概率论与数理统计第二章随机变量及其分布函数.ppt

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1、随机变量及其分布Chapter 2Random variable and DistributionRandom variable and Distribution目录CONTENTS随机变量及其分布2.12.22.32.4常用的连续型随机变量常用的离散型随机变量随机变量函数的分布2.1 随机变量及其分布函数 Random variable and distribution E E4 4：在土地里种下一粒种子。：在土地里种下一粒种子。E1：记录一个路口在一段时间内经过的车辆数记录一个路口在一段时间内经过的车辆数1 1=0=0，1 1，2 2，3 3，E2：扔一个骰子，出现的点数扔一个骰子，出现的

2、点数2 2=1=1，2 2，3 3，4，5，664 4=发芽，不芽，不发芽芽 E E5 5：在工厂生产的零件中任取一件。：在工厂生产的零件中任取一件。5 5=正品，次品正品，次品 E3：检验灯泡的寿命检验灯泡的寿命3 3=t|t0=t|t0随机试验的结果随机试验的结果虽然不是数量，虽然不是数量，但是可以将它数但是可以将它数量化！量化！引例引例:2.1 随机变量及其分布函数E E4 4：在土地里种下一粒种子。：在土地里种下一粒种子。4 4=发芽，不芽，不发芽芽 E E5 5：在工厂生产的零件中任取一件。：在工厂生产的零件中任取一件。5 5=正品，次品正品，次品 随机试验的结果随机试验的结果虽然不

3、是数量，虽然不是数量，但是可以将它数但是可以将它数量化！量化！由于试验的结果由于试验的结果是随机的，因而是随机的，因而X=X(X=X()的取值的取值也是随机的，所也是随机的，所以将以将X=X(X=X()称称为随机变量！为随机变量！在样本空间上定义一个集合函数 一、随机变量 Random variable例如：例如：例如：例如：设设 X=X=X=X=某路口在一段某路口在一段某路口在一段某路口在一段时间时间内通内通内通内通过过的的的的车辆车辆数数数数 A=A=A=A=通通通通过过的的的的车辆车辆数不超数不超数不超数不超过过 4444B=B=B=B=通通通通过过至少至少至少至少 6 6 6 6 辆车

4、辆车 设设 X=X=X=X=取到次品的件数取到次品的件数取到次品的件数取到次品的件数 =至多取到至多取到至多取到至多取到 2 2 2 2件次品件次品件次品件次品=A=A=A=A=恰好取到恰好取到恰好取到恰好取到 2 2 2 2 件次品件次品件次品件次品=B=B=B=B今后，我们用今后，我们用随机变量的随机变量的取取值和取值范围值和取值范围来表示随机事来表示随机事件！件！为为为为随机变量随机变量随机变量随机变量,记为记为 R.V.X.(random variable X)R.V.X.(random variable X)R.V.X.(random variable X)R.V.X.(random

5、 variable X)。二、分布函数 Distribution function 取取取取值值或取或取或取或取值值范范范范围围的概率？的概率？的概率？的概率？例如：例如：将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的情况。情况。设设 X=X=X=X=正面向上的次数正面向上的次数正面向上的次数正面向上的次数 二、分布函数 Distribution function 对对于任意区于任意区于任意区于任意区间间（a a a a，bbbb二、分布函数 Distribution function 定义定义定义定义2 2 2 2 设设设设X X X X为随机变量为随机变量为随机变

6、量为随机变量,x,x,x,x为为为为任意实数任意实数任意实数任意实数,函数函数函数函数为随机变量为随机变量为随机变量为随机变量X X X X的的的的分布函数分布函数分布函数分布函数(distribution functiondistribution function)。分布函数分布函数分布函数分布函数F(x)F(x)F(x)F(x)是随机事件是随机事件是随机事件是随机事件XxXxXxXx的的的的概率概率概率概率,它是一个它是一个它是一个它是一个普通函数普通函数普通函数普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量因而可用微积分的方法来研究随机变量因而可用微积分的方法来研究随机变量因而可用微积分的

