根轨迹性能分析(第四节).ppt

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1、自动控制原理自动控制原理4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。根根根根据据据据根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹求求求求已已已已知知知知参参参参数数数数（一一一一般般般般为为为为%、t tS S）下下下下的的的的主主主主导闭环极点导闭环极点导闭环极点导闭环极点分析系统性能分析系统性能分析系统性能分析系统性能。稳定性分析稳定性分析例例1 已知系统结构图，已知系统结构图，K*=0，绘制系统根轨迹并确定：，绘制系

2、统根轨迹并确定：使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；的取值范围；渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：-,-4,-2,0解解.绘制系统根轨迹绘制系统根轨迹 虚轴交点虚轴交点：依题，对应依题，对应 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K K 的取值范围的取值范围有：有：分离点：分离点：整理得：整理得：解根解根：u应用根轨迹法，可以迅速确定在某一开环增益下的闭环极应用根轨迹法，可以迅速确定在某一开环增益下的闭环极点的位置，再补上闭环零点，从而得到相应的闭环传递函数。点的位置，再补上闭环零点，从而得到相应的闭

3、环传递函数。u利用拉斯变换确定系统的单位阶跃响应，再由阶跃响应求利用拉斯变换确定系统的单位阶跃响应，再由阶跃响应求得系统的各项性能指标。得系统的各项性能指标。动态性能分析动态性能分析工程上采用的方法（主导极点法）：工程上采用的方法（主导极点法）：利用主导极点的概念对高利用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，即用主导极点代替系统的全部闭环极点阶系统进行近似分析，即用主导极点代替系统的全部闭环极点来估算系统的性能指标。来估算系统的性能指标。例例2：已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数，求具有阻尼比，求具有阻尼比=0.5的共轭的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指闭环主导极点

4、和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标。标。解解：绘制根轨迹绘制根轨迹 分离点：分离点：与虚轴的交点：与虚轴的交点：稳定范围稳定范围 作图求作图求=0.5时三个闭环极点时三个闭环极点非主导极点与主导极点实部之比非主导极点与主导极点实部之比 性能分析性能分析 模之比模之比-s1、-s2 在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭环主导极点。环主导极点。可根据由可根据由-s1、-s2 所构成的二阶系统来估算三阶系统。所构成的二阶系统来估算三阶系统。单位斜坡给定作用下稳态误差：单位斜坡给定作用下稳态误差：型系统：型系统：例例3 已知系统结构图，已知系统结构

5、图，K*=0，绘制系统根轨迹并确定：，绘制系统根轨迹并确定：(2)(2)当当 l l3 3=-5=-5 时，时，l l1 1，2 2=？相应？相应 K=?K=?(1)(1)复极点对应复极点对应 x=0.5(b=60 x=0.5(b=60o o)时的时的 K 值及闭环极点位置；值及闭环极点位置；(3)(3)当当 K K*=4 4 时，时，求求l l1,2,3 1,2,3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标(,t,ts s)。解解.分离点：分离点：虚轴交点虚轴交点（1 1）复极点对应复极点对应 0.5 0.5 时的时的 K K 值及闭环极点位置值及闭环极点位置如本系统，可降阶为二阶系统的高阶系统

6、，在已知复根的阻尼系数的前提下，如本系统，可降阶为二阶系统的高阶系统，在已知复根的阻尼系数的前提下，求三根的方法求三根的方法设设由根之和由根之和应有应有：解根：解根：比较系数比较系数（2 2）已知实根，求复根，）已知实根，求复根，用大除法用大除法（2 2）当当 l l3 3=-5=-5 时，时，l l1 1，2 2=？相应？相应 K=?K=?（3 3）已知根轨迹增益，求所有的根，）已知根轨迹增益，求所有的根，用试探法求出一根，再用大除法用试探法求出一根，再用大除法（3）当当 K*=4 时，时，求求l l1,2,31,2,3令令试根试根解根：解根：分离点分离点视视 l l1,2 1,2 为主导极

