概率的计算第二十章.ppt

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1、静静第八讲第八讲 概率的计算（第二十章）概率的计算（第二十章）1 1、用古典概率、几何概率计算概率用古典概率、几何概率计算概率2 2、用基本性质计算概率用基本性质计算概率3 3、利用条件概率、乘法公式计算概率利用条件概率、乘法公式计算概率4 4、利用事件的独立性计算概率利用事件的独立性计算概率5 5、利用利用全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式计算概率计算概率6 6、利用利用二项二项概率概率公式公式计算概率计算概率1、用古典概率计算概率用古典概率计算概率一、一、用古典概率、几何概用古典概率、几何概率计算概率率计算概率古典概型具有两个特性：(1)试验的可能结果(即基本事件)的个数有限，且

2、两两互不相容；1,2,.n(有限性)(2)每个基本事件发生的可能性相等；(等可能性)这时若事件A含有k个基本事件，则为此，经常用到如下排列组合知识：(1)n个不同元素全部取来进行排列，全部排列的种数为：Pnn!(2)n个不同元素,每次从中任取r个不同元素来进行排列，所有不同排列的种数为：(3)n个不同元素,每次从中任取何r个不同元素来进行组合，所有不同组合的种数为：(4)n个不同元素,每次允许重复地从中任取何r个元素进行排列，所有不同排列的种数为：例例1 1.设有一批产品共100件，其中5件次品，现从中任取3件，求(1)全是正品的概率；(2)恰有2件次品的概率.解解：(1)设A=任取3件全是正

3、品(2)设B=任取3件恰有2件次品例例2 2.一个盒中装有编号为1，2，,10的球各一个，外形完全一样。随机从盒中摸球，每摸一个球，记下编号后放入盒中，共摸六次，求所记下的编号中最大号码恰为6的概率.解解1 1：设A=6次摸出的编号球最大号码恰为6解解2 2：设A=6次摸出的编号球最大号码恰为62、用几何概率计算概率用几何概率计算概率几何概型具有两个特性：(1)试验的可能结果(即基本事件)的个数无限，且全体结果可用一个有度量的几何区域G来表示；(无限性)(2)每个基本事件发生的可能性相等；(等可能性)这时若事件A所对应的区域为g，则yOx324242例例3 3.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停

4、泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。甲船的停泊时间是2小时，乙船的停泊时间是3小时，两船启航后都不再返回该码头，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。解解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x与y,则由题意即样本空间为以24为边长的正方形设A表示它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出，则即图中阴影部分。于是，所求概率为：y=x+2y=x-3概率的基本性质概率的基本性质二、二、用基本性质计算概率用基本性质计算概率性质性质1.1.(有限可加性)设有限个事件A1,A2,.,An 满足AiAj=(ij,i,j=1,2,n),则性质性质2.2.对任一事件A有性质性质3.

5、3.（加法公式）设A、B为任意两个事件，则P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)设A、B、C 为任意三个事件，则P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)性质性质4.4.设A、B为任意两个事件，且AB，则P(B-A)=P(B)P(A)例例4 4.设P(A)=1/3，P(B)=1/2，若（1）AB=；（2）AB；（3）P(AB)=1/8，求解解：（1）因为AB=，所以例例5 5.设 A、B、C 为随机事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/16，则事件A、B、C 全不发生的概率为多少？解解：“事件A

6、、B、C 全不发生”记为（2）因为AB，所以三、利用条件概率、乘法公三、利用条件概率、乘法公式计算概率式计算概率1 1、条件概率、条件概率条件概率与积事件概率的区别：一般地说，当事件A、B同时发生时，常用P(AB)；而在有包含关系或明确的主从关系中，用P(B|A)。2 2、乘法公式、乘法公式或例例6.6.一盒中有10只晶体管，其中7只正品，3只次品，分别用不放回依次抽取和有放回依次抽取两次的方法来测试，求抽取的两件中都是正品的概率.解解：记A=第一次抽得正品,B=第二次抽得正品(1)不放回抽取：故(2)有放回抽取：故例例7 7.设 A、B 为随机事件,已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，解

7、解:(1)方法1 因为P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)且所以方法2 因为所以且所以四、利用事件的独立性计算四、利用事件的独立性计算概率概率1 1、定义、定义 P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)则称A,B,C两两独立；进一步若还有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C相互独立.若事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A,B相互独立若事件A，B，C满足2 2、性质、性质也相互独立.若A与B相互独立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)若A与B相互独立，则例例8 8.甲、乙两高射炮同向一架敌机射击，已知

8、甲炮命中率为0.6，乙炮命中率为0.5，求敌机被击中的概率.解解1 1：记A=甲炮击中敌机，B=乙炮击中敌机C=敌机被击中 则C=AB由加法公式P(C)=P(A)+P(B)P(AB)又因为A与B独立，所以P(AB)=P(A)P(B)P(C)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.6+0.50.60.5=0.8于是解解2.2.=0.60.5+0.60.5+0.40.5=0.8解解3.3.先求四、利用四、利用全概率公式和贝叶全概率公式和贝叶斯公式斯公式计算概率计算概率1、全概率公式、全概率公式设必然事件分解成若干个互斥事件的和,则对任一事件B，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(

9、B|A2)+P(An)P(B|An)2 2、贝叶斯公式、贝叶斯公式 设事件B 和一组事件A1，A2，An满足全概率公式中的条件,则有以下贝叶斯公式：例例9.9.某厂有四台机器生产同一产品，产量各占50，30，10，10，各台机器生产的次品率分别为2，4，1，2.求：(1)从全厂的产品中任取一件，恰为次品的概率.(2)从全厂的产品中任取一件，发现是次品，问此次品出自哪一台机器?解：解：分别以A1，A2，A3，A4表示取得的产品为第一台，第二台，第三台，第四台机器生产的.B表示取得的产品恰为次品.显 然 A1A2A3A4=,且 Ai互 斥.(1)要求P(B).由全概率公式，有P(B)=P(A1)P

10、(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)由题意有P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.1,P(A4)=0.1P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.01,P(B|A4)=0.02所以，有P(B)=0.50.02+0.30.04+0.10.01+0.10.02=0.025注意：P(B)不是各台机器的次品率相加.(2)要求B发生的条件下，出自哪一台机器的可能性大.为此要计算的是下面四个条件概率P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),P(A4|B)由贝叶斯公式：类似地可计算出从计算的结果看出，

11、可能性最大的不是A1，而是A2，自然要倾向于认为是第二台机器生产的。例例10.10.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次使用时，从中任取3个，用后仍放回盒中，第二次使用时，再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。解：解：以Ai(i=0,1,2,3)表示第一次使用了i个新球，B 表示第二次取出的3个球都是新球.显 然 A0 A1 A2 A3=,且 Ai互 斥.由全概率公式，有由题意有四、利用四、利用二项概率公式二项概率公式计算计算概率概率1 1、贝努里概型、贝努里概型 具有下列特点的试验：(1)每次试验条件都相同，(2)试验结果只有两个：A和A(3)每次试验的结果是相互独立，称为n重贝努里试验概型.2 2、二项概率公式、二项概率公式 在n重贝努里试验中，设每次试验中，事件A发生的概率为p(0p1)，则A恰好发生k次的概率为其中q=1p.例例11.11.某计算机设有8个终端，各终端的使用情况是相互独立的，且每个终端的使用率为40%.试求下列事件的概率:(1)A=恰有3个终端被使用；(2)B=至少有一个终端被使用；解解：8个终端的被使用与否可视为8次独立的重复试验.于是由贝努里概型得：