7、方法来研究随机变量.随机点随机点实数点实数点二、分布函数 Distribution function 分布函数利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质:1 1、0 0 F(x)F(x)1;1;2 2、F(x)F(x)在其间断点处是右连续在其间断点处是右连续在其间断点处是右连续在其间断点处是右连续.3 3、F(-F(-)=0,F(+)=0,F(+)=1)=1 4 4、F(x)F(x)是是是是单调不减函数单调不减函数单调不减函数单调不减函数,即对任意实数即

8、对任意实数即对任意实数即对任意实数x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),有有有有F(xF(x1 1)F(x F(x2 2););5 5、PxPx1 1XX x x2 2=F(x=F(x2 2)-F(x)-F(x1 1)图像值域范围图像值域范围图像值域范围图像值域范围图像左右趋势图像左右趋势图像左右趋势图像左右趋势间断点右连续间断点右连续间断点右连续间断点右连续(离散型离散型离散型离散型)图像自左至右呈上升图像自左至右呈上升图像自左至右呈上升图像自左至右呈上升利用分布函数计算事件概率利用分布函数计算事件概率利用分布函数计算事件概率利用分布函数计算事件概率【例例例例1 1 1

9、1】设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X X X的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为试求试求试求试求 (1)(1)(1)(1)系数系数系数系数A,BA,BA,BA,B；(2)X(2)X(2)X(2)X取值落在（取值落在（取值落在（取值落在（-1-1-1-1，1111中的概率。中的概率。中的概率。中的概率。解解解解（1 1 1 1）由）由）由）由 解得：解得：解得：解得：于是，分布函数为：于是，分布函数为：于是，分布函数为：于是，分布函数为：（2 2 2 2）由分布函数）由分布函数计计算事件概率公式得：算事件概率公式得：解：已知分布函数解：已知分布函数为为：【例例例例1 1

10、 1 1】设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X X X的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为试求试求试求试求 (1)(1)(1)(1)系数系数系数系数A,BA,BA,BA,B；(2)X(2)X(2)X(2)X取值落在（取值落在（取值落在（取值落在（-1-1-1-1，1111中的概率。中的概率。中的概率。中的概率。【例例2 2 2 2】设设随机随机变变量量X X X X的分布函数的分布函数为为求求:常常常常数数 a a a a 和和和和 b b b b。解：解：因因为为 F(x)F(x)F(x)F(x)在在 x=0 x=0 x=0 x=0 点右点右连续连续所以所以又因又因为为

11、故故3 3、F(-F(-)=0,)=0,F(+F(+)=1)=12.1 离散型随机变量 Discrete random variable一、概念一、概念一、概念一、概念定义定义定义定义2 2 2 2 设离散型随机变量设离散型随机变量设离散型随机变量设离散型随机变量X X X X所有可能取值为所有可能取值为所有可能取值为所有可能取值为 ,且且且且X X X X取各个可能值的概率为取各个可能值的概率为取各个可能值的概率为取各个可能值的概率为 定义定义定义定义1 1 1 1 若随机变量若随机变量若随机变量若随机变量 X X X X 的全部可能取值为有限个或可列无限的全部可能取值为有限个或可列无限的全

12、部可能取值为有限个或可列无限的全部可能取值为有限个或可列无限个可能值个可能值个可能值个可能值 ,则称则称则称则称 X X X X 为为为为离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量.称为离散型随机变量称为离散型随机变量称为离散型随机变量称为离散型随机变量 X X X X 的的的的概率分布概率分布概率分布概率分布(分布律或分布列分布律或分布列分布律或分布列分布律或分布列).).).).注意：注意：注意：注意：离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量 X X X X 的的的的概率分布概率分布概率分布概率分布(分布律或分布列分布律或分布列分布律或分布列分布律或分布列)与

13、分布函数与分布函数与分布函数与分布函数 不是一回事！不是一回事！不是一回事！不是一回事！Discrete Distribution数列数列:分布列的表示方法:表格表格:概率分布概率分布图：PX0.51由概率的性质易知离散型随机变量的由概率的性质易知离散型随机变量的由概率的性质易知离散型随机变量的由概率的性质易知离散型随机变量的分布列分布列分布列分布列 满足下列特征满足下列特征满足下列特征满足下列特征性质性质性质性质:非负性非负性非负性非负性 规范性规范性规范性规范性 用于确定待定参数用于确定待定参数用于确定待定参数用于确定待定参数随机点随机点实数点实数点NonnegativityNormali

