第三章点直线平面的投影.ppt

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1、 P Pb A AP P采用多面投影采用多面投影。1 1、点的投影规律、点的投影规律 过空间点过空间点A A的的投射线与投投射线与投影面影面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面面上的投影。上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。3.1 点的投影点的投影a 第三章第三章 点点、直线、平面、直线、平面的投影的投影解决办法？解决办法？1H HW WV V2 2、点的三面投影、点的三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水

2、 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y2W WH HV VO OX XZ ZY Y空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示

3、。小写字母表示。a aa A A3X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开W WV VH HaaxazZ Zaa yayaX XY Y Y YO O 4X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 点的投影规律点的投影规律:a aOXOX轴轴 aax=a ax=aay=xaazayY YZ Zaza X XY YayO Oaaxaya a a OZOZ轴轴=y=A Aa（A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x=A Aa（A A到到W W面的距离面的距离）a ay=z=A Aa（A A到到H

4、H面的距离面的距离）a azXZY5a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 63 3、两点的相对位置、两点的相对位置 两点的相对位置指两点两点的相对位置指两点在空间的在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前 z z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。b aa a b bX X

5、Y YY YZ Zo o7()a cc 4 4、重影点、重影点 空间两点在某一空间两点在某一投影面上的投影面上的投影重合投影重合为一点为一点时，则称此两时，则称此两点为点为该投影面该投影面的重影的重影点。点。a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加()A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影点面的重影点8aa a b b b 两点确定一条直线，将两点确定一条直线，将两点的两点的同面投影同面投影用直线连接，用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。1 1）直线对一个投影面的投影特性）直线对一个投影面的投影特性1 1、直线的投影特性、直线的投影特性

6、B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm3.2 直线的投影直线的投影92 2）直线在三个投影面中的投影特性）直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行

7、于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置间的相对位置10 投影面平行线投影面平行线X XZ ZbaaabbO OY YY Y水平线水平线实长实长 在其平行的那个投影在其平行的那个投影 面上的投影反映实长，面上的投影反映实长，并反映直线与另两投并反映直线与另两投 影面倾角的实际大小。影面倾角的实

8、际大小。另两个投影面上的投另两个投影面上的投 影平行于相应的投影影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所距离反映直线与它所 平行的投影面之间的平行的投影面之间的 距离。距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW W总结：两平一斜总结：两平一斜 11判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：12如何辨认投影面平行线？如何辨认投影

9、面平行线？当直线的投影有两个平行于投影轴，第三个投当直线的投影有两个平行于投影轴，第三个投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。例：已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角30（只需一解）。1314 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，投影特性：投影特性：在其垂直的投影面上有积聚性。在其垂直的投影面上有积聚性。a b a(b)a b c(

10、d)cdd c e f efe(f)总结：两线一点总结：两线一点 (2)投影面垂直线15如何辨认投影面垂直线如何辨认投影面垂直线？直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面积聚为一点的那个投影面。例：如下图所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影（只需一解）。1617 一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角其与投影轴的夹角并不

11、反映空间线段与三个投影面夹角的大小。并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 18如何辨认一般位置直线如何辨认一般位置直线？直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。定该直线为一般位置直线。例：分析正三棱锥棱线SA、SB、AC与投影面的相对位置？棱线SA:一般位置直线！棱线SB:侧平线！棱线AC:侧垂线！19cacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH Hac

12、aV VbBabcCbW W2 2、直线上的点、直线上的点 若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同面投同面投影影上。上。点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c :c b=a c :c b 定比定理定比定理20例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?21例例2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影

13、。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka bkk aa b bkk 223 3、两直线的相对位置、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）。1 1）两直线平行）两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAdaCcV VaDbBacdbcdabO OX X23例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要

14、有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc a b d 242 2）两直线相交）两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点acV VX XbH HD

15、acdkCAkKdbO OBcabd b a c d kk 25cd k kd例例1 1：过：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 26如何判定两直线是否相交如何判定两直线是否相交？1 1）如果两直线均为）如果两直线均为一般位置线一般位置线时，则只需观察两时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。符合点的投影规律即可判定。2 2）当两直线中有）当两直线中有一条直线为投影面平行线一条直线为投影面平行线时，则时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且

