系数的和为_1 x2若(x3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7ab)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为_3观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是_4设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_5若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则 log

5、2(a1a3a11)_.用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定- 5 -答案精析答案精析问题导学知识点思考 1 在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和思考 2 2,4,8,16,32,64，其系数和为 2n.思考 3 当n2,4,6 时，中间一项最大，当n3,5 时中间两项最大梳理 (1)1 相等 (2)CnmnC C C 2nmn1r1nr1n题型探究例 1 解 由题意及杨辉三角的特点可得S16(12)(33)(64

6、)(105)(369)(C C )(C C )(C C )(C C )0 21 22 31 32 41 42 91 9(C C C C )(239)2 22 32 42 9C164.3 108 292跟踪训练 1 70例 2 解 (1)令x0，则展开式为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，3a1a2a100(2)1002100.3(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.3与联立相减，得a1a3a99.2 31002 31002(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2

7、a3a98a99a100)(2)(2)10011001.33(5)Tr1(1)rC2100r()rxr，r1003a2k10(kN N*)|a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2)100.3跟踪训练 2 解 设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.- 6 -(1)二项式系数之和为 C C C C 29.0 91 92 99 9(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a8，591 2即所有奇数项系数之和为.591 2当堂训练116 2.5 3.6 4.15 5.7