14、zationAdditivity注注 意意 Attention 对对离散随机变量的离散随机变量的分布函数分布函数 distribution function 应注意应注意：(1)F(x)是递增的是递增的阶梯函数阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为其间断点即为X的可能取值点的可能取值点;(4)其间断点的其间断点的跳跃高度跳跃高度是对应的概率值是对应的概率值.Figure 1 The distribution function【例例例例1 1 1 1】给给定离散型的分布列如下：定离散型的分布列如下：定离散型的分布列如下：定离散型的分布列如下：解：所以有：求：

15、求：求：求：常数常数常数常数 C C C C；分布函数分布函数 F(x)F(x)F(x)F(x)概率概率求：求：求：求：分布函数分布函数 F(x)F(x)概率概率解：当 时，在 内不含X的任何取值当 时，在 内含X的一个取值当 时，在 内含X的2个取值当 时，在 内含X的3个取值当 时，在 内含有X的全部取值综上所述：因为 X的可能取值中没有1，所以求：求：求：求：概率概率解：2.2 常用离散型随机变量的分布常用离散型随机变量的分布1、两点分布 或（0-1）分布定义1 设离散型随机变量X的分布列为则称 X 服从（0-1）分布，记作 X（0-1）分布（0-1）分布的分布函数11-p01F(x)x

16、其中 0p1two-point distributiontwo-point distribution设设随机随机试验试验E E E E的只有两个的只有两个样样本点：本点：，其中，其中 则则称称这这种种试验为试验为贝贝努利努利试验试验(Bernoulli experiment)(Bernoulli experiment)(Bernoulli experiment)(Bernoulli experiment)。显然，贝努利试验服从（0-1）分布若将一个贝努利试验 独立 重复 地做 n 次，则称之为 n 重贝努利试验。各次试验的结果互不影响每次试验中P(A)=p例如：抛一枚硬币，观察正反面出现的次数

17、。这是一个一重贝努利试验。若将一枚硬币连抛 n n 次，观察正反面出现的次数。令 A A 表示出现正面，那么这是一个 n n 重贝努利试验。袋中有 a a 个红球，b b 个白球，任取一球，观察其颜色，令 A A 表示“取到红球”，则若连续有放回的取 n n 次，那么这是一个 n n 重贝努利试验。问题：n 重贝努利试验服从什么分布？注意：不放回抽样取 n 次，不是 n 重贝努利试验！假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值为0,1,2，n求：P(X=k)=?k=0,1,2,.,n假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发

18、生的次数那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值为0,1,2，n求：P(X=k)=?k=0,1,2,.,n现在：取 n=3，k=2,即进行3次贝努利试验，事件A发生2次的概率。设设 A A A Ai i i i=事件事件 A A A A 在第在第 i i i i 次次发发生（生（i=1,2,3i=1,2,3i=1,2,3i=1,2,3）,X=“X=“三次三次试验试验中中 A A 发发生的次数生的次数”，2、二项分布 binomial distribution则称 X X 服从参数服从参数 n n，p p 的二的二项分布，分布，记为 特特特特别别的，当的，当的，当的，当n=1n=1n=1n=1

19、时时，称之，称之，称之，称之为为两点分布或两点分布或两点分布或两点分布或 0-10-10-10-1分布分布分布分布。设设n n 重重贝贝努利努利试验试验中中事件事件AA发发生生的概率的概率为为 令令随机随机变变量量X X X X表示表示“n n n n次次试验试验中事件中事件A A A A发发生的次数生的次数”，则则其可能取其可能取值值为为0 0 0 0，1 1 1 1，2 2 2 2，n n n n，且其分布列，且其分布列为为例2.2.1 一批产品中，一等品率为20%，从这批产品中任取20件，则取出的产品中至少 2 件一等品的概率？解：设 X 表示20件产品中一等品的件数，则 X 的可能取值

20、为 0,1,2，20A=抽检产品为一等品20重贝努利试验X 表示“n 次试验中事件A 发生的次数”例2.2.2 某种特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？令 X 表示治愈的人数，则 X 表示“n 次试验中事件A 发生的次数”由此得：从而解得:p=2/3.例2.2.3 设 ，已知 ，求 解:由 ，知 P(X=0)=1/9.所以 3、泊松分布 Poisson distribution定定义义3 3 3 3 设离散型随机变量 X X 所有可能取的值为 0,1,2,0,1,2,，且其分布律为则则称随机称随机变变量量 X X X X 服从参数服从参数为为的泊松分布的

