2019版高中数学 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用练习 新人教A版必修5.doc

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1、1第第 2 2 课时课时 基本不等式的应用基本不等式的应用课后篇巩固探究巩固探究A A 组 1 1.函数f(x)=x+-1 的值域是( )A.(-,-35,+) B.3,+) C.(-,-53,+) D.(-,-44,+)解析当x0 时,x+-12-1=3,当且仅当x=2 时,取等号;当x2)在x=a处取最小值,则a=( )1 - 2A.1+B.1+23C.3D.4解析f(x)=x+=x-2+2.1 - 21 - 2x2,x-20.f(x)=x-2+22+2=4,1 - 2( - 2)1 - 2当且仅当x-2=,1 - 2即x=3 时,等号成立. 又f(x)在x=a处取最小值,a=3. 答案

2、C3 3.周长为 4+2的直角三角形的面积的最大值是( )2A.2B.1C.4D.2解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为,于是依题意有a+b+=4+2.2+ 22+ 22由基本不等式知a+b+=4+22,即2,所以ab4,当且仅当2+ 22 + 2a=b=2 时,取等号.故三角形的面积S=ab2. 答案 A4 4.若x,y0,且xy-(x+y)=1,则有( )A.x+y2(+1)2B.xy+12C.x+y(+1)22D.xy2(+1)22解析由xy-(x+y)=1,得xy=1+(x+y),即(x+y)2-4(x+y)-40.因为x0,y0,所以( + 2)2解得x+y2+2=2(+1),

3、当且仅当x=y时,取等号.22答案 A5 5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架,在下面四种长度 的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 m C.7 mD.7.2 m 解析设两条直角边长分别为a m,b m,直角三角形框架的周长为l m,则斜边长为 m, 2+ 2ab=2,即ab=4.所以l=a+b+2=4+26.828,当且仅当a=b=2 时,取等2+ 2 + 22号. 由于要求够用且浪费最少,故选 C. 答案 C6 6.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为 . 解析由基本不等式可得x+4y2=4,于是 44,xy1

4、,当且仅当x=4y时,取等号.故4xy的最大值为 1. 答案 17 7.要建造一个容积为 18 m3,深为 2 m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价 分别为 200 元和 150 元,那么水池的最低造价为 元. 解析设水池底的长为x m,宽为y m,则有 2xy=18,即xy=9.这时水池的造价p=200xy+1502(2x+2y),即p=1 800+600(x+y), 于是p1 800+6002=1 800+6002=5 400,当且仅当x=y=3 时,等号成立.9故水池的最低造价为 5 400 元. 答案 5 4008 8.已知不等式k对所有正数x,y都成立,则k的最小值是

5、. + + 解析因为x0,y0,所以x+y22(x+y)()2,即 + 2( + ) + ,要使k对所有正数x,y都成立,即k,故k,即 + + 2 + + ( + + )2k的最小值为.2答案29 9.求函数y=(x1)的最大值.22+ 7 - 12+ 3解函数y=2+.22+ 7 - 12+ 3=22+ 6 + - 12+ 3 - 1 ( + 3)令x-1=t(t0),则x=1+t.所以y=2+=2+2+=2+, ( + 1)( + 4)1 +4 + 515 + 2 41 9=19 93当且仅当t=2,即x=3 时,函数取得最大值.19 91010.导学号 04994089 为了夏季降温和

6、减少能源消耗,某体育馆外墙需要建造 可使用 30 年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造成本为 2 万元,设每年的能源消耗费用为 C(单位:万元),隔热层的厚度为x(单位:cm),二者满足函数关系式:C(x)=(0x15,k为常数).已知隔热层的厚度为 10 cm 时,每年的能源消耗费用是 1 万元.设 + 5f(x)为隔热层建造费用与 30 年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值. 解(1)当x=10 时,C(x)=1,k=15,即C(x)=,15 + 5f(x)=30+2x=+2x(0x15).15 + 5450

7、 + 5(2)f(x)=+2x=+2(x+5)-102-10=50,450 + 5450 + 5450 + 52( + 5)当且仅当=2(x+5),即x=10 时,取等号.450 + 5故当隔热层修建 10 cm 厚时,总费用达到最小值 50 万元. B B 组1 1.若a0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )A.3B.4C.D.11 2解析由于x0,y0,所以 2xy=x2y,当且仅当x=2y=2 时,取等号.因为 2xy=8-( + 2 2)2(x+2y),于是有 8-(x+2y).令x+2y=t,则t2+4t-320,解得t4 或t-8(舍去),( + 2 2)2因此

8、x+2y4,即x+2y的最小值是 4,故选 B. 答案 B43 3.已知函数y=loga(x+3)-1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0 上,其中m0,n0,则的最小值为( )2 +1 A.2B.4C.D.25 2 解析当x=-2 时,y=loga1-1=-1,函数y=loga(x+3)-1(a0,且a1)的图象恒过定点A(-2,-1).点A在直线mx+ny+2=0 上,-2m-n+2=0,即 2m+n=2.m0,n0,(2m+n)2 +1 =1 2(当且仅当时,等号成立).(2 +1 )=1 2(5 +2 +2 )9 22 =2 答案 D4 4.如图,有一张单栏

9、的竖向张贴的海报,它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分),上下空白 各宽 2 dm,左右空白各宽 1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2. 解析设阴影部分的长为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得72 y=(x+4)-72=8+28+22=56.(72 + 2)( +144 )144 当且仅当x=,即x=12 时,等号成立.144 答案 565 5.若 2x+2y=1,则x+y的取值范围是 . 解析2x+2y=12,2x+y,即 2x+y2-2.x+y-2,当且仅当x=y=-1 时,取等号.故2 + (1 2)2x+y的取值范围是(-,-2. 答案(

10、-,-26 6.若x1 时,不等式m2+1 恒成立,则实数m的取值范围是 . 2+ 3 - 1解析由于=(x-1)+22+2=6,当且仅当x=32+ 3 - 1=( - 1)2+ 2( - 1) + 4 - 14 - 14时,取等号.所以要使不等式恒成立,应有m2+1 0, 0, 3 = + + 1.?(1)因为x0,y0,所以 3xy=x+y+12+1,所以 3xy-2-10,即 3()2-2-10.所以(3+1)(-1)0.所以1,所以xy1.当且仅当x=y=1 时,等号成立. 所以xy的最小值为 1. (2)因为x0,y0,所以x+y+1=3xy3,( + 2)2所以 3(x+y)2-4(x+y)-40, 所以3(x+y)+2(x+y)-20. 所以x+y2. 当且仅当x=y=1 时,取等号. 所以x+y的最小值为 2.