概率论与数理统计-第五章二维随机变量及其分布.ppt

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1、第五章第五章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第一节第一节 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数第二节第二节 二维离散型随机变量二维离散型随机变量第三节第三节 二维连续型随机变量二维连续型随机变量第四节第四节 边缘分布边缘分布第五节第五节 随机变量的独立性随机变量的独立性第一节第一节 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数1、二维随机变量的定义、二维随机变量的定义定义定义1.1 设设E为一个随机试验为一个随机试验,其样本空间其样本空间=,X=X()和和Y=Y()是定义在是定义在上的两个上的两个随机变量随机变量,则由它们构成的联合变量则由它们构成的联合变量(X,Y)称为称为

2、二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量。例如例如(1)一发炮弹的弹着点横坐标一发炮弹的弹着点横坐标X()与纵坐标与纵坐标Y()构成一个二维随机变量构成一个二维随机变量(X,Y)=(x,y)。(2)某地区某地区3岁儿童身高岁儿童身高H()与体重与体重W()构成一构成一个二维随机变量个二维随机变量(H,W)=(h,w)。(3)某地区某日最低温度某地区某日最低温度L()与最高温度与最高温度H()构成一个二维随机变量构成一个二维随机变量(L,H)=(l,h)。(4)一种产品的综合成本一种产品的综合成本C()与收益与收益R()组成一组成一个二维随机变量个二维随机变量(C,R)=(c,r)。

3、定义定义1.2 设设(X,Y)是定义在是定义在上的二维随上的二维随机变量机变量,对于任意实数对于任意实数x,y,二元函数二元函数 F(x,y)=PX x,Y y x,y R称为称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数,或或称为称为随机变量随机变量X与与Y的联合分布函数的联合分布函数。2 2、二维随机变量的分布函数、二维随机变量的分布函数其中其中PX x,Y y=P|X()x,Y()y可视可视为随机点为随机点(X,Y)落在下图所示的，以落在下图所示的，以(x,y)为顶点为顶点的位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。的位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。F(x,y)3 3、二维随机

4、变量的分布函数性质、二维随机变量的分布函数性质性质性质1 F(x,y)是变量是变量x和和y的不减函数的不减函数。性质性质2 0 F(x,y)1性质性质3 F(x,y)关于变量关于变量x和和y均是右均是右连续的连续的。性质性质4 对于任意的对于任意的x1 x2，y1 y2，下，下述不等式成立：述不等式成立：注注：满足上述性质：满足上述性质14的二元函数的二元函数可作为某个二维随机变量的分布函可作为某个二维随机变量的分布函数。数。例例1.1 二元函数二元函数可否为某个二维随机变量的分布函数。可否为某个二维随机变量的分布函数。不满足性质不满足性质4,故故F(x,y)不能作为分布函数。不能作为分布函数

5、。且且F(x,y)不右连续不右连续,如如(0,0),不满足性质不满足性质3。例例1.2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为求常数求常数A,B,C。解解：第二节第二节 二维离散型随机变量二维离散型随机变量1 1、二维离散型随机变量的定义、二维离散型随机变量的定义定义定义2.1 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的所有的所有可能取值仅有有限或可列多对，即可能取值仅有有限或可列多对，即 (X,Y)=(xi,yj)i,j=1,2,则称则称(X,Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量。例例2.2 一射手向一目标射击一射手向一目标射击,击中目标的概率为击中目标的概率为

6、p(0p1),射击到击中两次目标为止。设以射击到击中两次目标为止。设以X表示首次表示首次击中目标所进行的射击次数击中目标所进行的射击次数,以以Y表示总共进行的射表示总共进行的射击次数击次数,则则(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量,其可能取值其可能取值为为:(X,Y)=(m,n)m=1,2,n1;n=2,3,例例2.1 抛掷两硬币一次抛掷两硬币一次,观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况,令令2 2、二维离散型随机变量的分布律、二维离散型随机变量的分布律定义定义2.2 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可的所有可能取值为能取值为(xi,yj)，i,j=1,

7、2,，令，令则称则称(2.1)式为二维离散型随机变量式为二维离散型随机变量(X,Y)的的概率概率分布分布(或或分布律分布律)，或称为随机变量，或称为随机变量X和和Y的的联合联合分布分布或或联合概率分布联合概率分布。分布律通常用表格表示为分布律通常用表格表示为x1XYy1yjxip11p1jpi1pij如例如例2.1中，中，(X,Y)分布律为分布律为 YX0101/41/411/41/4例例2.3 一口袋中有四个球一口袋中有四个球,其上分别标有其上分别标有1,2,2,3,从中任取一球后从中任取一球后,不放回袋中不放回袋中,再从袋中任取一球再从袋中任取一球,依次用依次用X,Y表示第一、表示第一、二