21、泊松分布,记为记为 泊松分布主要用于描述（i）稀有事件发生的概率;（ii）单位时间或单位面积上的计数过程 例例2.2.4 2.2.4 由某商店由某商店过过去的去的销销售售记录记录可知，某种商品每月的可知，某种商品每月的销销售售数可用参数数可用参数为为 的泊松分布描述。的泊松分布描述。为为了有了有99%99%以上的把握以上的把握保保证证商品不脱商品不脱销销，问问：商店在月底至少要：商店在月底至少要进货该进货该商品多少件？商品多少件？设设商店月底商店月底进货进货 N N 件件 令令 X X 表示表示“商店每月商店每月销销售售该该种商品的件数种商品的件数”,则则有有r.v.r.v.XP(5)XP(5

22、)。【解解】由由题题意可知，当意可知，当 时时，产产品不脱品不脱销销。所以有所以有 即即 查查泊松分布表可得：泊松分布表可得：或或 关于关于二二项项分布的近似分布的近似计计算算，当当n n 2020，p p 0.050.05时时，满满足泊松逼近定理的条件。足泊松逼近定理的条件。足泊松逼近定理的条件。足泊松逼近定理的条件。泊松分布可作为二项分布的一种近似计算。（二项分布的泊松逼近定理）设当 n 很大，np很小时，有其中例例例例2.2.5 2.2.5 某射某射击击运运动员动员射射击击400400次，每次射次，每次射击击击击中目中目标标的概率的概率为为0.010.01，问问：至少：至少2 2次次击击

23、中目中目标标的概率？的概率？解：设 X=击中目标的次数，则 X 的可能取值为0,1,2,400根据题意可知，则所求事件的概率为又因为利用泊松逼近定理有：400重贝努利试验4.几何分布 Geometric distributionGeometric distribution定定义义4 4 4 4 独立重复的进行一个试验（无数次），设事件A A在每次试验中发生的概率为 p p，0p10p1，用 X X 表示事件 A A 首次发生时已进行的试验次数，则X X的可能取值为 k=1,2k=1,2，,若A Ai i=在第i i次试验中事件A A发生，则有则则称随机称随机变变量量XX服从服从参数参数为为p

24、p的几何分布的几何分布,记记做做或表示为：直到事件A发生为止，已经进行 的试验次数【例例】设设甲袋中有甲袋中有9 9个白球，个白球，1 1个个红红球，乙袋中有球，乙袋中有1010个白球。每次个白球。每次从甲乙两袋中各取一球交从甲乙两袋中各取一球交换换后放回袋中，求后放回袋中，求红红球首次放入乙袋中球首次放入乙袋中时时，取球次数不超，取球次数不超过过3 3次的概率？次的概率？解：解：设设 X=X=红红球首次放入乙袋球首次放入乙袋时时的取球次数的取球次数故故 随机随机变变量量XX服从服从参数参数为为p=0.1p=0.1的几何分布的几何分布,A=A=取到取到红红球球则则 P(A)=P(A)=0.10

25、.1其概率分布律其概率分布律为为所求事件的概率所求事件的概率为为 一、概念一、概念一、概念一、概念定定义义1 1 1 1 设设随机随机变变量量X X X X的分布函数的分布函数为为F(x),F(x),F(x),F(x),如果存在如果存在非非负负函数函数 f(x),f(x),f(x),f(x),使使对对任意任意实实数数x x x x均有均有均有均有则则称称X X X X为为连续连续型随机型随机变变量量,其中函数其中函数其中函数其中函数f(x)f(x)f(x)f(x)称称称称为为X X X X的的的的概率密度概率密度(函数函数函数函数).).).).例如：牛牛顿顿-莱布莱布尼尼兹兹公式公式2.3

26、连续型随机变量 Continuous random variableprobability density function of X2.1 连续型随机变量 Continuous random variable 二、概率密度的性质 Properties 由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度“规范性规范性”，用于确定待定参数，用于确定待定参数 由于由于F(x)F(x)是变上限积分函数，则是变上限积分函数，则F(x)F(x)是实数集上的是实数集上的连续函数连续函数 非负性非负性 NonnegativityNormalizationAdditivity需

