第三章 平面的投影.ppt

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1、1平面平面3-1 3-1 平面的表示法平面的表示法3-2 3-2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性3-3 3-3 属于平面的点和直线属于平面的点和直线 基本要求基本要求2 直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置 两平面的相对位置两平面的相对位置3-4 直线与平面平行直线与平面平行 两平面平行两平面平行3-5 直线与平面的交点直线与平面的交点 两平面的交线两平面的交线3-6 直线与平面垂直直线与平面垂直 两平面垂直两平面垂直3基本要求基本要求平面的基本要求平面的基本要求1 掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法。2 熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法，能由已知平面

2、的两个投影求作其第三投影。3 掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。4掌握平面内投影面平行线及投影面最大斜度线的投影特性和作图方法。4直线、平面与平面相对位置的基本要求直线、平面与平面相对位置的基本要求（一）平行问题 1 熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2 熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题 1 熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2 熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。3 掌握利用重影点判别投影可见性的方法。5 （三）垂直问题

3、 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题 1 熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2 能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。63-1 平面的表示法一、用几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。二、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。7一、用几何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd8二、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ

4、93-2 各种位置平面的投影特性一、投影的垂直面1铅垂面2正垂面33 侧垂面二、投影的平行面1水平面2 正平面3 侧平面三、一般位置平面10VWHPPH1、铅垂面投影特性：1、abc积聚为一条线 2、abc、abc为ABC的类似形 3、abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小 ABCacbababbaccc11VWH铅垂面迹线表示法PHPPH12VWHQQV 2、正垂面 投影特性：1、abc 积聚为一条线 2、abc、abc ABC的类似形 3、abc与OX、OZ的夹角反映、角的真实大小 ababbacccAcCabB13VWH正垂面的迹线表示法 QQVQV14VWHSWS 3、侧垂面投影特

5、性：1、abc积聚为一条线 2、abc、abc为 ABC的类似形 3、abc与OZ、OY的夹角反映、角的真实大小 CabABcabbbaaccc15侧垂面的迹线表示法VWHSHSZXOYSHY16VWH1、水平面投影特性：1、abc、abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性 2、水平投影abc反映 ABC实形 CABabcbacabccabbbaacc172、正平面VWH投影特性：1、abc、abc 积聚为一条线，具有积聚性 2、正平面投影abc反映 ABC实形 cabbacbcabacabcbcaCBA18投影特性：1、abc、abc 积聚为一条线，具有积聚性 2、侧平面投影abc 反映

6、ABC实形 3、侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa19三、一般位置平面投影特性 1、abc、abc、abc 均为 ABC的类似形 2、不反映、的真实角度 abcbacababbaccbacCAB203-3 属于平面的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线四、属于平面的最大斜度线21一、属于一般位置平面的点和直线1 平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2 平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内

7、作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。例题1 例题2 例题3221 取属于平面的直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。ABCEDabcabcddeeFff232 取属于平面的点 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线ABCDEabcabcddee24例题1 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ddabcabcee25例题2 已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影。ddabcabcee26d例题

8、3 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影。edabcabce27二、属于特殊位置平面的点和直线 1 取属于垂直面的点和直线 2 过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1)几何元素表示法 (2)迹线表示法 3 过特殊位置直线作平面 (1)过正垂线作平面 (2)过正平线作平面 28PHbb1 取属于垂直面的点和直线aaeffeRV29VHabbaSVHbaabAB2 过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作H面的垂直面PH过一般位置直线AB作V面的垂直面SHPPHSVAB30(1)过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法)meffeffeen(m)(n)31(2)过一般位置

9、直线作投影面的垂直面(迹线表示法)babaabSVQWPH32(1)过正垂线作平面 (迹线表示法)m（n）mnm（n）mnm（n）mnm（n）mnPVSVQVRV33effe(2)过正平线作平面effeeffeeffePHSHgg（a）给题（c）作正垂面（b）作正平面（d）作一般位置平面34三、属于平面的投影面平行线平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。属于平面的水平线和正平线例题4 例题535VHP属于平面的水平线和正平线PVPH36abcbac例题4