7、点为主导极点 当当 K K*=4 4 时，时，估算系统动态指标估算系统动态指标(,t,ts s)因此，忽略非主导极点，可将三阶将为二阶。因此，忽略非主导极点，可将三阶将为二阶。具体做法为：确定了闭环极点，再加上原系统的闭环零点，具体做法为：确定了闭环极点，再加上原系统的闭环零点，且不损且不损失信号的能量，要保持闭环增益不变。失信号的能量，要保持闭环增益不变。由原系统可得，系统有一个闭环零点由原系统可得，系统有一个闭环零点原系统的闭环增益为原系统的闭环增益为4：可参考如下判定方法：可参考如下判定方法 系统稳定且在阶跃输入作用下，无稳态误差，因此可通过外给定单位阶跃信号系统稳定且在阶跃输入作用下，

8、无稳态误差，因此可通过外给定单位阶跃信号作用系统的稳态值进行判定。作用系统的稳态值进行判定。因此，原系统可简化为以下的二阶系统因此，原系统可简化为以下的二阶系统 针对本题，上述简化是错误的，因为非主导极点和闭环零点构成偶极子，可针对本题，上述简化是错误的，因为非主导极点和闭环零点构成偶极子，可相消，因此本系统可简化为相消，因此本系统可简化为注意传函简化后，系统闭注意传函简化后，系统闭环增益发生变化，要加上环增益发生变化，要加上必要的环节，使其保持不必要的环节，使其保持不变。变。K=4例例4 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。解解.(1)（1）绘制当）绘制当K*=0时系统的根轨迹；时系统的

9、根轨迹；（2）使复极点对应的）使复极点对应的 x=0.5(b=60 x=0.5(b=60o o)时的时的 K K 及及 l=?l=?（3）估算系统动态性能指标）估算系统动态性能指标(,t,ts s)(2)当当 x=x=0.5(b=(b=60o)时时(3)不做要求不做要求说明：说明：开环传函出现零、极点相消，并代表闭环传函会出现零、开环传函出现零、极点相消，并代表闭环传函会出现零、极点相消，因此，要分析系统的动态性能，要回到原系统进行分极点相消，因此，要分析系统的动态性能，要回到原系统进行分析。即本系统不能通过根轨迹的分布情况析。即本系统不能通过根轨迹的分布情况（只能体现两个根的情（只能体现两个

10、根的情况）况）对系统进行降阶处理。对系统进行降阶处理。闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：1.系系统统要要稳稳定定：闭闭环环极极点点全全部部位位于于s左左半半平平面面，与与闭闭环环零零点点无无关；关；2.快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量衰减更快；快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量衰减更快；3.平平稳稳性性好好：主主导导共共轭轭复复数数极极点点位位于于=45等等阻阻尼尼线线上上，其其对对应最佳阻尼系数为应最佳阻尼系数为=0.707；4.若若非非主主导导极极点点与与

11、主主导导极极点点实实部部比比5，且且主主导导极极点点附附近近又又无无闭闭环环零零点点，则则非非主主导导极极点点可可忽忽略略。一一般般可可近近似似将将高高阶阶系系统统看看成成由由共共轭轭复复数数主主导导极极点点构构成成的的二二阶阶系系统统或或由由实实数数主主导导极极点组成的一阶系统。点组成的一阶系统。5.闭闭环环零零点点可可以以抵抵消消或或削削弱弱附附近近闭闭环环极极点点的的作作用用，当当某某个个零零点点-zi与与某某个个极极点点-pj非非常常接接近近，成成为为一一对对偶偶极极子子。可可在在系系统统中中人人为为引引入入适适当当的的零零点点，以以抵抵消消对对动动态态过过程程中中有有明明显显坏坏影影