27、要指出的是：需要指出的是：对于连续型来说，对于连续型来说，X X 取任一指定实数值取任一指定实数值 a a 的概率均为的概率均为0 0即：即：因此，对于连续型来说，因此，对于连续型来说，这条性质对于离散型来说不成立！这条性质对于离散型来说不成立！注意区分：注意区分：f(x)f(x)是概率密度函数，用来求解概率是概率密度函数，用来求解概率 F(x)F(x)！P(A)=0 A=.由此可知：不可能事件与零概率事件的关系由此可知：不可能事件与零概率事件的关系为为【例1】设随机变量X的概率密度为求：A A的值 分布函数 F(x)解：-11求：A A的值 分布函数 F(x)【例1】设随机变量X的概率密度为

28、解：-11【例1】设随机变量X的概率密度为求：A A的值 分布函数 F(x)解：-11当 时，当 时，【例1】设随机变量X的概率密度为求：A A的值 分布函数 F(x)解：-11当 时，【例例2 2】设设随机随机变变量量X X的分布函数的分布函数为为（1 1 1 1）求概率）求概率（2 2 2 2）求概率密度。）求概率密度。【解】（1）由分布函数求概率公式得：（2）对分布函数求导数即得概率密度：【例3】设连续型随机变量 X 的分布函数为求：系数 A？根据F(x)的连续性，有连续型1.密度函数 X f(x)(不唯一)2.4.P(X=a)=0离散型1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x

29、)=3.F(a+0)=F(a);P(a 3,则 P(A)=P(X 3)设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27已知定定义义3 3 3 3 设连续设连续型随机型随机变变量量X X X X的的概率密度概率密度为为其中其中0000为为常数常数,则则称随机称随机变变量量X X X X服从参数服从参数为为的的指数分布指数分布，记为记为2 2、指数分布、指数分布 Exponential DistributionExponential Distribution注：注：指数分布常用来描述对某指数分布常用来描述对某一事件

30、发生的等待时间一事件发生的等待时间.例如例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.易求得易求得的分布函数的分布函数凑微分例2.4.3 设打一次电话所用时间（分钟）服从参数为0.2的指数分布。如果有人刚好在你面前走进公用电话亭并开始打电话（假定只有一部电话），试求你等待：超过 5 5 分钟的概率；5 5分钟到1010分钟之间的概率？解：设 X 表示打电话所用的时间则其概率密度函数为根据题意可有：即：等候的时间 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生

31、理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.(1)正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 3 3、正态分布、正态分布 Normal DistributionNormal Distribution 定定义义4 4 4 4 设连续设连续型随机型随机型随机型随机变变量量量量X X X X的的的的概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数为为其中其中 均均为为常数常数,则则称随机称随机变变量量X X X X服从参数服从参数为为 的正的正态态分布或高斯分布分布或高斯分布,记为记为(2)正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征(3)正态

32、分布的分布函数及其图像正态分布的分布函数及其图像连续型随机变量的分布函数的图像是一条连续没有间断的曲线！标准正态分布的概率密度表示为4.标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为定义5在正态分布 中，如果 ，则称该正态分布为标准正态分布，记作标准正态分布的图形概率密度函数概率分布函数2、标准正态分布的概率计算、标准正态分布的概率计算若 ，则有例例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=0.8925=2*0.975-1=0.95=0.9591-1+0.7517=0.7108=2*(1-0.9671)=0.0658一般正态分布的标准化过程一般正态分布的标准化过程对于一般的正态分

33、布 只要通过一个线性变换就能将其转化为标准正态分布！设则有令因此：则它的分布函数可以写成：若对于任意区间 则有【例2】若 ，求【例3】设求：【例3】设求：线性插值法44、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布 已知随机已知随机已知随机已知随机变变量量量量X X的分布的分布的分布的分布,现现求其求其求其求其连续连续函数函数函数函数Y=g(X)Y=g(X)的分的分的分的分 布。此布。此布。此布。此时时，Y Y也是随机也是随机也是随机也是随机变变量。量。量。量。一、离散型随机一、离散型随机一、离散型随机一、离散型随机变变量函数分布列的求法量函数分布列的求法量函数分布列的求法量函数分布列的求法 （同一