8、次取得的球上标有的数字。二次取得的球上标有的数字。(1)求求(X,Y)的分布律；的分布律；(2)求求P(X Y)。解解:先求先求(X,Y)的分布律的分布律,X,Y的可能取值为的可能取值为1,2,3。PX Y=PX=1,Y=1+PX=2,Y=1+PX=2,Y=2+PX=3,Y=1+PX=3,Y=2+PX=3,Y=3=0+1/6+1/6+1/12+1/6+0=7/12YX123101/61/1221/61/61/631/121/60第三节第三节 二维连续型随机变量二维连续型随机变量1 1、二维连续型随机变量的定义、二维连续型随机变量的定义定义定义3.1 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)的

9、分布函数的分布函数F(x,y),存在一个非负可积的二元函数存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使使对于任意实数对于任意实数x,y,均有均有则称则称(X,Y)为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量,其中函数其中函数f(x,y)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度,或或称为称为随机变量随机变量X和和Y的联合概率密度的联合概率密度。注注1：由积分性质可知：由积分性质可知,连续型随机变量连续型随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)是关于是关于x,y的连续函的连续函数。数。注注2：若：若(X,Y)为连续型随机变量，则为连续型随机变量，则(X,Y)取某一固定值，

10、或某一固定直线上任意值的取某一固定值，或某一固定直线上任意值的概率为概率为0。因而，因而，P(X x,Y y)=P(X x,Yy)=P(Xx,Yy)=P(Xx,Y y)例例3.1 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为试求试求(X,Y)的分布函数。的分布函数。(1)(2)(3)(4)(5)(1)解解：先将：先将R2按按(X,Y)取值的边界取值的边界x=0,x=1,y=0,y=1划分成划分成5个区域。个区域。(1)当当x0或或y0时时(2)当当0 x1,0 y1时时(1)(2)(3)(4)(5)(1)(3)当当0 x1,y 1时时(4)当当x 1,0 y1时时(1)(2)(3)(4)(5)(1)

11、(5)当当x 1,y 1时时(1)(2)(3)(4)(5)(1)综述为综述为2 2、二维连续型随机变量的概率密度、二维连续型随机变量的概率密度的性质的性质(1)f(x,y)0，x,y R，表明密度曲面表明密度曲面Z=f(x,y)在在XOY面上方。面上方。表明介于曲面表明介于曲面Z=f(x,y)与与XOY面之间的面之间的空间区域的体积为空间区域的体积为1。(3)若若f(x,y)在点在点(x,y)处连续，则处连续，则表明分布函数表明分布函数F(x,y)与密度函数与密度函数f(x,y)可可以相互确定。以相互确定。D即随机点即随机点(X,Y)落在平面落在平面区域区域D内的概率等于以内的概率等于以D为底

12、，以为底，以曲面曲面Z=f(x,y)为为顶的曲顶柱体的体积。顶的曲顶柱体的体积。(4)随机点随机点(X,Y)落在平面区域落在平面区域D内的概率为内的概率为例例3.2 已知随机变量已知随机变量X和和Y的联合概率密度的联合概率密度为为试求试求:(1)C的值的值;(2)PXX2)。y=x10 xy1Gy=x2(2)(2)二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 1,2,12,22,的正态的正态分布分布,记作记作(X,Y)N(1,2,12,22,),其中其中 1,20,1 1。二维正态分布图二维正态分布图二维正

13、态分布剖面图二维正态分布剖面图第四节第四节 边缘分布边缘分布1 1、边缘分布函数、边缘分布函数关于关于Y的边缘分布函数为的边缘分布函数为：FY(y)=P(Y y)=P(X+,Y y)=F(+,y)已知已知(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)，则，则关于关于X的边缘分布函数为的边缘分布函数为：FX(x)=P(X x)=P(X x,Y+)=F(x,+)例例4.1 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为求关于求关于X,关于关于Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。解解：2 2、边缘分布律、边缘分布律联合分布律联合分布律及边缘分布律及边缘分布律X Yy1y2yjpi.x1p1

14、1p12p1jp1.x2p21p22p2jp2.xipi1pi2pijpi.p.jp.1p.2p.j1例例4.2 一口袋中有四个球一口袋中有四个球,其上分别标有其上分别标有1,2,2,3,从从中任取一球后中任取一球后,不放回袋中不放回袋中,再从袋中任取一球再从袋中任取一球,依次依次用用X,Y表示第一、二次取得的球上标有的数字表示第一、二次取得的球上标有的数字,试求试求X,Y的边缘分布律。的边缘分布律。解解：由例：由例2.3知，知，表中横行相加即得表中横行相加即得X的边缘的边缘分布律分布律表中纵行相加即得表中纵行相加即得Y的边缘的边缘分布律分布律X Y123pi.101/61/121/421/6

15、1/61/61/231/121/601/4p.j1/41/21/41X123pi.1/41/21/4Y123p.j1/41/21/43 3、边缘概率密度、边缘概率密度已知已知(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y)，其分布函数为，其分布函数为F(x,y)，则，则关于关于X的边缘分布函数的边缘分布函数为：为：故故X的边缘概率密度的边缘概率密度为：为：故故Y的边缘概率密度的边缘概率密度为：为：关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数为：为：例例4.3 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为求关于求关于X,关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。第五节第五节 随机变量的