10、 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。mnnm37例题5 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee38四、属于平面的最大斜度线1 平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2 平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3 平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面的最大斜度线（2）平面上对正面投影面的最大斜度线（3）

11、平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题6 例题7 例题8 例题9 例题1039 属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线；最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义:用来测定平面对投影面的角度HPCDaE1 SAE40（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF AB平行于 H，EF垂直于 ABVHWPBAEF41VHW（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD AB平行于V，CD垂直于 ABPCDBA42VHW（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN AB 平行于W，MN垂直于ABPBAMN43例题6 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。ddeeab

12、cabc44例题7 求 ABC平面与水平投影面的夹角。be BEddeeabcabc45例题8 求 ABC平面与正面投影面的夹角。ddabcabcebee BE46ab例题9 过正平线作平面与水平投影面成 60。（a）给题effeeffe60bbbaaabAB47例题10 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。effeffeeaa给题483-4 直线与平面平行 两平面平行一直线与平面平行几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直

13、线作平面与另一已知直线平行。例题1 例题2二平面与平面平行几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。例题3 例题4 例题549一、直线与平面平行 若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行PCDBA50例题1 试判断直线AB是否平行于定平面 fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面51例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面 baaffbcededkkc52二、两平面平行 若属于

14、一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行PSEFDACB53例题3 试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行54例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk55例题5 试判断两平面是否平行。结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSH563-5 直线与平面的交点 两平面的交线 直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线面交点

15、、面面交线的实质是求共有点、共有线的投影。一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线三、直线与特殊位置平面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般位置平面相交57一、直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKA58MBCA二、平面与平面相交FKNL两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有59三、特殊位置线面相交 特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。（l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。（2

16、）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性60bbaaccmmnn直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk61判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。62四、一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。一

17、般位置平面与特殊位置平面相交判断平面的可见性63一般位置平面与特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL64判断平面的可见性VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfk结 果65判断平面的可见性bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL66五、直线与一般位置平面相交 一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅助平面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的步骤：（l）含已知直线作特殊位置辅助平面；（2）求辅助平面与已知平面的交线；（3）求交线与已

18、知直线的交点，交点即为所求。以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图67feefbaacbc12以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ABC的交线。3、求交线与EF的交点K。68ABCQ过MN作平面Q垂直于V投影面MN以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图6912以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1feefbcaacb步骤：1、过EF作铅垂平面P。2、求P平面与ABC的交线。3、求交线与EF的交点K。kk270CAB过MN作平面P垂直于H投影面NMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图71直线E

19、F与平面 ABC相交，判别可见性。利用重影点。判别可见性()feefbaacbc12432134（）kk72HVabcceaABbCFEffkKke直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利用重影点。判别可见性73六、两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线 示意图判别可见性例题6 74 两一般位置平面相交，求交线步骤：1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线baccballnmmnPVQV1221kkee2、

20、连接两个共有点，画出交线KE。75两一般位置平面相交求交线的方法 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL76利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性baccballnmmnkeek3 4 ()3 4 21()1 277acbacbfeefkk例题6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。78分析FPCABEKH 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。79作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点K作平面KMN/ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平

21、面P与平面KMN的交线。4、求交线 与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。803-6 直线与平面垂直直线与平面垂直 两平面垂直两平面垂直一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题1381直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。VHPAKLDCBE82定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknkn83定理2（逆）：若一直线垂直于属

22、于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEH84例题7：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnkfdbdbfk85hh例题8：试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhkkSVkkPVkkQH86例题9：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。efemnmncaadbcdbf87例题11 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60，与H面的夹角为45。nn88分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角HPAKFDCBEf89直径任取NM

23、作图过程|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnn90两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD91 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。AD两平面垂直两平面不垂直AD92g例题12 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面hacachkkfdbdbfg93例题13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。ghachackkbbgffdd结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不平行。94例题14 试过定点A作直线与已知直线EF正交。aefafe95EQ分析 过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。FAK96作图过程21aefafe1221PVaefafe12kk97本章结束98