34、表格法）（同一表格法）（同一表格法）（同一表格法）设设离散型的分布律离散型的分布律离散型的分布律离散型的分布律为为则则求函数求函数求函数求函数Y=g(X)Y=g(X)的分布律的的分布律的的分布律的的分布律的步步步步骤骤为为：求求求求Y Y的所有可能取的所有可能取的所有可能取的所有可能取值值 计计算算算算Y Y取各可能取各可能取各可能取各可能值值的概率：的概率：的概率：的概率：如果如果如果如果Y Y各可能取各可能取各可能取各可能取值值互异互异互异互异,即即即即 则则 如果如果如果如果Y Y各可能取各可能取各可能取各可能取值值中存在多个中存在多个中存在多个中存在多个值值相等相等相等相等,则则Y Y

35、取取取取该值该值 的概率的概率的概率的概率为这为这些相等些相等些相等些相等值对应值对应的的的的X X取取取取值值的概率之和的概率之和的概率之和的概率之和.例如例如,当当则则由基本事件互斥性与概率可加性得：由基本事件互斥性与概率可加性得：【例例1 1】设设的分布律的分布律为为:求求X-1,XX-1,X2 2-1-1的分布律的分布律.【解解】采用采用“同一表格法同一表格法”.X-1012pk0.20.30.10.4pk0.20.30.10.4X-1012X-1-2-101X2-10-103互异互异有等有等值值X-1-2-101pk0.20.30.10.4 故故X-1X-1分布律分布律为为:X X2

36、 2-1-1的分布律的分布律为为:X2-1-103pk0.30.30.4 其中其中 二、二、二、二、连续连续型随机型随机型随机型随机变变量函数概率密度的求法量函数概率密度的求法量函数概率密度的求法量函数概率密度的求法 方法方法方法方法1 1 分布函数法分布函数法分布函数法分布函数法(一般情形一般情形一般情形一般情形)设连续设连续型随机型随机型随机型随机变变量量量量X X的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度为为 ,则则求求求求Y=g(X)Y=g(X)的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度 的步的步的步的步骤为骤为：其中其中其中其中积积分区分区分区分区间间是以是以是以是以y y的函数的函数的

37、函数的函数为为端点的区端点的区端点的区端点的区间间。分布函数分布函数对对y y y y求求导导数即得概率密度：数即得概率密度：,求求导导 时时一般用到一般用到变变限函数限函数的的导导数公式数公式.求求Y Y Y Y的分布函数：的分布函数：【例例2 2】设设r.v.Xr.v.X的概率密度的概率密度为为 求求Y=XY=X2 2的概率密度。的概率密度。【解解】设设Y Y的分布函数的分布函数为为 ，则则对对y y求求导导得：得：特特别别的的,如如r.v.XN(0,1),r.v.XN(0,1),则则于是，于是，Y=XY=X2 2的分布律的分布律为为 此此时时，称，称Y Y服从自由度服从自由度为为1 1的

38、的 2-2-分布分布。方法方法方法方法2 2 公式法公式法公式法公式法(y=g(x)(y=g(x)为为单调单调可可可可导导函数函数函数函数)函数函数函数函数g(x)g(x)处处处处可可可可导导且有恒有且有恒有且有恒有且有恒有 定理定理定理定理 设连续设连续型随机型随机型随机型随机变变量量量量X X的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度为为则则Y=g(X)Y=g(X)是是是是连续连续型随机型随机型随机型随机变变量，且其概率密度量，且其概率密度量，且其概率密度量，且其概率密度为为其中其中h(y)h(y)为为g(x)g(x)的反函数，且的反函数，且证证明自学明自学若若 只在有限区只在有限区间间 上不上不为为零，零，则则只需只需 假假设设在在 上恒有上恒有 ，此，此时时由概率密度求随机由概率密度求随机变变量函数分布的方法量函数分布的方法当随机当随机变变量函数是量函数是单调单调可可导导函数函数时时,可采用可采用公式法公式法;当随机当随机变变量函数不是量函数不是单调单调函数函数时时,可采用可采用分布函数法分布函数法.核心核心:事件事件g(X)g(X)g(X)g(X)yyyy等价等价转换为转换为XXXXIyIyIyIy。