12、响响的的极极点点，从而提高性能指标。从而提高性能指标。三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响1.已已知知系系统统开开环环传传递递函函数数，增增加加-p=-2或或-z=-2，讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。，讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移增增加加极极点点后后，Kg从从0，两两条条根根轨轨迹迹离离开开实实轴轴，并并

13、进进入入s右半平面，系统不稳定。右半平面，系统不稳定。当当根根轨轨迹迹仍仍在在s左左半半平平面面时时，Kg，振振荡荡程程度度，n，衰减因子，衰减因子，快速性，快速性，动态性能，动态性能。增增加加零零点点后后，根根轨轨迹迹始始终终在在s左左半半平平面面，最最后后变变为为两两个个负实根，稳定性负实根，稳定性，%，tS，动态性能，动态性能。常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。例例4.已已知知系系统统开开环环传传递递函函数数，讨讨论论增增加加开开环环零点对系统稳定性的影响。零点对系统稳定性的影响。a.原系统：原系统：3个开环极点，无开环零点，结构不稳

14、定个开环极点，无开环零点，结构不稳定b.，稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈衰减振荡衰减振荡c.，不稳定，不稳定引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。结论：结论：结论：结论：增加开环增加开环零点零点对根轨迹的影响：对根轨迹的影响：改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；可构成开环偶极子，改善系统性能；可构成开环偶极子，改善系统性能；根根轨轨迹迹曲曲线线向向左左偏偏移移，意意味味着着闭闭环环极极点点向向

15、左左偏偏移移虚虚轴轴，稳稳定定裕裕度度好好，快快速速性性好好，所所加加开开环环零零点点越越靠靠近近虚虚轴轴影影响响越大。越大。增加开环增加开环极点极点对根轨迹的影响：对根轨迹的影响：改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；改变了根轨迹的分支数；改变了根轨迹的分支数；根根轨轨迹迹曲曲线线向向右右偏偏移移，动动态态性性能能下下降降，所所加加开开环环极极点点越越靠近虚轴影响越大。靠近虚轴影响越大。闭环极点的确定总结闭环极点的确定总结(1)已知阻尼系数已知阻尼系数,可求系统的根可求系统的根(三阶系统三阶系统)(

16、2)已知实数根已知实数根,通过大除法可求另外两个共轭根通过大除法可求另外两个共轭根(三阶系统三阶系统)(3)已知根轨迹增益已知根轨迹增益,求系统的根：先求系统的单根求系统的根：先求系统的单根,即实数根即实数根用根轨迹估算系统性能指标步骤用根轨迹估算系统性能指标步骤（开环传函没出现零、极点相消的情况）（开环传函没出现零、极点相消的情况）(1)只考虑主导极点，即略去非主导极点和偶极子只考虑主导极点，即略去非主导极点和偶极子(2)要注意根轨迹只能确定闭环极点，系统的零点、闭环增益要回到原系统要注意根轨迹只能确定闭环极点，系统的零点、闭环增益要回到原系统确定。确定。(3)依据简化的新系统计算系统的依据

17、简化的新系统计算系统的动态动态性能指标。性能指标。(4)稳态性能指标回到原系统计算：稳态性能指标由开环传函或用终值定理稳态性能指标回到原系统计算：稳态性能指标由开环传函或用终值定理可得，高阶求起来要较方便，不需要近似求解。可得，高阶求起来要较方便，不需要近似求解。第四章第四章 小结小结模型根轨迹方程：模型根轨迹方程：G(s)H(s)=1注：注：（1）根轨迹法解题的前提条件：开环传递函数）根轨迹法解题的前提条件：开环传递函数G(s)H(s)已知。已知。（2）在根轨迹上确定了闭环极点后，还要由系统结构图确定全部闭环零点，才能进一）在根轨迹上确定了闭环极点后，还要由系统结构图确定全部闭环零点，才能进一步估算动态性能。步估算动态性能。（3）出现开环零极点相消时，注意找全固定的闭环零极点。）出现开环零极点相消时，注意找全固定的闭环零极点。作作 业业P1524.15