16、交需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；点是否符合点的投影规律才能确定；27例例2 2：判断直线：判断直线ABAB、CDCD的相对位置。的相对位置。c a bdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符交点不符合空间一个点合空间一个点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影28为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合一个交点不符合一个点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBb3 3）两直线交叉）两直线交叉

17、29accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1投影特性投影特性：同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个 点的投影规律点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其，用其 可帮助判断两直线的空间位置。可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3(4)3 34 4 303.3 3.3 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及直线及线外一线外一点点abc

18、a b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c 31二、平面的投影特性二、平面的投影特性垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面投影反映实形投影反映实形平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行32 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面

19、的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面33ADOaADOa?AaBaAaBa?铅垂面铅垂面侧平面侧平面34c c 投影面垂直面投影面垂直面是什么位置是什么位置的平面？的平面？abca b b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面 在它垂直的投影

20、面上的投影积聚成直线。该在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似另外两个投影面上的投影为类似形。形。投影特性投影特性35a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。36a b c a c b abc

21、 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：37a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影。投影。4538例：分析正三棱各棱面与投影面的相对位置？底面底面ABC?ABC?水平面水平面棱面棱面SAB?SAB?一般平面一般平面棱面棱面SAC?SAC?侧垂面侧垂面39三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线

22、平面上取任意直线M MN NA AB BM M若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必在该平面内。必在该平面内。若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点且平行于该平面一点且平行于该平面上的另一直线，则此上的另一直线，则此直线在该平面内。直线在该平面内。40例例1 1：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H H面的距离为面的距离为10mm10mm。n m nm10c a b cab41 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再

23、在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c 面上取点的方法：面上取点的方法：利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线首先面上取线kd dabca b k c k42bckada d b c k b例例2 2：已知：已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一:解法二解法二:cada d b c 43dede1010mm例例3 3：在：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到并使其

24、到H H面面V V面面的的 距离均为距离均为10mm10mm。bcX XbcaaO O44正平线正平线例例4 4：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d d453.4 直线与平面平行 两平面平行一、直线与平面平行几几何何条条件件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。例题1 例题2二、平面与平面平行几几何何条条件件 若一个平面内的相交

25、二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。例题3 例题4 例题546一、直线与平面平行 若一直线平行于给定平面的一直线，则该直线与平面平行47例题例题1 1试判断直线AB是否平行于定平面 fgfg结论：直线AB不平行于定平面48例题例题2 2试过点K作水平线AB平行于CDE平面 baaffb49二、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行。EFDACB50例题例题3 3 试判断两平面是否

26、平行mnmnrrss结论：两平面平行51例题例题4 4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrkk52例题例题5 5试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行53例题例题6 6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。54分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH55作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H。3连接KH，KH即为所求。563.5 直线与平面的交点、两平 面的交线一、直线与平面相交只有

27、一个交点二、两平面的交线是直线三、特殊位置线面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般位置平面相交57一、直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKA58M二、平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL59三、特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交60bbaaccmmnn直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。kk61判断直线的可见性bbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。62(

28、)求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。k21k2163四、一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。一般位置平面与特殊位置平面相交判断平面的可见性64一般位置平面与特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf65判断平面的可见性结 果66判断平面的可见性67五、直线与一般位置平面相交 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图6812以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1过EF作正垂平面Q

29、。2求Q平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。示意图69ABCQ过MN作正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图7012以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1步骤：1过EF作铅垂平面P。2求P平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。kk2 示意图71CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图72fee直线EF与 ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性1243（）kk34示意图()2173直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利用重影点。判别可见性74六、两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线 示意图判别可见性例题6 75 两一般位置平面相交，求交线步骤：1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线llnmmnPVQV1221kkee2连接两个共有点，画出交线KE。示意图76两一般位置平面相交求交线的方法 示意图 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL77利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ()3 4 21()1 278