16、独立性随机变量的独立性1 1、随机变量的相互独立性的定义、随机变量的相互独立性的定义定义定义5.1 设设F(x,y)及及FX(x),FY(y)分别为分别为二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分的分布函数及边缘分布函数布函数,若对任意的实数若对任意的实数x,y,有有 P(X x,Y y)=P(X x)P(Y y)即即 F(x,y)=FX(x)FY(y)则称则称随机变量随机变量X与与Y是相互独立的是相互独立的。2 2、离散型随机变量的独立性、离散型随机变量的独立性定理定理5.1 离散型随机变量离散型随机变量X和和Y相互独相互独立的充要条件是它们的联合分布律等于立的充要条件是它们的联合

17、分布律等于二者二者边缘分布律的乘积，即边缘分布律的乘积，即例例5.1 设离散型随机变量设离散型随机变量X和和Y的联合分布的联合分布律如下表，试问律如下表，试问，为什么数值时为什么数值时X和和Y才才是相互独立的？是相互独立的？X Y 1 2 3 1 2 1/6 1/9 1/18 1/3 X 1 2 pi 1/3 (1/3)+Y 1 2 3 pj1/2 (1/9)+(1/18)+解解：由：由X和和Y的联合分布律，可得的联合分布律，可得X和和Y的边缘分布律：的边缘分布律：X12pi1/3(1/3)+(2/9)+所以所以,X的边缘分布律为的边缘分布律为 若一个随机变量的取值情况与另一个随机变量的若一个

18、随机变量的取值情况与另一个随机变量的取值情况毫无关系，互不影响，则一般认为二者相互取值情况毫无关系，互不影响，则一般认为二者相互独立。若随机变量的取值与随机试验相对应，因而由独立。若随机变量的取值与随机试验相对应，因而由随机试验的独立性可以判断随机变量间的相互独立性。随机试验的独立性可以判断随机变量间的相互独立性。例例5.2 甲掷均匀硬币两次，记正面出现的次数为甲掷均匀硬币两次，记正面出现的次数为X，而乙掷均匀骰子一次，记出现的点数为而乙掷均匀骰子一次，记出现的点数为Y，试问，试问X与与Y是否独立？是否独立？解解：因：因“甲掷硬币甲掷硬币”与与“乙掷骰子乙掷骰子”这两个试验互不这两个试验互不影

19、响，所以这两个随机试验相互独立，由这两试验的影响，所以这两个随机试验相互独立，由这两试验的相互独立，可知相互独立，可知X与与Y也相互独立。也相互独立。3 3、连续型随机变量的独立性、连续型随机变量的独立性定理定理5.2 连续型随机变量连续型随机变量X和和Y相相互独立的充要条件是它们的联合互独立的充要条件是它们的联合概率密度概率密度f(x,y)等于边缘概率密度等于边缘概率密度fX(x)和和fY(y)的乘积。即的乘积。即 f(x,y)=fX(x)fY(y)例例5.3 已知已知(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为讨论讨论X,Y是否独立？是否独立？解解(1)由图知，边缘密度函数为由图知，边缘密度

20、函数为11显然，显然，故故X,Y相互独立相互独立(2)由图知，边缘密度函数为由图知，边缘密度函数为显然，显然，故故X,Y不独立不独立11例例5.4 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，其秘书到达办公室的时间均匀分布在时，其秘书到达办公室的时间均匀分布在79时，设两人到达的时间相互独立，求他们到时，设两人到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率。分钟的概率。解解：设：设X和和Y分别为负责人与其秘书到达办公室分别为负责人与其秘书到达办公室的时间，由假设的时间，由假设X和和Y的概率密度分别为：的概率密度分别

21、为：由于由于X和和Y相互独立，可得相互独立，可得(X,Y)的概率密度为的概率密度为因此负责人与其秘书到达办公室的时间相差不因此负责人与其秘书到达办公室的时间相差不超过超过5分钟的概率为分钟的概率为1/48二维随机变量的概念可以推广到二维随机变量的概念可以推广到n维随机维随机变量变量若若X1,X2,Xn是定义在样本空间上的是定义在样本空间上的n个随机变量，则个随机变量，则由其构成的联合变量由其构成的联合变量(X1,X2,Xn)称为称为n维随机变量维随机变量。则称则称随机变量随机变量X1,X2,Xn相互独立相互独立。当当(X1,X2,Xn)为为n维离散型随机变维离散型随机变量时，量时，X1,X2,Xn相互独立等价于相互独立等价于当当(X1,X2,Xn)为为n维连续型随机变量时，维连续型随机变量时，X1,X2,Xn相互独立等价于相互独立等价于定定 义义联联 合合 分分 布布 函函 数数 联联 合合 分分 布布 律律 联联 合合 概概 率率 密密 度度边边 缘缘 分分 布布随随 机机 变变 量量 的的 相相 互互 独独 立立 性性定定义义性性质质二二维维随随机机变变量量推推 广广小小 结结